注重概念綿里藏針

林玨杏

一、問題的提出

2016年高考全國卷23題如下：

（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=acost，y=1+asint， （t為參數(shù)，a>0），在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=4cosθ.

（Ⅰ）說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；

（Ⅱ）直線C3的極坐標方程為θ=α0，其中滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.

筆者參加了今年的高考評卷工作.據(jù)筆者調查，相當多的文科考生認為這道題“不好做”，第一問“還可以”，第二問“看不懂”，“很難算”.筆者認為，“注重概念，綿里藏針”是這道題的顯著特點，盡管題目的表述給人的感覺很平和，但要想徹底解決它，需要有點真功夫才行.來自閱卷現(xiàn)場的數(shù)據(jù)也說明了這一點：該題全省文科平均分4.2分，理科平均分6.7分（滿分10分），文科的難度系數(shù)為0.42，理科的難度系數(shù)為0.67.在高考數(shù)學的六道大題中，這道題的難度相對較小，原本以為可以拿高分，這樣的得分結果，遠低于命題預期.

學生的答卷暴露出哪些問題？對極坐標與參數(shù)方程的課堂教學有什么啟示？筆者對此進行了初步的分析與思考.

二、典型錯誤及解題分析

1.典型錯誤一：沒有判斷C1的曲線類型或判斷錯誤.

例如，有的考生這樣作答：“∵C1的參數(shù)方程為x=acost，y=1+asint （t為參數(shù)，a>0），∴C1是橢圓”，或者“曲線C1是過定點（0，1），斜率為tant的直線（t為參數(shù)），y-1x=tant”，或者“曲線C1為圓錐曲線”“曲線C1為拋物線”“曲線C1為雙曲線”.

原因分析：這樣作答的考生沒有把握概念的本質特征，不理解圓的參數(shù)方程這個概念，辨別不清鄰近的數(shù)學概念，混淆了圓的參數(shù)方程與橢圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程，把常數(shù)a當作參數(shù)，把圓的參數(shù)方程當成了直線的參數(shù)方程，消去的是常數(shù)a而不是參數(shù)t，導致參數(shù)方程化為普通方程時化錯.

2.典型錯誤二：沒有化曲線C1的參數(shù)方程為直角坐標方程或化錯.

有的考生這樣作答：“由x=accost，y=1+asint，得x2=acos2t，y2=1+asin2t，x2+y2=1+2a”，或者“x2=cos2t，（y-1）2=sin2t”.

原因分析：這樣作答的考生沒有掌握運算化簡的算理cost=xa，sint=y-1a，cos2t+sin2t=1.

不知道如何消去參數(shù)，運算求解能力低下.

3.典型錯誤三：沒有對常數(shù)項a進行平方.

“曲線C1的直角坐標方程為x2+（y-1）2=a，（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=a，ρ2-2ρsinθ+1-a=0”，a少了平方，由此一路往下一直到第二問，總是錯在同一個地方，導致嚴重失分.

原因分析：這一類考生由于粗心導致計算錯誤，運算求解能力低下，基礎訓練不充分.

4.典型錯誤四：沒有求解曲線C1的極坐標方程.

有的考生判斷了曲線C1的類型，求出了C1的普通方程后，還沒有求曲線C1的極坐標方程，尚未得到題目需要的結果，就直接跳到第二問進行作答.

原因分析：這一類考生或者審題不清，漏看題目的要求，沒有看清第一問有兩個考點；或看清了題目的要求，但不清楚極坐標方程與直角坐標方程這兩個概念，或者沒有掌握轉化的算理x=ρcosθ，y=ρsinθ，不知道該如何把直角坐標方程化為極坐標方程.

5.典型錯誤五：沒有充分化簡曲線C1的極坐標方程或化錯.

例如，有的考生化簡的最終結果是“ρ2cos2θ+（ρsinθ-1）2=a2”，或者“ρ2-ρsinθ-1-a2=0”或者“ρcos2θ+ρsin2θ-2ρsinθ+1-a2=0”.

原因分析：這一類考生不明確化簡要達到什么程度，或者是平時的教學中教師沒有做出明確的要求，或者是教師提出了要求而考生沒有留意，或者是盡管留意了但是不會平方差公式導致無法展開（ρsinθ-1）2，或者移項后沒有變號，或者不記得cos2θ+sin2θ=1.

6.典型錯誤六：沒有討論極徑ρ的取值范圍.

例如，有的考生所下結論為：“曲線C1的極坐標方程為ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”.

原因分析：這一類考生對極坐標的定義理解不透，考慮問題不全面，不明確極徑ρ的取值范圍.他們沒想到“ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”中的ρ出現(xiàn)在分母，不能取0，與正確答案ρ2-2ρsinθ+1-a2=0相比，ρ的取值范圍中缺少了0，曲線C1對應的圖形少了一個點（0，0）.

7.典型錯誤七：沒有得到曲線C3的直角坐標方程y=2x.

原因分析：這一類考生不清楚經過極點的直線的極坐標方程為θ=α0，對應直角坐標系中經過坐標原點的直線，或者忘記了斜率的概念，斜率k=tanα0=2，求不出對應的方程y=2x.

三、教學思考

1.概念教學時，讓學生明確概念的來龍去脈，讓學生感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程，悟透概念的本質，尤其是圓的參數(shù)方程的概念.上文中提到的錯誤一、錯誤四、錯誤六和錯誤七與概念有關.

2.結合教材《選修4-4坐標系與參數(shù)方程》第23頁圓的參數(shù)方程的概念，進行調整并且對概念進行拓展外延.例如，這樣調整：

設圓O的半徑是r，點M（x，y）從初始位置M0出發(fā)，按逆時針方向在圓O上作勻速直線圓周運動，OM0繞點O逆時針旋轉到OM的位置時，OM0轉過的角度為變數(shù)t，以O為坐標原點，OM0所在的直線為x軸，建立直角坐標系.過點M向x軸作垂線，交x軸于點D，三角形OMD為直角三角形.OD=x=rcost，MD=y=rsint，所以x=rcost，y=rsint （t為參數(shù)），t的取值范圍由旋轉的角度大小而定.

例如，當t=π2時，點M落在y軸上；當t大于0而小于2π時，表示的圖形是扇形的弧；當t大于等于0且小于等于π2時，表示的圖形是圓心角為π2的扇形的弧；當t大于等于0且小于2π時，表示的圖形是一個圓.

歸納拓展：圓心在坐標原點（0，0），半徑為r的圓的參數(shù)方程可表示為x=rcost，y=rsint （t為參數(shù)）；

圓心在（x0，y0），半徑為r的圓的參數(shù)方程可表示為x=x0+rcost，y=y0+rsint （t為參數(shù)）.

3.解題教學時，展示算理，詳細展示具體的運算求解過程.

4.由教師進行點撥，師生一起根據(jù)解題過程，引導學生進行解題回顧與反思，并進行方法的提煉與領悟.

例1已知曲線C1：x=-4+cost，y=3+sint （t為參數(shù)），C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ為參數(shù)），C3：x=3+2t，y=-2+t （t為參數(shù)），C4：x=1+s，y=1-s （s為參數(shù)）.

（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）化C3，C4的方程為普通方程.

解（1）平方和消參法：由曲線C1：x=-4+cost，y=3+sint， 得cost=x+4，sint=y-3，因為cos2t+sin2t=1，所以（x+4）2+（y-3）3=1，曲線C1是圓；

由C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ為參數(shù)），得cosθ=x8，sinθ=y+28，因為cos2θ+sin2θ=1，所以x82+y+282=1，即x2+（y+2）2=64，曲線C2是圓.

歸納點撥：對比C1與C2的參數(shù)方程，發(fā)現(xiàn)兩個方程中，一個方程的參數(shù)用t來表示，另一個方程的參數(shù)用θ來表示，但它們代表的曲線都是圓，說明代表變量的參數(shù)與所用的字母無關.

（2）代入消參法：C3：x=3+2t，y=-2+t （t為參數(shù)），由y=-2+t得t=y+2，

代入x=3+2t得x=3+2（y+2），C3的普通方程為x-2y-7=0.

加減消參法：因為C4：x=1+s，y=1-s （s為參數(shù)），所以x+y=（1+s）+（1-s）=1，即x+y=1為C4的普通方程.

接著提出以下問題，讓學生感悟解題規(guī)律：

判斷參數(shù)方程所表示的曲線類型的方法是什么？消去參數(shù)有什么方法？各種方法的特點是什么？如何選擇合理的方法？

歸納點撥：判斷參數(shù)方程所表示曲線的類型的方法是把參數(shù)方程化為熟悉的普通方程.把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒?常用的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法等.

5.整合單元內容時，對知識點進行歸納整理，對概念進行縱橫對比，區(qū)分概念的異同，使學生明確概念間的差異，悟透概念的內在聯(lián)系.例如，

① 圓心在（x0，y0），半徑為r的圓的方程.

普通方程：（x-x0）2+（y-y0）2=r2；

參數(shù)方程：x=x0+rcost，y=y0+rsint （t為參數(shù)）；

極坐標方程：（ρcosθ-x0）2+（ρsinθ-y0）2=r2或

ρ2-2ρx0cosθ-2ρy0sinθ+x20+y20-r2=0.

② 直線的參數(shù)方程為x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t為參數(shù)）（其中（x0，y0）為定點，α為直線的傾斜角）.

③ 橢圓x2a2+y2b2=1的參數(shù)方程為x=acosα，y=bsinα （α為參數(shù)）（a≠b）.

區(qū)別：圓的參數(shù)方程中，正、余弦的系數(shù)相同，正、余弦值是變化的；橢圓的參數(shù)方程中，正、余弦的系數(shù)不同，正、余弦值也是變化的；直線的參數(shù)方程中，正、余弦值是固定的常數(shù)，作為變量t的系數(shù)出現(xiàn).

6.結合常用三角公式，進行綜合訓練.

極坐標與參數(shù)方程的內容，常常和三角恒等變換的內容一起出現(xiàn)，綜合性較強.因此，在授課之前，有必要幫助學生復習三角恒等變換的相關公式，強化這些公式的記憶和運用.比如，二倍角公式、輔助角公式、降冪公式、兩角和與差公式、平方和公式以及正切公式的商數(shù)關系等內容，都需要引起高度重視.

總的來看，這道高考試題加大了對概念的考查力度，在把握概念的本質屬性方面提出了較高的要求，反映出命題者對基礎的重視，反映了讓學生在解題之余重視基本概念的命題意圖.在考查基礎知識的同時，加大了同一模塊知識間的綜合力度，具有一定的綜合性，要想解得快、準，考生必須對教材中的知識點清清楚楚，既不能有遺漏，也不能一知半解，否則，就會影響解題進程，甚至得到錯解.而高考是具有高度選拔性的考試，試題必然是在數(shù)學本質的表層上戴上特別的飾品，這就要求學生掌握數(shù)學的本質，抓住數(shù)學的精髓.在教學中如果只注重解題訓練和類型歸納，忽視對概念的理解和把握，考生在考試時就會出現(xiàn)按圖索驥、機械解題，題型一變，就不能適應，只好望題興嘆，本來不難的試題也解答不好.

【參考文獻】

[1]嚴士健，張奠宙，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004：4.

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