函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂基本判別法的討論

鮑倚天

【摘要】一致收斂性是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的重要性質(zhì)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有許多相似之處，但是我們不僅要判斷它在哪些點(diǎn)上收斂，還要研究其和函數(shù)具有的解析性質(zhì)，這對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性提出了更高的要求.判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂問題是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，尤其是面對(duì)和函數(shù)不容易求出來甚至有些根本求不出來的情況.類比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們也可得到一系列判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法推廣，但我們要注意對(duì)基本方法的掌握.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；數(shù)學(xué)；基本判別法

本文提供了關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂基本的判定方法，通過分析、歸納、總結(jié)并結(jié)合相關(guān)例子說明方法的實(shí)用性，以方便讀者更好地理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，快速地對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否一致收斂做出判定.

一、利用一致收斂的定義判斷

設(shè){un（x）}是定義在數(shù)集I上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式u1（x）+u2（x）+…+un（x）+…，x∈I稱為定義在I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡記為∑∞n=1un（x）或者

∑un（x）.稱Sn（x）=∑∞n=1un（x），n=1，2，…為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列.

若x0∈I，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u1（x0）+u2（x0）+…+un（x0）+…收斂，即部分和Sn（x0）=∑∞n=1un（x0），當(dāng)n→∞時(shí)極限存在，則稱級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0收斂，x0稱為級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn).若級(jí)數(shù)在I的某個(gè)子集D上每點(diǎn)都收斂，則稱級(jí)數(shù)在D上收斂.若D為級(jí)數(shù)全體收斂點(diǎn)的集合，這時(shí)則稱D為級(jí)數(shù)的收斂域.級(jí)數(shù)在D上每一點(diǎn)x與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和S（x）構(gòu)成一個(gè)定義在D上的函數(shù)，稱為級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并寫作u1（x）+u2（x）+…+un（x）+…=S（x），x∈D，

即 limn→∞Sn（x）=S（x），x∈D.

也就是說，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列的收斂性.

四、結(jié)語

以上例子利用各種不同的基本方法證明了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，還有其他方法在此不再討論，可類比證明數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法推廣，如，根式判別法、比式判別法等.雖然有的我們已經(jīng)很熟悉但是在實(shí)際證明中我們要根據(jù)已知選擇特定的方法，加快解題速度，往往我們證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的問題時(shí)需要綜合運(yùn)用多種不同的方法，所以，要求我們要區(qū)分各個(gè)方法之間的優(yōu)越性和缺點(diǎn)，把握解題關(guān)鍵.這也需要在平時(shí)多思考、總結(jié)、歸納，在不斷的練習(xí)和實(shí)踐中提高自身的分析問題、解決問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[3]劉玉璉，傅沛仁，編著.數(shù)學(xué)分析講義（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1966.

[4]金瑋.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2009（5）：110-114.