Besov空間到Bloch型空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子

許 毅，侯曉陽

(1.溫州大學 數(shù)學與信息科學學院，浙江 溫州 325035；2.溫州商學院 基礎(chǔ)部，浙江 溫州 325035)

Besov空間到Bloch型空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子

許 毅1，侯曉陽2*

(1.溫州大學 數(shù)學與信息科學學院，浙江 溫州 325035；2.溫州商學院 基礎(chǔ)部，浙江 溫州 325035)

設(shè)φ為單位圓盤D上的解析自映射，u為D上的解析函數(shù)。本文討論從Besov空間Bp,q到α-Bloch型空間?α的加權(quán)微分復(fù)合算子Dnφ,u，通過構(gòu)造復(fù)雜的檢驗函數(shù)得出了算子有界性和緊性的充分必要條件。

有界性；緊性；加權(quán)微分復(fù)合算子；Besov空間；Bloch型空間

設(shè)0＜p＜∞，-1＜q＜∞，若函數(shù) f滿足：

其中dA(z)是D上的Lebesgue測度，則稱 f屬于Besov空間Bp,q。

當 p=2時，B2,q=?q是加權(quán)Dirichlet空間；由文獻[1-2]可知，當1＜p＜∞時，Bp,p-2=Bp為解析Besov空間，并且Bp是Bloch空間?的一個子空間；另由[1]中的定理4.28得，當 p＞0時，是Bergman空間。

設(shè)D=D1是微分算子，即Df=f′。對?n∈?+，有，規(guī)定D0f=f，?f∈H() D。

其中u∈H(D )，φ是D上的一個非常值的解析自映射。

定理2 設(shè)u∈H(D )，φ為D上非常值的解析自映射，且0＜p＜∞，-1＜q＜∞，則加權(quán)微分復(fù)合算子是緊算子的充分必要條件是是有界算子，且

在無其他說明的情況下，以下均假設(shè)：

另外，E表示與z，w等無關(guān)的正常數(shù)，且在不同的地方可以表示不同的數(shù)。

1 定理1的證明

為了證明定理1，我們需要用到下述引理。

引理1[8]設(shè) f∈Bp,q，z∈D，則有

下面證明定理1。

證明 充分性：對任意 f(z)∈Bp,q，根據(jù)三角不等式和引理1，有

另一方面

由式(5)，(6)得到

為此固定ω∈D，引入函數(shù)

不難驗證 fω∈Bp,q，且

經(jīng)計算可得

因此由式(7)-(11)及?α中范數(shù)的定義，得

由上式可知

由上式得到

由(12)及(13)可得(1)成立。

對(2)式，同樣固定ω∈D，考察函數(shù)

2 定理2的證明

在定理2證明過程中需要用到下面引理。

引理2是文獻[9]中的命題3.11的特殊情況，取X=Bp,q，Y=Bα即可。

定理2的證明如下。

由于 fk在D的緊子集上一致收斂于0，由Weierstrass定理可知在D的緊子集上也一致收斂于0，又因為是有界算子，由定理1可得(1)，(2)成立，因此存在K0∈?+，使得當k＞K0時，有

利用(14)，(15)可得，當k＞K0時，有

這里 fk為(8)中定義的函數(shù)。由(9)-(11)得

對于|z|≤r＜1有

所以 fk在D的緊子集上一致收斂于0。

由引理2，結(jié)合式(16)可知

由此及|φ(zk)|→1-得

因此(3)成立。

對(4)式，取檢驗函數(shù)

類似(3)證明討論可得。

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Weighted differentiation composition operators from Besov spaces to Bloch type spaces

XU Yi1，HOU Xiao-yang2*
(1.College of Mathematics and Information Science，Wenzhou University,Wenzhou ZheJiang 325035,China; 2.Department of Basics,Wenzhou Business College,Wenzhou ZheJiang 325035,China)

letφbe an analytic self-map of the unit diskD,andube an analytic function onD.The boundedness and compactness of the weighted differentiation composition operatorDnφ,ufrom Besov spaceBp,qtoα-Bloch type space?αis discussed in this paper,and some necessary and sufficient conditions are obtained by constructing complex test functions.

boundedness;compactness;weighted differentiation composition operator;Besov space;Bloch type space

O177.2

A

1004-4329（2017）01-013-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-013-04

2016-11-10

侯曉陽（1982- ），男，碩士，講師，研究方向：算子理論與泛函分析。Email：xyhou@wzbc.edu.cn。