不等式恒成立問題的解題技巧分析

湖北省水果湖高級中學(xué)(430071)

邱俊逸●

不等式恒成立問題的解題技巧分析

湖北省水果湖高級中學(xué)(430071)

邱俊逸●

不等式是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，其中又以不等式恒成立問題最為重要.它在眾多的知識板塊均有著廣泛的運用，是處理問題的常用方法之一.近年來，不等式恒成立問題已逐漸成為了高考數(shù)學(xué)的熱門考點，因此，本文著重對不等式恒成立問題的解題技巧進(jìn)行了分析.

不等式恒成立;解題技巧;高中數(shù)學(xué)

近年來，不等式恒成立問題逐漸成為了高考數(shù)學(xué)的熱門考點.其題型靈活多變，又常常出現(xiàn)在考高的壓軸題型中，因此，不等式恒成立問題常常讓很多同學(xué)在考場中心生畏懼，成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個瓶頸.因此，現(xiàn)結(jié)合自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對不等式恒成立問題的解題技巧進(jìn)行了簡要探討，希望對一些同學(xué)解題能力的提升有所助力.

一、變量轉(zhuǎn)換

變量轉(zhuǎn)換法在不等式恒成立問題中十分常見，其主要用于參數(shù)和變量相結(jié)合的問題，在這類問題中，我們可以根據(jù)具體的題設(shè)條件，將參數(shù)和變量相互轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到簡化解題過程中的目的.

分析 本題是一道典型的含參變量的問題，若按照常見方法進(jìn)行求解，則需對a在a=0和a≠0兩種不同的情況下展開討論.當(dāng)a≠0時，又涉及到二次函數(shù)的相關(guān)知識點，從而使解題過程變得復(fù)雜.但如果轉(zhuǎn)換變量，將x看成參數(shù)，a看成變量，這樣就將二次函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，從而起到簡化解題過程的目的.

點評 在涉及到此類含有兩個字母的不等式恒成立問題中，且其中一字母取值范圍已經(jīng)告知的情況下，可通過變量轉(zhuǎn)換的方法，將函數(shù)進(jìn)行改寫，從而實現(xiàn)對討論函數(shù)的簡化，可快速對問題進(jìn)行求解.

二、巧用函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)是對函數(shù)特征的具體表征，因此，其常常結(jié)合不等式恒成立問題來設(shè)計題目.遇到這類問題時，可以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)展開討論，例如將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，這樣一來就能使解題思路更加清晰.

例2 已知在函數(shù)f(x)=x3+ax+x+3中，a為實數(shù)，如果f(x)在區(qū)間(-2/3，-1/3)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，試求a的取值范圍.

分析 該題已告知自變量的范圍，因此，學(xué)生在解題過程中只需考慮對變量進(jìn)行討論，同時要注意二次函數(shù)的零點分布問題以及函數(shù)的一些特殊點，這樣一來，就能使問題得到簡化.

解 因為函數(shù)f(x)=x3+ax+x+3在區(qū)間(-2/3，-1/3)內(nèi)是減函數(shù)，所以在區(qū)間(-2/3，-1/3)內(nèi)，對函數(shù)求導(dǎo)，則有：f′(x)=3x2+2ax+1≤0恒成立.

點評 在此類不等式恒成立問題中，首先要熟悉函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解，可使解題思路更加清晰，同時要注意函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的分布情況.

三、分離參數(shù)

在不等式恒成立問題中，常常出現(xiàn)一個已知范圍的變量和一個需要求解范圍的變量，這時可以先將需要求解的變量作為參數(shù)，已知范圍的參量作為變量，再對方程進(jìn)行恒等變形，最后將問題轉(zhuǎn)化成為與函數(shù)最值相比較的問題.如將參數(shù)分離為：a>f(x)或者a

分析 由題設(shè)條件可知，h與f均為未知量，且其中f的取值范圍已告知，所以，可將h看做參數(shù)，f作為變量，然后將h與f進(jìn)行分離，構(gòu)造關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可求出h的取值范圍.

令G(f)=(f2-2f)/(f-lnf)，對G(x)進(jìn)行求導(dǎo)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，求出其最小值，從而可解出h的取值范圍為：h≤-1.

點評 參數(shù)分離在不等式恒成立問題中較為常用，其目的是實現(xiàn)對參數(shù)的分離，從而將問題回歸到對函數(shù)討論的本質(zhì)上來，可實現(xiàn)對解題過程的清晰化.但在進(jìn)行恒等變形的時，需要注意符號的變化情況，且注意對可能存在的情況進(jìn)行分類討論.

[1]吳永貴.高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題的解題思路分析[J].科學(xué)中國人,2016,12:342.

[2]龔小霞.關(guān)于高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題的解題方法分析[J].數(shù)理化解題研究,2015,19:9.

[3]郭喜紅.高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題的解題思路研究[J].數(shù)理化解題研究(高中版),2013,12:22.

G632

B

1008-0333(2017)07-0051-01