泛函分析進(jìn)入希爾伯特空間，第2版

Hansen+Vagn+Lundsgaard

泛函分析是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，起源于上世紀(jì)20年代，在許多數(shù)學(xué)分支及理論物理學(xué)等科技領(lǐng)域有重要應(yīng)用。本書是一本關(guān)于泛函分析的專著，是希爾伯特空間理論及希爾伯特空間上算子理論的基本引論，也是作者在丹麥技術(shù)大學(xué)長(zhǎng)期對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)高年級(jí)學(xué)生和研究生講課基礎(chǔ)上形成的成熟的大學(xué)數(shù)學(xué)教材，由作者的專著《Fundamental Concepts in Morden Analysis》（現(xiàn)代分析的基本概念，World Scientific，1999）發(fā)展而成。它初版于2006年，獲學(xué)術(shù)界好評(píng)，特別是關(guān)于自伴線性緊算子的譜理論的論述以及習(xí)題的配備是其亮點(diǎn)?，F(xiàn)在的第2版作了增補(bǔ)。主要是擴(kuò)充了第1章中關(guān)于賦范向量空間及其算子的材料，包括開映射定理、閉圖象定理及哈恩-巴拿赫（HahnBanach）定理的證明。還將關(guān)于賦范向量空間算子的論述擴(kuò)充為新的專論弗雷德霍姆（Fredholm）理論的第6章，等等。

全書正文含6章：1.度量拓?fù)鋵W(xué)的基本原理。是全書的基礎(chǔ)和預(yù)備，簡(jiǎn)明地給出包含度量結(jié)構(gòu)的空間的一般拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)，特別是關(guān)于賦范向量空間及其算子的一些基本定理（開映射定理等等）的完全證明；2.函數(shù)空間新的類型。主要研究Lp空間的結(jié)構(gòu)，還討論了序列空間lp，給出赫爾德（Holder）不等式和閔可夫斯基（Minkowski）不等式的證明等；3.希爾伯特空間理論。從復(fù)習(xí)內(nèi)積空間開始，引進(jìn)希爾伯特空間概念，還討論了可分希爾伯特空間的基本性質(zhì)，以及弱收斂性等。第4章：希爾伯特空間上算子。討論了有界線性算子的自伴算子和緊算子；5.譜理論。著重研究可分希爾伯特空間上的自伴線性緊算子的譜理論；6.弗雷德霍姆理論。在巴拿赫空間上有界算子的框架下給出弗雷德霍姆算子理論的基礎(chǔ)，討論了積分算子和積分方程，以及弗雷德霍姆型的算子方程。這些結(jié)果對(duì)于實(shí)際應(yīng)用有重要意義。本章的取材和論述受到M.Pedersen的《Functional Analysis in Applied Mathematics and Engineering》（應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程中的泛函分析，C&H/CRC，2000）的影響。正文之外單獨(dú)給出各章習(xí)題（總共141個(gè)）。

本書可作為我國(guó)理工科大學(xué)高年級(jí)學(xué)生和研究生的教材或參考書，也可供有關(guān)科研人員閱讀。

朱堯辰，研究員

（中國(guó)科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所）