新課程下高中數(shù)學(xué)解題方法例析

江蘇省淮北中學(xué)(223900)

王 凱●

新課程下高中數(shù)學(xué)解題方法例析

江蘇省淮北中學(xué)(223900)

王 凱●

本文基于變量代換、轉(zhuǎn)化思想和整體思想三種解題方法，結(jié)合具體例題就它們的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了深入探討.

解題方法；變量代換；轉(zhuǎn)化；整體

“變則通，通則久.”為了有效地應(yīng)對新課程對高中數(shù)學(xué)提出的新要求，必須要打破傳統(tǒng)僵化死板解題方法的束縛，創(chuàng)新解題方法，否則如果繼續(xù)采用傳統(tǒng)解題法，那么學(xué)生無法有效解決新時期高中數(shù)學(xué)問題.

一、變量代換的實(shí)例分析

所謂的變量代換解題方法主要是通過在解題的過程中將某些關(guān)鍵的參數(shù)替換為其他內(nèi)容來達(dá)到簡化數(shù)學(xué)問題，降低學(xué)生解決難度的目的.特別是對于某些難度比較大或者抽象性比較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題，傳統(tǒng)的解題方法無法有效得到解決，此時數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生來合理運(yùn)用變量代換解題方法來達(dá)到解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的目的，尤其適用于不等式等相關(guān)數(shù)學(xué)問題的求解中，相應(yīng)的解題速度也比較理想.而就變量代換解題方法的具體類型而言，其主要包括三角變量代換解題法、函數(shù)變量代換解題法和導(dǎo)數(shù)變量代換解題法等，以下結(jié)合具體例題來就這些解題方法的應(yīng)用進(jìn)行探討：

(1)三角變量代換法.三角變量代換解題法主要是借助恰當(dāng)?shù)娜谴鷵Q或者三邊代換來簡化代數(shù)問題，使其轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)方面的題型來進(jìn)行求解，尤其適用于某些積分類型等數(shù)學(xué)題目的求解.

例1 已知a+b≤r(2a+b)，其中參數(shù)a、b均為任意實(shí)數(shù)，求r的取值范圍.

解析 該道例題是一道涉及到兩個參數(shù)的不等式類型題，傳統(tǒng)的求解方法可能計(jì)算起來難度比較大，且過程比較繁瑣，但是此時如果數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)?shù)睾喕}干信息，借助變量代換的合理應(yīng)用，那么就可以幫助學(xué)生更好地求解相關(guān)數(shù)學(xué)問題.

解 先使不等式兩邊分別除以b后可得：a/b+1≤r(2(a/b)+1)，此時借助變量代換解題法，設(shè)定a/b=1/2tanz(0°

解析 針對該道題目，學(xué)生通過觀察即可發(fā)現(xiàn)所給等式中有一個共性，就是其中a/2和a/3這種結(jié)構(gòu)，此時如果可以將其替換為另一個參數(shù)，那么獲取可以達(dá)到簡化題目的目的，具體就是將2/a替換為d/3，a/3替換為2/d，且a=2/d，這樣就可以將原式進(jìn)行簡化，學(xué)生便捷即可求出f(a)=a-2/a.如此一來，可以大大簡化題干信息，有助于幫助學(xué)生快速解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)題目，增強(qiáng)學(xué)生解題準(zhǔn)確率和效率.

(3)導(dǎo)數(shù)變量代換解題法.導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是高中學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)知識，其并非是獨(dú)立存在的，同時和其他數(shù)學(xué)知識具有很強(qiáng)的聯(lián)系性.而導(dǎo)數(shù)變量代換解題法則主要是在結(jié)合函數(shù)性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，將導(dǎo)數(shù)式中的相關(guān)部分以特定參數(shù)替代來達(dá)到簡化問題的目的.

解析 通過分析題干信息即可知道，F(xiàn)(x)本身屬于x的復(fù)合函數(shù)，此時可以將ex替換為u，那么就可以將原式進(jìn)行有效簡化，然后學(xué)生即可按照一般導(dǎo)數(shù)求解規(guī)則即可解決該問題.

二、轉(zhuǎn)化思想的實(shí)例分析

顧名思義，轉(zhuǎn)化思想解題方法實(shí)際上就是將已知問題元素從已給出的形式轉(zhuǎn)化為另一種形式來進(jìn)行問題的求解，可以簡化有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生更加便捷地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.特別是針對某些比較抽象或者繁雜的數(shù)學(xué)問題，此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)原理來探討與解題相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系來進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，以便達(dá)到解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的目的，尤其適用于三角函數(shù)、最值問題、概率問題等相關(guān)數(shù)學(xué)問題的求解中，下面以轉(zhuǎn)化思想解題方法在三角函數(shù)問題求解中的應(yīng)用進(jìn)行探究.

例4 已知直線3x+4y+m=0和圓(x=1+cosθ,y=-2+sinθ)二者之間不存在公共點(diǎn)，求參數(shù)m的取值范圍.

解析 考慮到二者沒有公共點(diǎn)，那么可以結(jié)合已知條件來對其進(jìn)行化簡得到4sinθ+3cosθ=5-m，考慮到直線和曲線二者沒有公共點(diǎn)，且可知：-5≤4sinθ+3cosθ≤5，那么求解可得出m的最終取值范圍為：m>10或者m<0.

三、整體思想的實(shí)例分析

整體思想解題方法主要是要求教師為學(xué)生提供一個整體的數(shù)學(xué)知識框架，并為學(xué)生仔細(xì)講解各個部分?jǐn)?shù)學(xué)知識，幫助學(xué)生從整體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步過渡到局部數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生可以更好地歸納和總結(jié)必要的數(shù)學(xué)知識，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的效果.例如，在學(xué)習(xí)高中立體幾何方面數(shù)學(xué)問題的時候，學(xué)生可能會對該部分?jǐn)?shù)學(xué)問題的求解感到非常困惑，無法有效找到解題突破口，此時數(shù)學(xué)教師可以先抓住立體結(jié)合的證明和計(jì)算兩個環(huán)節(jié)來強(qiáng)化學(xué)生靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識來求解數(shù)學(xué)問題.通過解決線與線、線與面以及面與面等方面平行和垂直方面的證明關(guān)系后，再引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算角和距離方面的知識，那么可以通過層次性知識學(xué)習(xí)來全面增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題的整體求解能力.

總之，變量代換、轉(zhuǎn)化思想和整體思想等均是常見的解題方法，其在實(shí)際數(shù)學(xué)問題求解中的合理應(yīng)用，均有助于簡化數(shù)學(xué)問題，降低學(xué)生解題難度，幫助學(xué)生快速找到解題突破口.但是需要注意的是不同解題法具有其特有的適用條件，具體需要結(jié)合實(shí)際數(shù)學(xué)問題來合理選擇解題方法，以便使學(xué)生可以靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)解題方法來解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題，從而不斷提高學(xué)生解題能力.

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1008-0333(2017)07-0052-01