似曾相識(shí)于2016江蘇高考

江蘇省如皋市第一中學(xué)(226500)

陳山云●

似曾相識(shí)于2016江蘇高考

江蘇省如皋市第一中學(xué)(226500)

陳山云●

2016年江蘇高考數(shù)學(xué)理科試卷第18題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，考查解不等式，并將圓與向量相結(jié)合.利用存在與任意(恒成立)問題相結(jié)合,從而有效地解決了實(shí)際問題.其實(shí)，早在2014年江蘇省宿遷市第一次模擬考試中就出現(xiàn)過(guò)類似思想方法的試題，接下來(lái)，筆者就這道題說(shuō)開去.

試題 (2014年江蘇省宿遷市一模試卷)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圓為圓H．

(1)若直線l過(guò)點(diǎn)C，且被圓H截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；

(2)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求圓C的半徑r的取值范圍．

考點(diǎn) 直線和圓的方程的應(yīng)用．

解析 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的難度．(1)略.下面主要來(lái)看(2)的解法．

法1 解 因?yàn)閷?duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P，以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),所以有PM=MN.過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為T,根據(jù)切割線定理:PT2=PM×PN=MN×2MN=2MN2.

M,N是圓C上不同的兩點(diǎn)，故有MN∈(0,2R].如此，問題轉(zhuǎn)化為：

接下來(lái)，如果消去d,得PC2-R2=2MN2(同上)；但若消去MN,則9R2-PC2=8d2.

同理，因?yàn)閷?duì)線段BH上的任意一點(diǎn)P，以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，即：

法3 設(shè)P的坐標(biāo)，可得M的坐標(biāo)，代入圓的方程，然后利用兩圓有公共點(diǎn)，由此可求得⊙C的半徑R的取值范圍．

解 直線BH的方程為3x+y-3=0，P為線段BH上任意一點(diǎn)，故可設(shè)P(x,3-3x)，設(shè)M(x0,y0)，因M為PN中點(diǎn)，則有N(2x0-x,2y0+3x-3).

∵P為線段BH上任意一點(diǎn)，且以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，則圓C與BH無(wú)交點(diǎn)，

接下來(lái)，我們來(lái)看看2016江蘇高考理科數(shù)學(xué)第18題

題目 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2，4)．

(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；

考點(diǎn) 圓的一般方程；直線與圓的位置關(guān)系；解不等式．

解析 題(1)(2)略，題(3)與上題類似，請(qǐng)看以下解法：

點(diǎn)評(píng) 這里利用了圓上任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離不大于圓的直徑這一結(jié)論.與上一題法(1)類似.

法2 仿照以上方法(3)，此題亦可作如下處理：

這兩道題都考查了直線與圓的位置關(guān)系，都涉及到存在與恒成立問題，借助于解不等式，利用函數(shù)的辦法具有一定的普適性.當(dāng)然，對(duì)于2016年的這道高考題，以上解法1還是有一定的巧妙性的，通過(guò)向量等式的變形，結(jié)果便一目了然.正所謂“變則通”，在我們的學(xué)習(xí)中，亦是如此，教材是我們教學(xué)的第一個(gè)起點(diǎn)，對(duì)教材的進(jìn)一步理解和挖掘是教學(xué)的又一個(gè)起點(diǎn)，多一個(gè)起點(diǎn)，就多了一種選擇與思考，這樣我們解決實(shí)際問題的能力也就越來(lái)越強(qiáng).

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