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    極值點(diǎn)偏移條件試題的命題背景及解題方法

    2017-04-15 01:11:02福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)362000福建省泉州第五中學(xué)362000
    數(shù)理化解題研究 2017年7期
    關(guān)鍵詞:極小值極值零點(diǎn)

    福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000) 福建省泉州第五中學(xué)(362000)

    崔紅光● 楊蒼洲●

    極值點(diǎn)偏移條件試題的命題背景及解題方法

    福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000) 福建省泉州第五中學(xué)(362000)

    崔紅光● 楊蒼洲●

    近年以極值點(diǎn)偏移圖象特征為背景的題目時(shí)常會(huì)出現(xiàn)在試題的壓軸題位置,筆者歸納總結(jié)了極點(diǎn)偏移條件及處理方法.

    一、極值點(diǎn)偏移滿足的條件及相應(yīng)結(jié)論

    結(jié)論一 若定義域?yàn)榧螹的函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)x0,當(dāng)x,2x0-x∈M時(shí),若f′(x)+f′(2x0-x)<0,則極值點(diǎn)左偏(如圖1) .若滿足f(x1)=f(x2),且x1≠x2,則有x1+x2>2x0.

    證明 令f(x1)=f(x2),因?yàn)閤1≠x2,所以x1F(x0)=0,

    所以f(x1)>f(2x0-x1).又因?yàn)閒(x1)=f(x2),所以f(x2)>f(2x0-x1).而2x0-x1>x0,x2>x0,f(x)在x0右側(cè)區(qū)間遞增,從而x2>2x0-x1,即x1+x2>2x0.

    結(jié)論三 若定義域?yàn)榧螹的函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)x0,當(dāng)x,2x0-x∈M時(shí),若f′(x)+f′(2x0-x)>0,則極值點(diǎn)左偏(如圖三).若滿足f(x1)=f(x2),且x1≠x2,則有x1+x2>2x0.

    結(jié)論二、三、四的證明,可以仿照結(jié)論一進(jìn)行證明.限于篇幅此處從略,留給有興趣的讀者進(jìn)行探究.

    二、以極值點(diǎn)偏移為背景的試題命制方法

    f′(x)的零點(diǎn)左側(cè)的圖象比右側(cè)的圖象變化更快,則極值點(diǎn)左偏;反之f′(x)的零點(diǎn)左側(cè)的圖象比右側(cè)的圖象變化更慢,則極值點(diǎn)右偏.若導(dǎo)數(shù)圖象不易作出,再求二階導(dǎo),通過(guò)二階導(dǎo)確定一階導(dǎo)的圖象變化情況,這種方法往往更快更實(shí)用.

    有了上面這些結(jié)論,我們就可以設(shè)計(jì)題目了.如證明上述結(jié)論(2), 以定義域?yàn)榧螹的函數(shù)f(x)只有一個(gè)左偏的極小值點(diǎn)x0為例,證明:x1+x2>2x0.我們可以這樣分析:要比較的是有關(guān)自變量的不等關(guān)系,我們比較大小的一個(gè)重要方法是利用函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而想到可否將比較自變量大小利用函數(shù)單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化成比較對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大??;要證x1+x2>2x0,只需證x2>2x0-x1,而x2>2x0-x1>x0,f(x)在x0右側(cè)區(qū)間遞增,即證f(x2)>f(2x0-x1)①.至此需證二元不等式,思想方法是二元化一元.因?yàn)閒(x1)=f(x2),原不等式化成f(x1)>f(2x0-x1),易想到構(gòu)造F(x)=f(x)-f(2x0-x),x0由只有一個(gè)左偏的極小值點(diǎn)解析式特征,易證F′(x)=f′(x)+f′(2x0-x)<0,F(xiàn)(x)遞減,F(xiàn)(x1)>F(x0)=0,所以f(x1)>f(2x0-x1)

    ①式成立,故結(jié)論成立了.

    三、以極值點(diǎn)偏移為背景的試題賞析及解題方法

    例1 (2016全國(guó)乙卷21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,

    (1)求a的取值范圍;

    (2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.

    分析 本題是極值點(diǎn)右偏類型.

    (1)略;(2)f′(x)=(x-1)(ex+2a).由(1)得a>0,易得x=1是f(x)的極小值點(diǎn),則x1<10,F(xiàn)(x)遞增,F(xiàn)(x1)

    根據(jù)每個(gè)命題本身,往往這類題目還有其它方法,這里暫時(shí)不提及.

    本題可做拓展,設(shè)置問(wèn)題:若x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1x2<1.

    綜上所述:x1x2<1,證畢.

    分析 本題是極值點(diǎn)右偏類型.(1)略;(2)設(shè)x0為f(x)的極值點(diǎn).

    本題可做拓展,證明:x1x2

    G632

    B

    1008-0333(2017)07-0003-02

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