數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題常見誤區(qū)探討

余文泰

摘 要：重點(diǎn)分析了高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題的常見誤區(qū)，主要從三角函數(shù)平移概念問題、求角問題以及函數(shù)圖像問題三個方面入手，強(qiáng)調(diào)了解題過程中容易出現(xiàn)的錯誤，并給出了正確的解題方法，希望能夠?yàn)楦咧型瑢W(xué)提供參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題；常見誤區(qū)

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2016.33.165

0 前言

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn)，在高考中也占據(jù)著重要位置。在三角函數(shù)解題過程中，易出現(xiàn)一些思維誤區(qū)，進(jìn)而導(dǎo)致解題錯誤。通過對三角函數(shù)常見誤區(qū)進(jìn)行分析，使同學(xué)加強(qiáng)對易出現(xiàn)問題的關(guān)注，避免在解題過程中出現(xiàn)上述情況，進(jìn)而提升答題技巧。

1 三角函數(shù)平移概念問題

平移問題是高中三角函數(shù)中的重要問題，此中題型較為常見，同時(shí)在解題過程中，也很容易出現(xiàn)失誤。總的來說，解決評議問題不能僅僅以公式為主，也不能僅僅以圖像為主，而是要將兩者結(jié)合起來，這樣才能提高問題的解決效率。

例1：曲線方程為2y+ycosx-1=0，將上述曲線首先沿著x軸的方向向右平移π/2個單位，在此基礎(chǔ)上，沿著y軸向下方平移1個單位，求解平移之后的曲線方程。

A.2y-（y+1）sinx+1=0

B.2y+（y+1）sinx+1=0

C.2y+（y-1）sinx-3=0

D.2y+（1-y）sinx-3=0

題目要求在上述四個選項(xiàng)中，選擇出正確答案，該題目的解題誤區(qū)往往在于沒有充分將函數(shù)與圖像結(jié)合，導(dǎo)致解題失誤，出現(xiàn)上述失誤的原因一般與解題經(jīng)驗(yàn)不足有關(guān)，對此，應(yīng)采用以下方法求解：

解：

第一步：將曲線方程2y+ycosx-1=0進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將y單獨(dú)放在等式左邊，將其余部分整理，放在等式右邊，最終得出的方程如下：y=1/（cosx+2）。

第二步：根據(jù)題目要求，應(yīng)將上述方程沿著x軸向右平移π/2個單位，因此方程中的x值需要減去π/2，如此可以得到方程沿著x軸平移之后所得到的曲線函數(shù)，即y=1/{cos（x-π/2）+2}。

第三步：根據(jù)題目要求，在沿x軸平移之后，還應(yīng)將曲線沿y軸向下平移1個單位，因此，需要將y值減1，如此可以得到原方程平移完成之后的曲線函數(shù)，即y=1/{cos（x-π/2）+2}。

第四步：將方程y=1/{cos（x-π/2）+2}進(jìn)行整理，最終得到2y+（y+1）sinx+1=0，因此本題應(yīng)選答案B。

2 函數(shù)圖像問題

函數(shù)圖像問題也是高中三角函數(shù)解題過程中容易出現(xiàn)誤區(qū)的問題，在求解過程中，應(yīng)重視函數(shù)的變形，這樣才能避免解題出現(xiàn)錯誤。

例2：求函數(shù)y=cosx/3，x∈[0，4π]的值域。

在上述題目求解過程中，容易出現(xiàn)以下錯誤：

錯誤解題方法：

第一步，將x/3看作t，將其在y=cos（x/3）中進(jìn)行替換，即可得到y(tǒng)=cost，由于x∈[0，4π]，因此可以得到t的取值范圍，即t∈[0，4/3π]。

第二步，在上述步驟的基礎(chǔ)上，將t的值設(shè)置為4/3π，此時(shí)y便能夠取得最小值，進(jìn)而求得函數(shù)的取值范圍即[-1/2，1]。

在上述解題過程中，第一步為正確解題思路，但第二步并沒有結(jié)合圖像分析問題，這是造成解題失誤的主要原因，對此，需要結(jié)合函數(shù)圖像對解題過程進(jìn)行綜合考慮。正確的解題方法如下：

正確解題步驟：

第一步，將x/3看作t，將其在y=cos（x/3）中進(jìn)行替換，即可得到y(tǒng)=cost，由于x∈[0，4π]，因此可以得到t的取值范圍，即t∈[0，4/3π]。

第二步，將上述函數(shù)的取值與圖像相結(jié)合，在t=0的情況下，可以得出y的最大取值，即1。在t=π的情況下，可以得出y的最小取值，即-1。

第三步，綜合y的最大與最小取值，可以得出y的取值范圍，即y的值域，為[-1，1]。

3 三角函數(shù)取值范圍問題

在解題過程中，同樣容易出現(xiàn)忽視三角函數(shù)的名稱的問題，這一失誤是導(dǎo)致這部分題型解題錯誤的根源。

例3：α與β均為銳角，已知sinα=55，而sinβ=1010，求α與β相加的值。

錯誤解題方法：

第一步，根據(jù)α與β均為銳角之這一已知條件，得出α與β相加的取值范圍，即0<α+β<π。

第二步，根據(jù)sinα與sinβ的值，得出cosα與cosβ的值，分別為255和31010。

第三步，將sin（α+β）展開，并將cosα與cosβ的值代入，最終得出sin（α+β）的值，為22。

第四步，在求出sin（α+β）的基礎(chǔ)上，得出兩者相加的值，即π/4或3π/4。

正確解題思路：

上述解題方法中，前三步解題思路均正確，但問題在于，上述解題過程并未對α+β的取值范圍進(jìn)行明確的限制，僅僅將其限制在0到π的范圍內(nèi)，會導(dǎo)致其取值范圍過大。

對此，在對α+β的取值范圍進(jìn)行限制的過程中，應(yīng)根據(jù)sinα與sinβ的值來進(jìn)行判斷，由于上述兩者的值明確，據(jù)此可得出，α的取值范圍在0到2π之間，而β的取值范圍則在0到π/6之間。將兩者相加，可得出其α+β的取值范圍，即在0到π/3之間。

綜合上述條件，可以得出α+β=π/4。

由此可見，在針對這一類型的三角函數(shù)題目進(jìn)行解題的過程中，必須要重視有關(guān)取值范圍的問題，要避免將其取值范圍擴(kuò)大化，要在綜合考慮多種因素的基礎(chǔ)上，得出其正確范圍，并將其代入到解題過程中，以使解題結(jié)果能夠更加準(zhǔn)確。

4 結(jié)論

在高中三角函數(shù)解題過程中，同學(xué)們對取值范圍的確定會存在一定的失誤，這主要由考慮問題不全面所導(dǎo)致，因此，解題時(shí)必須全面考慮問題。除此之外，多數(shù)同學(xué)極容易忽略有關(guān)函數(shù)圖像的問題，對此，在解題時(shí)，必須時(shí)刻考慮到函數(shù)的圖像，要將數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行綜合應(yīng)用，深入滲透到每一題型的解決過程，這樣能提高解題效率，同時(shí)保證解題的準(zhǔn)確性。

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