福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000)
劉彬輝●
導(dǎo)數(shù)綜合題中零點(diǎn)不可求問題的突破方法
福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000)
劉彬輝●
導(dǎo)數(shù)經(jīng)常作為高考壓軸題的考點(diǎn)出現(xiàn),導(dǎo)數(shù)求解過程中頻繁碰到導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求,這讓很多考生望而卻步,為此筆者以近年高考或高三聯(lián)考中涉及導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求的試題為例,系統(tǒng)闡述該問題的突破,供讀者參考.
此類導(dǎo)函數(shù)往往具備單調(diào)性,可以先找導(dǎo)函數(shù)特殊零點(diǎn),再結(jié)合單調(diào)性寫出單調(diào)區(qū)間
(Ⅰ)求l的方程;(Ⅱ)證明:除切點(diǎn)(1,0)之外,曲線C在直線l的下方.
當(dāng)0 當(dāng)x>1時,x2-1>0,lnx>0,所以g′(x)>0,故g(x)單調(diào)遞增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1).所以除切點(diǎn)之外,曲線C在直線l的下方. 評注 本題中x2-1+lnx=0屬于超越方程,常規(guī)方法無法求解,仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)把方程左邊看作一個函數(shù),發(fā)現(xiàn)其是遞增的而且有一個零點(diǎn)1,問題就迎刃而解了. 此類導(dǎo)函數(shù)可以判斷存在零點(diǎn),當(dāng)題目要求出對應(yīng)的極值時可以考慮虛設(shè)零點(diǎn),整體代入. 例2 (2015年全國新課標(biāo)1)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx. (1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個數(shù);(2)證明:當(dāng)a>0時,f(x)≥2a+alnx. 當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,f′(x)沒有零點(diǎn). (2)證明:由(1)可設(shè)f′(x)在(0,+∞)上的唯一零點(diǎn)為x0.當(dāng)x∈(0,x0)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0. 故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0). 此類導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)無法找到特殊值,可以考慮導(dǎo)函數(shù)整體或部分再次求導(dǎo),再結(jié)合其它方法尋找突破. 例3 設(shè)函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx. (Ⅱ)若對所有的x≥0,都有f(x)-f(-x)≥ax,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 (Ⅰ)略. (Ⅱ) 記h(x)=f(x)-f(-x)-ax=ex-e-x-ax,∴h(x)≥0在[0,+∞)恒成立, h′(x)=ex+e-x-a,∵h(yuǎn)″(x)=ex-e-x≥0(∵x≥0), ∴h′(x)在[0,+∞)遞增,又h′(0)=2-a, ∴①當(dāng)a≤2時,h′(x)≥0成立, 即h(x)在[0,+∞)遞增,則h(x)≥h(0)=0,即f(x)-f(-x)≥ax成立. ②當(dāng)a≥2時,∵h(yuǎn)′(x)在[0,+∞)遞增,且h′(x)max=2-a<0, ∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0.則x∈(0,t)時,h′(t)<0,即x∈(0,t)時,h(t) ∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0. 即x∈(0,t)時,h(t) 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2. 評注 本題用到了兩次求導(dǎo),多次求導(dǎo)切忌不可濫用,本題二次求導(dǎo)后函數(shù)明顯簡單化,這樣子再去尋找零點(diǎn)就順理成章,另外也得注意不可把二次導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與原函數(shù)零點(diǎn)混淆. 此類函數(shù)相比前三種方法更不容易想到,可考慮把原區(qū)間分成幾部分或通過適當(dāng)?shù)幕啺言瘮?shù)分解成幾部分再進(jìn)一步研究,一般分為兩部分較為常見. 當(dāng)x>1時,φ′(x)>0,φ(x)遞增;當(dāng)0 ∴φ(x)在x=1處取得唯一的極小值,即為最小值,即φ(x)≥φ(1)=1>0,∴F′(x)>0, ∵x>1,∴1-ex<0,∴h′(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù), 例5 (2016全國卷新課標(biāo)理)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點(diǎn). (Ⅰ)求a的取值范圍;(Ⅱ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點(diǎn),證明:x1+x2<2. (Ⅰ)法二:∵f(1)≠0,∴x=1不是函數(shù)f(x)的零點(diǎn). 當(dāng)x∈(-∞,1)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減. 又當(dāng)x∈(-∞,1)時,g(x)∈(0,+∞),當(dāng)x∈(1,+∞)時,g(x)∈R,故當(dāng)a>0時,函數(shù)y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個交點(diǎn),即方程a=g(x)有兩解,此時a的取值范圍為(0,+∞). (Ⅱ)解答略. 評注 本題零點(diǎn)個數(shù)判斷問題,最常用的思路是零點(diǎn)存在性定理,但在具體解題中會出現(xiàn)很難尋找對應(yīng)區(qū)間的正數(shù)或負(fù)數(shù)點(diǎn),解題中要注意可能要適當(dāng)?shù)胤趴s把式子簡化,同時也要注意在對應(yīng)區(qū)間可能出現(xiàn)恒正或恒負(fù)情況. 綜上可知,以上幾種方法各有千秋,解題中作為參考,使用中要做到具體問題具體分析,靈活使用. [1]林國夫.2013年高考導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中的“隱零點(diǎn)”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2013(9). [2]福建省教育考試院2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試試題、參考答案[M].2016(6). G632 B 1008-0333(2017)07-0017-02二、虛設(shè)零點(diǎn),整體代入
三、多次求導(dǎo),柳暗花明
四、合理重組,化繁為簡
五、零點(diǎn)判斷,注意正負(fù)