立體幾何中求體積問(wèn)題的通法研究

李旭

【摘要】本文主要結(jié)合案例解析一下關(guān)于立體幾何中求體積問(wèn)題的幾種方法，試圖探索求空間幾何體的體積問(wèn)題的通法.

【關(guān)鍵詞】體積；通法；割補(bǔ)法

數(shù)學(xué)解題通法是解決一類問(wèn)題時(shí)可以采用的共同方法，高考在立體幾何知識(shí)的考查中，常常涉及求空間幾何體的體積問(wèn)題，對(duì)這類問(wèn)題求解方法較多，現(xiàn)結(jié)合案例解析一下關(guān)于立體幾何中求體積問(wèn)題的幾種方法.

案例如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）.

A.92

B.5

C.6

D.152

（一）分割法

根據(jù)該幾何體自身不是常規(guī)柱、錐、臺(tái)體的現(xiàn)象，考慮使用分割的辦法將這個(gè)多面體分割成常規(guī)幾何體.結(jié)合已知條件，考慮利用EF∥AB，及EF與面AC的距離為2，連接EB，EC，那么多面體ABCDEF就轉(zhuǎn)化成了四棱錐E-ABCD和三棱錐F-EBC的組合體.再通過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)化即可求出體積了.

如圖，連接EB，EC，則四棱錐E-ABCD體積VE-ABCD=13×32×2=6.

∵AB=2EF，EF∥AB，

∴S△EAB=2S△BEF，

∴VF-EBC=VC-EBF=12VC-ABE=12VE-ABC

=12×12VE-ABCD=32，

∴V=VE-ABCD+VF-EBC=6+32=152.

注：當(dāng)然，分割多面體ABCDEF的方式不止這一種，僅利用這個(gè)方式說(shuō)明可以使用分割法求幾何體體積.大家不妨嘗試一下，還可以怎樣分割呢？

事實(shí)上，根據(jù)剛才方法一的前半段計(jì)算，再結(jié)合這個(gè)題目是選擇題，可以使用下面的估算法.

（二）估算法

由方法（一），該多面體體積一定大于6，根據(jù)選項(xiàng)，只能選D.

有了方法一的引導(dǎo)，在分割多面體ABCDEF為常規(guī)幾何體的過(guò)程中，還可以嘗試下面的分割方法.

（三）分割法

設(shè)G，H分別為AB，CD的中點(diǎn)，連接EG，GH，EH，則EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得棱柱EGH-FBC.

由題意得，VE-AGHD=13SAGHD×2=13×3×3×12×2=3，

VEGH-FBC=3VB-EGH=3VE-BGH=3×12VE-GBCH

=32VE-AGHD=32×3=92.

∴V=VE-AGHD+VEGH-FBC=3+92=152.

除了對(duì)幾何體進(jìn)行分割外，還可以嘗試將這個(gè)不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體，比如，下面這個(gè)方法.

（四）補(bǔ)形法

延長(zhǎng)EF至G，使FG=AB=3，連接AG，DG，EC，EB，則多面體BCF-ADG為斜三棱柱，其直截面面積

S=12×2×3=3，則

VBCF-ADG=S·AB=9.

又∵面BCF∥面ADG，E為FG中點(diǎn)，

∴2VE-ADG+VE-ABCD=VBCF-ADG，

即2VE-ADG=9-13×3×3×2=3，

∴VE-ADG=32，

∴V=VBCF-ADG-VE-ADG=9-32=152.

通法具有發(fā)展性、概括性和多樣性，本題是一道非典型多面體，主要考查對(duì)圖形的分解、組合與變形的能力，是一道考查創(chuàng)新意識(shí)的有效題型；求解有關(guān)體積問(wèn)題時(shí)，可以參考一下策略：① 等體積變換；② 分割求和；③ 補(bǔ)體（補(bǔ)形）；④ 還臺(tái)為錐.此題還可以使用估算法或特殊化法.

【參考文獻(xiàn)】

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