各類曲線彎曲程度的探究

周易敏

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）19-106-02

一、引言

曲線在人們的生活中隨處可見(jiàn)，同時(shí)在人們的學(xué)習(xí)和工作中隨時(shí)都要面臨解決各類曲線的問(wèn)題.曲率用來(lái)描述曲線的彎曲程度.曲線的曲率就是曲線上某點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度.通過(guò)微分來(lái)定義，表明曲線偏離直線的程度.曲率越大，曲線的彎曲程度就越大.曲率在射影幾何當(dāng)中也有著非常重要的作用.了解曲率就要建立在認(rèn)識(shí)Frenet標(biāo)架中的三點(diǎn)三線三向量的前提下進(jìn)行.本文分別給出了各類曲率的基本概念，幾何意義和計(jì)算公式，并且對(duì)不同曲率關(guān)系進(jìn)行了討論，給出了它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，使我們?cè)趯?duì)曲率的學(xué)習(xí)中對(duì)曲線和曲面有深一步的認(rèn)識(shí).

二、曲線論中曲線的曲率

1、曲率的定義

我們首先研究空間曲線的曲率的概念.在不同的曲線或同一條曲線的不同點(diǎn)處，曲線彎曲的程度可能不同.為了衡量單位切向方向的變化率，需要將曲線上“動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率”進(jìn)行統(tǒng)一規(guī)定.自然的想法是利用弧長(zhǎng)參數(shù)化，考慮單位切向及其方向?qū)τ诨￠L(zhǎng)的變化率.

要從直觀的基礎(chǔ)上引入曲率的確切的定義，我們首先注意到，曲線彎曲的程度越大，則從點(diǎn)到點(diǎn)變動(dòng)時(shí)，其切向量的方向改變的越快.所以作為曲線在已知一曲線段的平均彎曲程度可取為曲線在兩端點(diǎn)間切向量關(guān)于弧長(zhǎng)的平均旋轉(zhuǎn)角.所以我們用空間曲線在一點(diǎn)處的切向量對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度來(lái)定義曲線在這一點(diǎn)的曲率.

四、結(jié)束語(yǔ)

本篇論文主要通過(guò)分兩大版塊，曲線論和曲面論，來(lái)分別介紹各大曲率的由來(lái)，基本定義以及計(jì)算公式.并且對(duì)每個(gè)曲率的幾何意義進(jìn)行了研究，給出了一些在特殊情況下曲率的特殊結(jié)論和性質(zhì).通過(guò)對(duì)一些常用的或者說(shuō)是特殊的曲線和曲面進(jìn)行了單獨(dú)分析和計(jì)算，以例題的形式導(dǎo)出了它們的各個(gè)曲率的值.并且把曲率和內(nèi)蘊(yùn)量聯(lián)系在一起，分析了曲率的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì).對(duì)我們?nèi)蘸笪⒎謳缀蔚膶W(xué)習(xí)有一定的幫助.