基于內(nèi)涵虧值的概念格漸進(jìn)式構(gòu)建

吳 杰，梁 妍，馬 垣

(1.遼寧科技大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 鞍山 114051； 2.遼寧科技大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，遼寧 鞍山 114051)

(*通信作者電子郵箱wujieaa@163.com)

基于內(nèi)涵虧值的概念格漸進(jìn)式構(gòu)建

吳 杰1*，梁 妍2，馬 垣1

(1.遼寧科技大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 鞍山 114051； 2.遼寧科技大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，遼寧 鞍山 114051)

(*通信作者電子郵箱wujieaa@163.com)

為了避免構(gòu)建概念格時(shí)的繁瑣過程，提高概念格構(gòu)建的效率，提出了一種基于內(nèi)涵虧值通過查找頂元素來快速漸進(jìn)式生成概念格的新方法。首先，形式化地定義了頂元素、舊概念、產(chǎn)生概念、新概念、產(chǎn)生子概念、內(nèi)涵虧值集合、剩留父概念、超集刪除與正則隊(duì)列；提出了概念格元素是否為頂元素的判定定理并給出了其證明；其次，在原概念格的正則隊(duì)列中依次取概念元素，經(jīng)超集刪除后得到剩留父概念；最后，從剩留父概念查找其所在等價(jià)類的頂元素，逐步生成新概念格的正則隊(duì)列。理論分析時(shí)間復(fù)雜度較基于屬性的漸進(jìn)式概念格生成(CLIF_A)算法與FastAddIntent算法有效降低，在實(shí)驗(yàn)例證對比中，概念數(shù)目大于150時(shí)，所用時(shí)間遠(yuǎn)少于對比算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法方法簡單，構(gòu)建效率較對比算法明顯提高。

概念格；內(nèi)涵虧值；頂元素；超集刪除；正則隊(duì)列

0 引言

概念格是隸屬數(shù)學(xué)概念和概念層次結(jié)構(gòu)的應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域[1]。理論上結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，能形象地體現(xiàn)事物之間的泛化與特化關(guān)系，在空間聚類方法、病癥智能診斷、Folksonomy、信息修復(fù)與文件瀏覽、軟件演化分析、訪問權(quán)限管理、命題集約簡等諸多領(lǐng)域都有著成功的應(yīng)用。概念格的構(gòu)建是概念格應(yīng)用的前提基礎(chǔ)，但是一個(gè)背景中概念的個(gè)數(shù)是隨著背景的尺寸指數(shù)級(jí)增長的(比如對于半序集中反額定標(biāo)尺概念的個(gè)數(shù)是2|S|)，這樣背景稍大，概念的個(gè)數(shù)就多得無法計(jì)算。如何提高概念格的構(gòu)建效率是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)課題。

對于概念格構(gòu)建的主要方法有兩大類。一類是批處理概念格生成算法[2-4]，其主要思想是先生成背景對應(yīng)的全部概念，再由亞概念與超概念的連接關(guān)系，生成節(jié)點(diǎn)間的連線，進(jìn)而完成概念格的構(gòu)建；缺點(diǎn)是當(dāng)增加對象時(shí)，需要重新構(gòu)建概念格。另一類是漸進(jìn)式概念格生成算法：1995年，Godin等[5]提出了概念格的漸進(jìn)式生成算法，漸增式地插入新節(jié)點(diǎn)；2002年，謝志鵬等[6]提出了利用樹狀結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)節(jié)點(diǎn)快速構(gòu)建概念格的漸進(jìn)式生成算法，有效地區(qū)別節(jié)點(diǎn)類型，縮小了父子節(jié)點(diǎn)的搜查范圍；2004年，李云等[7-8]提出了基于屬性的概念格漸進(jìn)式生成算法及多概念格的橫向合并算法，特別說明了屬性拆分及策略對概念格構(gòu)建效率的影響；2009年，劉群等[9]提出了基于對象和屬性交叉漸進(jìn)式概念格生成算法，解決了針對對象和屬性交叉漸增更新需要重新構(gòu)建概念格的問題；同年，劉耀華等[10]提出了新的區(qū)間數(shù)分解與定標(biāo)算法，用來處理多種類型的擴(kuò)展背景，給出了相應(yīng)的擴(kuò)展格生成算法，改進(jìn)了區(qū)間值分解與模糊概念格的屬性定標(biāo)方法；2012年屈文建等[11]提出了一種利用最大秩的全1矩陣來生成概念格的算法，采用背景中最大秩全1子陣對應(yīng)概念格的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，通過橫向、縱向擴(kuò)充成對應(yīng)的子格，再經(jīng)合并構(gòu)建整體概念格；2013年，姚佳岷等[12]提出了一種基于概念內(nèi)涵、外延升降序的雙序漸進(jìn)式概念格合并算法，特點(diǎn)是在結(jié)構(gòu)上較好地保留了原有信息；2014年，徐敏政等[13]引入元胞數(shù)據(jù)組織結(jié)構(gòu)，將對象和屬性分別與概念節(jié)點(diǎn)的外延和內(nèi)涵同時(shí)求交，提出了雙向漸進(jìn)式概念格生成算法，解決了概念格構(gòu)建帶來的更新問題，避免了繁瑣的合并過程；2015年，Zou等[14]通過確定概念格的順序關(guān)系和尋找更新概念，提出了一種快速生成概念格的新算法。

以上的這些漸進(jìn)式概念格生成算法可以隨著增加對象(或者屬性)而動(dòng)態(tài)更新概念格，適用于記錄漸增事務(wù)數(shù)據(jù)庫類型的背景，且算法的效率都有不同程度的提高，但是，當(dāng)構(gòu)建概念格的概念數(shù)目巨大時(shí)，為避免構(gòu)建時(shí)的復(fù)雜過程，有效地提高構(gòu)建的效率，本文提出了一種基于內(nèi)涵虧值，經(jīng)由超集刪除，通過剩留父概念查找其所在等價(jià)類的頂元素來生成概念格正則隊(duì)列的全新方法，理論分析與實(shí)驗(yàn)對比論證均表明該漸增式構(gòu)建算法是可行的，不僅方法簡單有效，且在時(shí)間性能上比其他方法優(yōu)越，構(gòu)建效率更高。

1 概念格的定義及定理

定義1[15]若U為對象的集合，M為屬性的集合，I?U×M為U和M之間的關(guān)系，稱三元組=(U,M,I)為形式背景，簡稱背景。

定義2[15]若=(U,M,I)為一個(gè)背景，A?U，B?M，

f(A)={m∈M|?u∈A,(u,m)∈I}

g(B)={u∈U|?m∈B,(u,m)∈I}

若f(A)=B，g(B)=A，稱二元組(A,B)為形式概念，簡稱概念。并稱A為概念(A,B)的外延，B為概念(A,B)的內(nèi)涵。上所有概念的集合記為B()。

性質(zhì)1[15]若=(U,M,I)為一個(gè)背景，A1,A2?U，B1,B2?M，則：

1)A1?A2?f(A2)?f(A1)；

2)A1?A2?g(A2)?g(A1)；

3)A1?g(f(A1))；

4)B1?f(g(B1))；

5)f(A1)=f(g(f(A1)))；

6)g(B1)=g(f(g(B1)))；

7)f(A1)∩f(A2)=f(A1∪A2)；

8)g(B1)∩g(B2)=g(B1∪B2)。

定義3[15]設(shè)=(U,M,I)為一個(gè)背景，(X1,Y1)，(X2,Y2)∈B()：

1)若X1?X2，稱(X1,Y1)為(X2,Y2)的子概念，(X2,Y2)為(X1,Y1)的父概念，記為(X1,Y1)≤(X2,Y2)。若X1?X2，記為(X1,Y1)<(X2,Y2)。

2)若(X1,Y1)<(X2,Y2)，且不存在(X3,Y3)，有(X1,Y1)<(X3,Y3)<(X2,Y2)，則稱(X1,Y1)為(X2,Y2)的直接子概念，(X2,Y2)為(X1,Y1)的直接父概念，記作(X1,Y1)(X2,Y2)，并稱Y2-Y1為(X1,Y1)的一個(gè)內(nèi)涵虧值。

定義4[15]設(shè)(M,≤)是一個(gè)半序集，若M中任何兩個(gè)元素都有上確界和下確界,則稱(M,≤)為一個(gè)格。

表1 在0的基礎(chǔ)上增加對象u=6后得到的背景1

Tab.1 Formal context 1 formed by adding u=6 to original context 0

表1 在0的基礎(chǔ)上增加對象u=6后得到的背景1

Iabcdeh1××--××2-××--×3--××-×4××××-×5--××--6××-×-×

圖1 B=abdh在概念格(0)中形成的等價(jià)類

圖(0)的頂元素子格

圖3 背景1的概念格

2 內(nèi)涵虧值

定義6 將概念及其內(nèi)涵虧值表示成(#t,X,Y,W)，其中：X為外延；Y為內(nèi)涵；#t中的t為自然數(shù)，是生成概念時(shí)依次賦予的概念號(hào)；W={#t1:S1,…,#tk:Sk}為(X,Y)的內(nèi)涵虧值集合，其中#ti:Si表示#ti概念為(X,Y)的一個(gè)直接父概念，Si(i=1,2,…,k)表示#ti對(X,Y)的內(nèi)涵虧值。

定理1 若(X,Y)的內(nèi)涵虧值集合為Δ(X,Y)={S1,S2,…,Sk}，且S1∩B,S2∩B,…,Sk∩B都不空，則(X,Y)是頂元素；若存在某個(gè)Si∩B=?，則(X,Y)不是頂元素，且與Si對應(yīng)的直接父概念屬于同一個(gè)等價(jià)類。

證明 若(X,Y)是頂元素，則它的任意一個(gè)直接父概念(Xi,Yi)，有Y∩B?Yi∩B，所以對于內(nèi)涵虧值Si=Y-Yi，必有Si∩B=(Y-Yi)∩B=(Y∩B)-(Yi∩B)≠?，反之若Si∩B=?，則Si對應(yīng)的直接父概念(Xi,Yi)，必有(Y-Yi)∩B=?，即Y∩B=Yi∩B，所以(X,Y)不是頂元素，且與Si對應(yīng)的直接父概念屬于同一個(gè)等價(jià)類。

定義7 將概念排成正則隊(duì)列，所謂正則隊(duì)列，即在這個(gè)隊(duì)列中任何父概念都不出現(xiàn)在其子概念的后面。

3)若其內(nèi)涵虧值集合W中所有虧值與B的交都不為?，且YB，則在(1)中有新概念(#n,X∪{u},Y∩B,W1)及產(chǎn)生子概念(#t,X,Y,W2)。其中：W1={#p:(Y∩B)-Y1|(#p,X1,Y1,Wp)是(X,Y)在頂元素格的直接父概念產(chǎn)生的概念}；W2=W∪{#n:Y-B}，Y-B=Y-(Y∩B)是新概念(#n,X∪{u},Y∩B,W1)對(X,Y)的內(nèi)涵虧值，其中W中要?jiǎng)h除同樣是新概念(#n,X∪{u},Y∩B,W1)的直接父概念產(chǎn)生的內(nèi)涵虧值。

為了求新概念(X∪{u},Y∩B)的內(nèi)涵虧值，需求出(X,Y)在頂元素格中的各個(gè)直接父概念。為此有：

證明 因?yàn)轫斣?X,Y)與(X1,Y1)分別為等價(jià)類[(X,Y)]θ與[(X1,Y1)]θ的最大元素，所以有Y=f(g(Y∩B))，Y1=f(g(Y1∩B))。又因?yàn)樵陧斣馗裰?X1,Y1)為(X,Y)的直接父概念，所以有Y1∩B?Y∩B，于是f(g(Y1∩B))?f(g(Y∩B))，即Y1?Y。然而Y1∩B?Y∩B，有Y1≠Y，所以Y1?Y，即(X1,Y1)也是(X,Y)的父概念，于是必有一個(gè)(X,Y)的直接父概念(X2,Y2)滿足Y1?Y2?Y，有Y1∩B?Y2∩B?Y∩B，但因?yàn)?X1,Y1)在頂元素子格中是(X,Y)的直接父概念，所以有Y2∩B=Y1∩B或者Y2∩B=Y∩B。由于(X,Y)也是頂元素，有Y2∩B≠Y∩B，所以Y2∩B=Y1∩B。

為了方便地鑒別(X,Y)的哪些直接父概念所在等價(jià)類的頂元素為(X,Y)在頂元素格中的直接父概念，給出如下形式化的定義。

定義8 若概念(X,Y)的虧值集合為W，B?M：

1)若W=?(最大概念的情況)，則W相對于B的超集刪除為?。

2)若W={S1,S2,…,SK}，在集合{Si∩B,Si+1∩B,…,SK∩B}中將是其他元素的超集刪除，相同的值只留一個(gè)。

稱其結(jié)果為W相對于B的超集刪除，簡稱為超集刪除。稱這些未被刪除的內(nèi)涵虧值對應(yīng)的直接父概念為(X,Y)的剩留父概念。

顯然剩留父概念所在等價(jià)類的頂元素為(X,Y)在頂元素格中的直接父概念。

例3 如圖1所示，#11概念的內(nèi)涵虧值集合為Δ(4,abcdh)={cd,ad,ab}，這些內(nèi)涵虧值與B=abdh的交分別為cd∩abdh=d，ad∩abdh=ad，ab∩abdh=ab，將是其他元素超集的刪除，剩下d及ab。d及ab所對應(yīng)的內(nèi)涵虧值為cd及ab，cd及ab所對應(yīng)的直接父概念#7及#9為剩留父概念，它們所在等價(jià)類的頂元素為#11概念在頂元素格中的直接父概念。又如圖1所示，#9概念的內(nèi)涵虧值集合為Δ(34,cdh)={#5:d,#6:h}，這些內(nèi)涵虧值與B=abdh的交分別為d∩abdh=d，h∩abdh=h，超集刪除后還為d及h，d及h所對應(yīng)的直接父概念是#5概念及#6概念，它們?yōu)槭Ａ舾父拍睢?6概念所在等價(jià)類的頂元素就是本身，#5概念所在等價(jià)類的頂元素為#2概念，由此#2概念及#6概念為#9概念在頂元素格中的直接父概念。

利用剩留父概念查找其所在等價(jià)類的頂元素方法如下。

由定理1，檢查它的各個(gè)內(nèi)涵虧值Si與B的交是否為?，都不為?，則為頂元素。若存在某個(gè)Si∩B=?，則Si對應(yīng)的直接父概念(Xi,Yi)與(X,Y)在同一個(gè)等價(jià)類中。于是對(Xi,Yi)做如上的檢查，直到存在某一個(gè)概念，其內(nèi)涵虧值與B的交都不為空為止，此時(shí)這個(gè)概念就是(X,Y)直接父概念所在等價(jià)類的頂元素。若某個(gè)內(nèi)涵虧值Si，有Si∩B=?，則任何一個(gè)內(nèi)涵虧值Sj∩B都為它的超集，于是超集刪除的結(jié)果一定是{#i:?}。所以是否存在某個(gè)Si∩B=?，可用超集刪除的結(jié)果是否為{#i:?}來判定。

#9概念內(nèi)涵虧值集合中的d對應(yīng)的直接父概念是#5概念，由于是正則隊(duì)列，所以#5概念已出現(xiàn)在L1中，又由于#5概念的內(nèi)涵虧值集合為Δ(234,ch)={#2:c,#3:h}，超集刪除得{#2:?}，所以在L1中繼續(xù)向上找#2概念，#2概念的內(nèi)涵虧值集合為Δ(1234,h)={#1:h}，超集刪除得{#1:h}，不是{#i:?}，所以#2概念為#14概念(346,dh)的一個(gè)直接父概念，且內(nèi)涵虧值為：Si∩B=d∩abdh=d。

#9概念內(nèi)涵虧值集合中的h對應(yīng)的直接父概念是#6概念，由于是正則隊(duì)列，所以#6概念已出現(xiàn)在L1中，又由于#6概念的內(nèi)涵虧值集合為Δ(345,cd)={#3:d,#13:c}，超集刪除得{#13:?}，所以在L1中繼續(xù)向上找#13概念，#13概念的內(nèi)涵虧值集合為Δ(3456,d)={#1:d}，超集刪除得{#1:d}，不是{#i:?}，所以#13概念為#14概念的一個(gè)直接父概念，且內(nèi)涵虧值為：Si∩B=h∩abdh=h。

即#14概念在L1中的直接父概念有兩個(gè)，#2概念及#13概念，且內(nèi)涵虧值分別為：d及h。

3 概念格構(gòu)建算法

1)內(nèi)涵虧值集合的超集刪除子程序CO(W)。

輸入：W={#t1:S1,…,#tk:Sk}(允許W=?)。其中，#ti:Si表示Si為相對于概念#ti的內(nèi)涵虧值。 輸出：{#tp:Sp∩B,…,#tq:Sq∩B}(允許是?)。

方法：

IfW= ? Then 輸出?，結(jié)束 ElseFori= 1 tokForj= 1 tokIfi≠j,Si∩B?Sj∩B且#ti:Si未作刪除標(biāo)記 Then #ti:Si作刪除標(biāo)記 //因?yàn)槭?，不是?，所以最終相同值只留一個(gè) Exit(j)

//退出j循環(huán) EndIf

Next(j)

Next(i)

輸出{#t:S∩B|#t:S未作刪除標(biāo)記}，結(jié)束

EndIf

2)查找#t概念所在等價(jià)類頂元素的子程序Top(#t,V)。

輸入：#t,V。其中，#t為概念的概念號(hào)，#V為概念的內(nèi)涵虧值集合。 輸出：#i，為#t所在等價(jià)類頂元素的概念號(hào)。

方法：

//再向上查找Else輸出#t，結(jié)束 //#t為頂元素，輸出#tEndIf

EndIf

3)添加新對象后的概念格及內(nèi)涵虧值的計(jì)算ADD(L,u,B,n)。

L1:=?

Foreach(#t,X,Y,W) inLby order doWB:=CO(W)

//WB中存放W超集刪除的結(jié)果IfWB僅有一個(gè)元素 #i:?Then(#t,X,Y,W)送入L1隊(duì)尾

//#t不為頂元素，直接送入L1ElseIfY?BThen(#t,X∪{u},Y,W)送入L1隊(duì)尾 //#t為頂元素，且Y?B，則外延加u后送L1ElseW1:=?IfBW≠?ThenForeach(#i:Si∩B)inWB 在L1中取概念號(hào)為#i的概念(#i,C,D,V) 令W1:=W1∪{Top(#i,V):Si∩B}Next

EndIf

n:=n+1

(#n,X∪{u},Y∩B,W1)送入L1隊(duì)尾

W2:={#i:Si|(#i:Si)∈W且#i未出現(xiàn)在W1中}

W2:=W2∪{#n:(Y-B)}

(#t,X,Y,W2)送L1隊(duì)尾

EndIf

EndIf

Next

輸出L1結(jié)束。

L:=(#1,?,M,?)

//L為只有一個(gè)元素(#1,?,M,?)的隊(duì)列n:=1For each (u,B) inADD(L,u,B,n)L:=L1Next

輸出L，結(jié)束。

在硬件配置為CPUInteli3 2.40GHz，內(nèi)存為8GB，在VisualStudio2010的環(huán)境下，用VB.Net語言實(shí)現(xiàn)本文提出的概念格構(gòu)建算法，與文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[7]算法進(jìn)行了比較，隨機(jī)生成20個(gè)形式背景，概念個(gè)數(shù)從50開始遞增到500，變化基數(shù)為50，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，當(dāng)概念的數(shù)目小于100時(shí)，三種算法的區(qū)別并不明顯，當(dāng)概念的數(shù)目逐漸變大(大于150)時(shí)，本文提出的概念格構(gòu)建算法的運(yùn)行時(shí)間更快，效果更優(yōu)越，證明了其算法的有效性。

4 結(jié)語

本文提出了一種基于內(nèi)涵虧值快速構(gòu)建概念格的新方法：

1)將原概念格排成正則隊(duì)列后依次取概念元素。

2)所取概念的內(nèi)涵虧值集合作超集刪除。

3)由定理1判定，若為頂元素且元素內(nèi)涵不是B的子集，則得到產(chǎn)生子概念與新概念；若為頂元素且元素內(nèi)涵是B的子集，則得到產(chǎn)生概念。

4)由定理1判定，若不為頂元素，經(jīng)由剩留父概念繼續(xù)向上查找，查找其所在等價(jià)類的頂元素，逐步生成新概念格的正則隊(duì)列。

圖4 三種算法運(yùn)行時(shí)間對比

同時(shí)給出了概念格構(gòu)建的算法。三種算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比，表明本文提出的方法顯著提高了構(gòu)建概念格的效率，為數(shù)據(jù)挖掘進(jìn)一步的應(yīng)用研究創(chuàng)造了良好的條件。

對于文章提出的方法，可以給出一些技巧使步驟簡化，是進(jìn)一步研究的方向。

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ThisworkispartiallysupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(61273019),theYouthFundofUniversityofScienceandTechnologyLiaoning(2014QN21).

WU Jie, born in 1981, Ph.D.candidate, lecturer.His research interests include database and data mining, formal concept analysis.

LIANG Yan, born in 1982, M.S., lecturer.Her research interests include database and data mining, formal concept analysis.

MA Yuan, born in 1941, Ph.D., professor.His research interests include database and data mining, formal concept analysis.

Incremental formation of concept lattice based on intent waned value

WU Jie1*, LIANG Yan2, MA Yuan1

(1.SchoolofSoftware,UniversityofScienceandTechnologyLiaoning,AnshanLiaoning114051,China;2.SchoolofAppliedTechnology,UniversityofScienceandTechnologyLiaoning,AnshanLiaoning114051,China)

Concerning the tedious process during the construction of concept lattice, to improve the efficiency of building concept lattices, a new incremental method of constructing concept lattice based on intent waned value by seeking top elements was proposed.Firstly, top element, original concept, produced concept, new concept, producer concept, the set of intent waned values, reminded parent concept, superset delete and regular queue were formally defined; the judging theorem and proof whether the concept elements were top elements were given.Secondly, the elements were extracted from the regular queue of the original lattice in due order and the reminded parent concepts were got after superset delete.Finally, the top elements were found from the equivalent classes of the reminded parent concepts and the regular queue of the new lattice was gradually generated.Time complexity was effectively reduced compared with the Attribute-based Concept Lattice Incremental Formation (CLIF-A) algorithm and the FastAddIntent algorithm by theory analysis.In comparison with simulated experiments, the time consumption of the proposed algorithm was far less than the comparative approaches in large size of population.The simulation results show that the proposed algorithm is simple, and can effectively improve the time performance, meanwhile provides better performance in construction efficiency.

concept lattice; intent waned value; top element; superset delete; regular queue

2016-06-14;

2016-08-22。

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273019)；遼寧科技大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(2014QN21)。

吳杰(1981—)，男，山東蓬萊人，講師，博士研究生，主要研究方向：數(shù)據(jù)庫與數(shù)據(jù)挖掘、形式概念分析； 梁妍(1982—)，女，遼寧鞍山人，講師，碩士，主要研究方向：數(shù)據(jù)庫與數(shù)據(jù)挖掘、形式概念分析； 馬垣(1941—)，男，北京人，教授，博士，主要研究方向：數(shù)據(jù)庫與數(shù)據(jù)挖掘、形式概念分析。

1001-9081(2017)01-0222-06

10.11772/j.issn.1001-9081.2017.01.0222

TP18

A