利用函數(shù)解答實(shí)際問題要充分考慮自變量的實(shí)際意義
——對(duì)一道教材例題解答的剖析

馬世江

(甘肅省天?？h西大灘鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué),甘肅 武威 733205)

利用函數(shù)解答實(shí)際問題要充分考慮自變量的實(shí)際意義
——對(duì)一道教材例題解答的剖析

馬世江

(甘肅省天祝縣西大灘鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué),甘肅 武威 733205)

數(shù)學(xué)來源于生活，最終回歸于生活，初中數(shù)學(xué)中利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解決實(shí)際問題的事例很普遍；利用二次函數(shù)求利潤最大值時(shí)，我們必須得考慮自變量取值的實(shí)際意義.

教材例題；解答；質(zhì)疑

一、問題來源

人教版義務(wù)教育教科書，九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二十二章《二次函數(shù)〈22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)〉》，第50頁探究2.

(一)教材展示的問題

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可出售300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？

(二)教材展示的分析

分析：調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況，我們先來看漲價(jià)的情況.

(1)設(shè)每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤y隨之變化.我們先來確定y隨x變化的函數(shù)式.漲價(jià)x元時(shí)，每星期少賣出10x件，實(shí)際賣出(300-10x)件，銷售額為(60+x)(300-10x)元，買進(jìn)商品需付40(300-10x)元.因此，所得利潤y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),即y=-10x2+100x+6000,其中，0≤x≤30(注：教材通過對(duì)話框提出了問題——“怎樣確定x的取值范圍？”)

根據(jù)上面的函數(shù)，填空：當(dāng)x=____時(shí)，y最大，也就是說，在漲價(jià)的情況下，漲價(jià)____元，即定價(jià)____元時(shí)，利潤最大，最大利潤是____.

(2)在降價(jià)的情況下，最大利潤是多少？請(qǐng)你參考(1)的討論自己得出答案.

由(1)的討論及現(xiàn)在的銷售狀況，你知道應(yīng)如何定價(jià)能使利潤最大嗎？

二、筆者質(zhì)疑

(一)質(zhì)疑之點(diǎn)

怎樣確定x的取值范圍？教材在問題(1)分析當(dāng)中提供的答案合理嗎？(筆者所加劃線部分)，真是筆者質(zhì)疑的問題.

(二)筆者分析

問題一:不調(diào)整原來價(jià)格能使利潤最大嗎？

不調(diào)整原來價(jià)格能使利潤最大嗎？這一種可能是有的，請(qǐng)看下例.

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件65元，每星期可出售250件，市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件；已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？

分析：設(shè)每件漲價(jià)x元，每星期售出商品的利潤為y元，根據(jù)題意得y=(65+x-40)(250-10x),化簡(jiǎn)得，y=-10x2+6250.此時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值6250.即，該商品按原來售價(jià)出售時(shí)，利潤最大為6250元.(6250元也真是按65元銷售的利潤.)

看來調(diào)整價(jià)格的過程中，有時(shí)保持原價(jià)(漲價(jià)為0元)時(shí)利潤是最大的.

問題二：教材問題中，漲價(jià)能達(dá)到30元嗎？

根據(jù)題意可知，價(jià)格未調(diào)整時(shí)的利潤為(60-40)×300=6000元.該題目探究的是如何定價(jià)才能使利潤最大？問題可理解為兩層意思：在價(jià)格調(diào)整過程中原售價(jià)獲得的利潤是否為最大利潤？如果是，則該定價(jià)就是獲得最大利潤的定價(jià)；如果不是,又該如何定價(jià)？ 現(xiàn)在售價(jià)上漲時(shí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)銷售量卻在減少.設(shè)每件漲價(jià)x元，每星期少賣出10x件，實(shí)際賣出300-10x件.結(jié)合實(shí)際，我們知道只有銷售量大于0，才能保證有獲得利潤的前提；即300-10x必須大于0，且滿足300-10x>0中存在一個(gè)恰當(dāng)?shù)膞，使y=-10x2+100x+6000有最大值.

本題目中，若300-10x等于0，即x=30時(shí)，銷售量為0了，無利潤可談，更別談追求最大利潤了.在開始獲利6000元的情況下，要想追求最大利潤，因此在調(diào)整價(jià)格時(shí)，售價(jià)說什么也不能定為90元，即漲價(jià)不會(huì)達(dá)到30元，否則銷售量為0了，漲價(jià)始終是低于30元的.

當(dāng)x=5時(shí)，y=-10x2+100x+6000有最大值為6250.雖然x=5既滿足取值范圍x≤30，也滿足取值范圍x<30.但x≤30 與x<30是兩個(gè)完全不同的取值范圍，前者x有等于30的可能，而后者沒有.

綜合問題一、二，結(jié)合實(shí)際情況，筆者認(rèn)為應(yīng)將教材提供的x取值范圍“0≤x≤30”改為“0≤x<30”.

[1]張勁松.義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)[M].北京：人教版義務(wù)教育出版社，2014:50.

[責(zé)任編輯：李克柏]

2017-06-01

馬世江(1982.10-)，男，甘肅省天?？h人，中學(xué)一級(jí)，本科，從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

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