基于壓縮感知測量值的寬帶雷達(dá)回波信號NP檢測

張曉偉　楊咚咚

(陜西黃河集團(tuán)有限公司設(shè)計(jì)研究所　西安　710043)

0　引言

近年來，由Candès, Romberg, Tao[1]和Donoho[2]等人提出的壓縮感知(Compressed Sensing, CS)新理論，打破了傳統(tǒng)的乃奎斯特采樣定理，在雷達(dá)[3]、檢測與估計(jì)[4]和SAR成像[5]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。CS理論指出：當(dāng)信號在某個基空間(詞典)中稀疏時，可以低于傳統(tǒng)乃奎斯特采樣率，以較低碼率采樣信號，而不丟失信號信息。在寬帶雷達(dá)背景下，目標(biāo)回波信號是發(fā)射信號和目標(biāo)脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積，表現(xiàn)為一維距離像。脈沖響應(yīng)函數(shù)和目標(biāo)的散射點(diǎn)有關(guān)，而其散射點(diǎn)的個數(shù)是有限個，在由發(fā)射信號及其時延、調(diào)制等構(gòu)成的基空間中，寬帶雷達(dá)回波信號是稀疏的，可以低碼率采樣，而不丟失目標(biāo)信息。雷達(dá)的基本功能之一就是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的檢測，奈曼-皮爾遜檢測(Neyman-Pearson Detection, NPD)準(zhǔn)則是雷達(dá)、聲納等目標(biāo)檢測最基本、最重要的準(zhǔn)則之一。文獻(xiàn)[6]提出了雷達(dá)回波信號與由發(fā)射信號構(gòu)成的基空間中的基向量做相關(guān)運(yùn)算，其本質(zhì)上是匹配濾波。文獻(xiàn)[7]提出了在CS背景下，構(gòu)造與發(fā)射信號匹配的字典，以低碼率采樣回波信號，實(shí)現(xiàn)回波信號的重構(gòu)檢測目標(biāo)的方法，但是該算法要求重構(gòu)雷達(dá)回波信號，具有較大的運(yùn)算量。

本文提出了基于CS測量值的寬帶雷達(dá)回波信號奈曼-皮爾遜檢測(Neyman-Pearson Detection Based on Compressed Sensing measure-ments，NPDBCS)準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則直接選取寬帶雷達(dá)回波信號的CS測量值作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在給定虛警概率時，依據(jù)貝葉斯判定準(zhǔn)則得到檢測概率，并將其推廣到多元假設(shè)檢測。在測量矩陣為高斯矩陣和伯努利矩陣時，基于實(shí)測的寬帶雷達(dá)回波信號實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該準(zhǔn)則的可行性，NPDBCS準(zhǔn)則可以用較少的測量值實(shí)現(xiàn)目標(biāo)有效檢測，而不需要重構(gòu)雷達(dá)回波信號。

1　NPDBCS準(zhǔn)則

1.1　CS基本原理

(1)

其中Θ∈RN為X在基空間Ψ中投影N×1維的系數(shù)矩陣，ψi為基空間Ψ第i個基向量，θi為信號X由基向量ψi線性表示的相關(guān)系數(shù)。X是信號的時域表示，為X的Ψ域表示。在投影系數(shù)矩陣Θ中，如果θi的非零個數(shù)K遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N(K<

(2)

文獻(xiàn)[8]指出，對于K稀疏的信號X，可以通過一個滿足有限等距特性(Restricted Isometry Property, RIP)的測量矩陣Φ測量，通過求解一個最優(yōu)化式(3)，以相當(dāng)高的概率重構(gòu)原信號X：

min||Θ||0,s.t.Y=ΨX=ΦΨΘ=ACSΘ

(3)

其中||Θ||0為Θ的零范數(shù)；ACSΘ為CS測量矩陣，由于式(3)為組合優(yōu)化問題，直接求解很困難。Donoho指出可以將問題(3)轉(zhuǎn)化為L-1范數(shù)，通過求解一凸優(yōu)化求解：

min||Θ||1,s.t.Y=ΨX=ΦΨΘ=ACSΘ

(4)

利用此方法可以幾乎完美的重構(gòu)原信號X，線性測量矩陣Φ可以選取高斯矩陣、伯努利矩陣等，對于測量次數(shù)M則必須滿足M≥O(Klog(N/K))。CR=N/M>1稱為壓縮比，對于一個N×1維信號X，可以由M(M<

1.2　基于CS測量值的NPD準(zhǔn)則

由發(fā)射信號及其時延、調(diào)制等構(gòu)成的基空間，寬帶雷達(dá)回波信號可以由其基空間中的基向量稀疏表示。由CS理論可知，回波信號可以以低于乃奎斯特采樣率采樣，而不丟失目標(biāo)信息，實(shí)現(xiàn)回波信號的重構(gòu)。我們可以直接選取寬帶雷達(dá)回波信號的CS測量值作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，建立NPDBCS準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測而不需要重構(gòu)回波信號。在假設(shè)H0時，只包含高斯白噪聲的測量值，在假設(shè)H1時，包含信號和高斯白噪聲的測量值：

(5)

(6)

(7)

設(shè)定檢測門限λ，由貝葉斯判定準(zhǔn)則得：

(8)

將式子(6)和(7)代入(8)，化簡得：

(9)

(10)

則我們可以分別得到檢測概率PD和虛警概率Pf：

(11)

(12)

(13)

在上式中，如果測量矩陣Φ每一行都相互正交，則ΦΦT=IM，PD可簡化為：

(14)

在文獻(xiàn)[9]中，Richard等從Johnson-Lindenstrauss引理出發(fā)，指出對于高斯矩陣和伯努利矩陣有下面定理成立：對于稀疏信號X={x1,x2,...,xN}∈RN×1，其非零元素個數(shù)為K<

(15)

對于式(14)而言，當(dāng)δ足夠小時，檢測概率PD可寫成：

(16)

當(dāng)虛警概率Pf相等時，比較NPD準(zhǔn)則和NPDBCS準(zhǔn)則得到檢測概率PD：

(17)

(18)

2　寬帶雷達(dá)回波信號實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)選取實(shí)測的寬帶雷達(dá)回波信號，在測量矩陣為高斯矩陣和伯努利矩陣時，對NPD和NPDBCS兩種準(zhǔn)則進(jìn)行檢測比較。所選取回波信號的寬帶雷達(dá)系統(tǒng)部分參數(shù)如表1所示，圖1為所選取目標(biāo)回波信號的波形和經(jīng)過匹配濾波器的脈壓結(jié)果，從圖1中可以看出所選取的回波信號信噪比較高，可近似認(rèn)為回波信號不包含噪聲。將回波信號進(jìn)行歸一化，加入高斯白噪聲，給定恒定虛警概率，在不同CR和SNR時，分別選取高斯矩陣和伯努利矩陣作為測量矩陣對兩種檢測準(zhǔn)則進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)1和2分別為高斯矩陣和伯努利矩陣時基于NPDBCS準(zhǔn)則的實(shí)測回波信號檢測實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)3為兩種測量矩陣基于NPDBCS準(zhǔn)則的實(shí)測回波信號檢測比較實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)4為基于NPD和NPDBCS準(zhǔn)則實(shí)測回波信號檢測比較實(shí)驗(yàn)。

表1寬帶雷達(dá)系統(tǒng)的部分參數(shù)

波段帶寬脈沖時寬脈沖重頻作用距離采樣點(diǎn)數(shù)(N)中心頻率X1GHz1us5kHz5km70001．5GHz

實(shí)驗(yàn)1：高斯矩陣

實(shí)驗(yàn)1為所選取測量矩陣為高斯矩陣，給定恒定虛警概率，比較在不同CR和SNR時NPDBCS檢測性能。設(shè)置Pf=0.1，當(dāng)CR=10,20,50,100時，1000次蒙特-卡羅實(shí)驗(yàn)時NPDBCS準(zhǔn)則檢測比較。對于式(11)和(16)所對應(yīng)測量矩陣行向量未正交化和正交化兩種情況。圖3為蒙特-卡羅實(shí)驗(yàn)所得到四種CR和不同SNR時，所得到NPDBCS準(zhǔn)則檢測概率，表2為實(shí)驗(yàn)參數(shù)。

表2高斯矩陣實(shí)驗(yàn)參數(shù)

NCRKPf700010205010010000．1

表3檢測概率為1所要求的最小信噪比

CR102050100SNR/dB-14．11-11．03-6．799-2．427

從圖2可知，在不同CR和SNR時，行向量未正交化和正交化的高斯矩陣其檢測性能基本一致。在給定Pf=0.1，不同CR時，PD達(dá)到1所需要的SNR最小，如表3所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)測量矩陣為高斯矩陣，在恒定Pf時，CR越大，PD達(dá)到1所需要的SNR也越高。

實(shí)驗(yàn)2：伯努利矩陣

對于伯努利矩陣，選取和高斯矩陣相同的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，如表格2所示。圖3為當(dāng)測量矩陣為伯努利矩陣時，1000次蒙特-卡羅實(shí)驗(yàn)在不同CR和SNR時所得到的NPDBCS準(zhǔn)則檢測概率。

從圖3可知，和高斯矩陣一樣，在不同CR和SNR時，行向量未正交化和正交化的伯努利測量矩陣二者檢測性能基本一致。在Pf=0.1，不同CR時，PD達(dá)到1時所需要的SNR最小，如表4所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：和高斯矩陣一樣，當(dāng)測量矩陣為伯努利矩陣，在恒定Pf時，CR越大，PD達(dá)到1所需要的SNR也越高。

從圖2和3可知，不管測量矩陣是高斯矩陣還是伯努利矩陣， NPDBCS準(zhǔn)則完全可以用較少的測量值實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測；當(dāng)Pf相等時，隨著CR的增大，PD達(dá)到1時所需要的SNR越高；對于行向量未正交化和正交化的兩種測量矩陣，當(dāng)SNR相等時，二者的檢測效果基本一致，并無太大差異。

表4檢測概率為1所要求的最小信噪比

CR102050100SNR/dB-14．12-11．03-6．933-1．979

實(shí)驗(yàn)3：兩種測量矩陣比較

為了比較高斯矩陣和伯努利矩陣時，NPDBCS準(zhǔn)則的檢測效果，選取和實(shí)驗(yàn)1、2相同的實(shí)驗(yàn)參數(shù)。當(dāng)Pf=0.1，CR=10，20，50，100時，行向量未正交化和正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣四種情形下，1000次蒙特-卡羅實(shí)驗(yàn)時NPDBCS準(zhǔn)則檢測效果基本相同，并無太大差異，如圖4所示。其中NG和NB分別表示行向量未正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣，G和B分別表示行向量正交化高斯矩陣和伯努利矩陣。

實(shí)驗(yàn)4：兩種檢測準(zhǔn)則的比較

由實(shí)驗(yàn)1和2可知，對于行向量未正交化和正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣這兩種測量矩陣，基于NPDBCS準(zhǔn)則檢測性能基本一致，因此只選取行向量未正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣進(jìn)行比較NPD和NPDBCS準(zhǔn)則。選取實(shí)驗(yàn)1中寬帶雷達(dá)回波信號，分別設(shè)Pf=0.01,0.05,0.1,0.2，CR=2,10,20比較兩種檢測準(zhǔn)則，實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表5所示。行向量未正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣的NPDBCS準(zhǔn)則和傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則1000次蒙特-卡洛實(shí)驗(yàn)檢測概率分別如圖5和6所示，其中G表示高斯矩陣，B表示伯努利矩陣；表6和7分別為高斯矩陣和伯努利矩陣時，當(dāng)Pf和CR相同時，基于NPDBCS和NPD準(zhǔn)則PD達(dá)到1所需要最小SNR。

表5比較兩種準(zhǔn)則的實(shí)驗(yàn)參數(shù)

NCRKPf70002102010000．010．050．10．2

從圖5和6可知，給定Pf，當(dāng)PD小于1且SNR相等時，傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則檢測性能優(yōu)于NPDBC準(zhǔn)則；隨著CR和Pf的增大，傳統(tǒng)NPD準(zhǔn)則和NPDBCS準(zhǔn)則PD達(dá)到1所要求的SNR都逐漸變大；從表7和8可知，當(dāng)Pf相等時，傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則PD達(dá)到1時所要求的SNR低于NPDBCS準(zhǔn)則；對于NPDBCS準(zhǔn)則，CR越大，PD達(dá)到1所要求的SNR就越大。

NPD準(zhǔn)則和NPDBCS準(zhǔn)則其本質(zhì)是基于信號能量檢測，對于傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則，其信號本身沒有壓縮，而對于NPDBCS準(zhǔn)則，雖然保留了信號信息，但是由于CR不小于1，其信號能量有所減少，其優(yōu)勢在于用較少的CS測量值實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的檢測，而NPD準(zhǔn)則不具有這樣的優(yōu)勢。

表6高斯矩陣時最小信噪比比較

NPDBCSNPDCR=2CR=10CR=20Pf=0．01-19．55dB-12．48dB-9．444dB-22．57dBPf=0．05-20．57dB-13．22dB-9．501dB-23．48dBPf=0．1-21．15dB-13．85dB-9．575dB-24．45dBPf=0．2-22．57dB-23．48dB-24．45dB-25．03dB

表7伯努利矩陣時最小信噪比比較

NPDBCSNPDCR=2CR=10CR=20Pf=0．01-19．56dB-12．02dB-9．555dB-22．57dBPf=0．05-20．57dB-13．32dB-9．299dB-23．48dBPf=0．1-21．15dB-13．87dB-11．07dB-24．45dBPf=0．2-21．93dB-14．86dB-11．13dB-25．03dB

3　結(jié)束語

奈曼-皮爾遜檢測準(zhǔn)則是雷達(dá)、聲納等目標(biāo)檢測最基本、最重要的準(zhǔn)則之一。本文提出的基于CS測量值的寬帶雷達(dá)回波信號NPD準(zhǔn)則，它直接選取回波信號的CS測量值作為新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在給定虛警概率時，由貝葉斯判定準(zhǔn)則得到檢測概率，并將其推廣到多元假設(shè)檢測。當(dāng)測量矩陣為高斯矩陣和伯努利矩陣時，基于實(shí)測寬帶雷達(dá)回波信號實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了新準(zhǔn)則的可行性，它可以用較少的采樣值實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測，且不需要重構(gòu)回波信號，而傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則不具有這個特點(diǎn)，這對寬帶雷達(dá)回波信號檢測具有一定意義。

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