淺析“翻棋”游戲與數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化分類和標(biāo)準(zhǔn)形

毛傳林

【摘要】本文通過研究探討對角線“翻棋”游戲，深入淺出地說明轉(zhuǎn)化，分類，然后確定研究對象的標(biāo)準(zhǔn)形這一深刻的數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】翻棋 分類 標(biāo)準(zhǔn)形 等價(jià)關(guān)系

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）08-0132-01

眾所周知，所有的整數(shù)能夠被分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類， 我們也經(jīng)常選0作為偶整數(shù)這一類的代表， 選1作為奇整數(shù)這一類的代表。我們這里，嘗試使用一種對角線“翻棋”游戲作為研究對象，向同學(xué)們說明轉(zhuǎn)化，分類，確定標(biāo)準(zhǔn)型這一深刻的數(shù)學(xué)思想。

一、 1×1方格和2×2方格

為了方便描述， 對于n×n方格中的一個(gè)格子， 如果其從上往下數(shù)位于第i行，從左往右數(shù)位于第j列，那么我們就將其編號(hào)為（i，j）。 稱第1行、第n行、第1列和第n列中的方格組成的圈，為n×n方格的邊界。如果（i，j）是邊界中的一個(gè)方格，那么我們說由（i，j）開始，從左上往右下的對角線為（i，j）-主對角線；由（i，j）開始，從右上往左下的對角線為（i，j）-反對角線。

3×3方格里面9個(gè)棋子，每個(gè)棋子正反面又分別有黑白兩種顏色，這樣對應(yīng)的圖形將會(huì)產(chǎn)生29（=512）種可能情況，似乎太多了點(diǎn)。我們先來考慮1×1方格和2×2方格兩種較為簡單的情況吧。

很容易看到1×1方格只有一個(gè)格子，里面棋子如果是正面黑色朝上，那么不用操作，或者說經(jīng)過0次T操作，就把全部棋子變成黑色朝上了；如果是反面白色朝上，那么只需要經(jīng)過1次T操作，就可以把全部棋子變成黑色。所以，可以得到結(jié)論：

對于1×1方格，不論棋子怎么擺放，我們都可以經(jīng)過有限次T操作，將棋子全部變?yōu)楹谏稀?/p>

命題1：我們規(guī)定，如果兩個(gè)圖形，可以經(jīng)過有限次T操作相互轉(zhuǎn)化，那么這兩個(gè)圖形被說成是同為T類的；否則，被說成不是同為T類的。

問題：2×2方格下棋子的圖形，經(jīng)過有限次T操作，可以分為多少個(gè)不同的T類？

在2×2方格的情況下，我們發(fā)現(xiàn)全部16種圖形之間都可以通過T操作相互轉(zhuǎn)化。 所以2×2方格下棋子的圖形，只有一個(gè)T類。這樣，我們也可以得到下述結(jié)論：

對于2×2方格，不論棋子怎么擺放，我們都可以經(jīng)過有限次T操作，將棋子全部變?yōu)楹谏稀?/p>

二、3×3方格

3×3方格中棋子對應(yīng)的圖形的情況有29（=512）種之多，不可能像2×2方格時(shí)那樣一一羅列出來，該怎么辦呢？我們發(fā)現(xiàn)，在處理2×2方格時(shí)，通過圖形間的轉(zhuǎn)化，分類，并確定標(biāo)準(zhǔn)形的是可以使用的。

先來想象一下，對于3×3方格中位于第一列中的棋子，從上往下數(shù)，如果第i行中的棋子是白色的，那么我們就對（i，1）-主對角線進(jìn)行一次T操作；對于位于第一行中的棋子，從左往右數(shù)，如果第j列中的棋子是白色的，那么我們就對（1，j）-主對角線進(jìn)行一次T操作；對于位于第3列中的棋子，從上往下數(shù)，如果第i（i>1）行中的是白色的，那么我們就對（i，3）-反對角線進(jìn)行一次T操作。最后，我們得到的圖形，第1行3個(gè)格子，第1列3個(gè)格子和第3列3個(gè)格子里面的棋子一定都是黑面朝上。這樣的一個(gè)圖形我們稱之為標(biāo)準(zhǔn)形。綜合上面的分析，我們可以得到下述命題：

命題2：令X是一個(gè)3×3方格棋子的圖形，那么可以經(jīng)過有限次T操作，將圖形X變成一個(gè)第1行3個(gè)格子，第1列3個(gè)格子和第3列3個(gè)格子里面的棋子都是黑面朝上的標(biāo)準(zhǔn)形。

下一個(gè)自然要解決的問題就是，3×3方格下棋子圖形的標(biāo)準(zhǔn)形有多少種？

命題3： 3×3方格下棋子圖形的標(biāo)準(zhǔn)型有4種。

證明：對于一個(gè)3×3方格下棋子圖形的標(biāo)準(zhǔn)形，我們?nèi)サ舻?行，第1列和第3列的格子和棋子，得到一個(gè)2×1方格下棋子的圖形。而2×1方格下棋子的圖形有4種，通過命題2，3×3方格下棋子圖形的標(biāo)準(zhǔn)形有4種。

三、n×n方格

有了解1×1方格、2×2方格和3×3方格“翻棋”問題的經(jīng)驗(yàn)，我們可以嘗試挑戰(zhàn)一下n×n方格對角線“翻棋”問題了。

仔細(xì)咀嚼一下命題2和命題3的證明過程，我們發(fā)現(xiàn)，對于n×n方格，有和命題2和命題3相似的結(jié)論。我們陳述如下，證明由讀者自己完成。

命題4：令X是一個(gè)n×n方格棋子的圖形，那么可以經(jīng)過有限次T操作，將圖形X變成一個(gè)第1行n個(gè)格子，第1列n個(gè)格子和第n列n個(gè)格子里面的棋子都是黑面朝上的標(biāo)準(zhǔn)形。

命題5：令X是一個(gè)n×n方格下棋子的圖形，經(jīng)過有限次T操作將X轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，那么X只有唯一的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形。

n×n方格下棋子圖形的標(biāo)準(zhǔn)形有多少種？

四、結(jié)論

整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)，二次曲線分為橢圓和雙曲線。我們對自然界中存在的各種物體，看到的各種現(xiàn)象都在進(jìn)行著分類，并選出一類中的某個(gè)典型代表作為這一類的標(biāo)準(zhǔn)型。物理、化學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的科學(xué)研究也往往就是在研究某種研究對象的分類問題，其中基本方法論就是，先考慮如何相互轉(zhuǎn)化，將可以相互轉(zhuǎn)化的視為一類，達(dá)到分類的目的，嘗試在一類中確定一個(gè)有代表性的元素作為這一類的標(biāo)準(zhǔn)型。

通過對角線“翻棋”這一簡單而有趣的游戲，在游戲過程中，首先對圖形變化有了樸素的感性認(rèn)識(shí)。然后，利用分類的基本方法論，能夠使同學(xué)們在數(shù)學(xué)上對怎樣分類，如何分類，怎么確定標(biāo)準(zhǔn)型，有個(gè)理性認(rèn)識(shí)，從而慢慢理解“等價(jià)關(guān)系”和“等價(jià)類”內(nèi)涵，最終掌握分類的基本方法論。

參考文獻(xiàn)：

[1]張遠(yuǎn)南.使人聰明的數(shù)學(xué)智力游戲[M].上?？茖W(xué)普及出版社.1993