一個(gè)廣義Hamilton系統(tǒng)的混沌特性及電路實(shí)現(xiàn)

倉(cāng)詩(shī)建，吳愛國(guó)，王忠林，薛 薇

(1.天津科技大學(xué)a.產(chǎn)品設(shè)計(jì)系,b.電子信息與自動(dòng)化學(xué)院,天津 300457；2.天津大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,天津 300071；3.濱州學(xué)院物理與電子科學(xué)系,山東 濱州 256604)

一個(gè)廣義Hamilton系統(tǒng)的混沌特性及電路實(shí)現(xiàn)

倉(cāng)詩(shī)建1a,2，吳愛國(guó)2，王忠林3，薛 薇1b

(1.天津科技大學(xué)a.產(chǎn)品設(shè)計(jì)系,b.電子信息與自動(dòng)化學(xué)院,天津 300457；2.天津大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,天津 300071；3.濱州學(xué)院物理與電子科學(xué)系,山東 濱州 256604)

以廣義Hamilton系統(tǒng)為基礎(chǔ)，通過(guò)增加耗散量和外部輸入，形成廣義耗散Hamilton系統(tǒng)。通過(guò)配置廣義耗散Hamilton系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)矩陣和外部輸入，提出一個(gè)簡(jiǎn)單三維單平衡點(diǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)明此類系統(tǒng)存在混沌行為。借助相圖、龐加萊截面、Lyapunov指數(shù)譜、分形圖和功率譜等數(shù)值分析方法說(shuō)明當(dāng)外部輸入逐步增強(qiáng)時(shí)該系統(tǒng)存在周期軌道和混沌運(yùn)動(dòng)。與一般已知的三維混沌系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)的特點(diǎn)為：耗散性與系統(tǒng)的狀態(tài)變量相關(guān)；處于混沌狀態(tài)時(shí)的系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)接近3。 最后設(shè)計(jì)了該系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)電路，示波器觀測(cè)到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了該系統(tǒng)確實(shí)存在混沌行為。

廣義耗散Hamilton系統(tǒng)；混沌；Lyapunov維；電路實(shí)現(xiàn)

0 引言

Hamilton系統(tǒng)是非線性科學(xué)領(lǐng)域一個(gè)非常重要的研究主題，廣泛存在于物理科學(xué)、生命科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域，特別是經(jīng)典力學(xué)、天體力學(xué)、航天科學(xué)及生物工程中的許多模型都以Hamilton系統(tǒng)形式出現(xiàn)[1-2]，因而具有深刻的物理背景。經(jīng)典的Hamilton系統(tǒng)在偶數(shù)維相空間定義，具有這種結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)存在很好的性質(zhì)和方便研究的優(yōu)點(diǎn)，但無(wú)奇數(shù)維相空間限制了其應(yīng)用范圍。為了使Hamilton系統(tǒng)能應(yīng)用到奇數(shù)維系統(tǒng)，就有了廣義Hamilton系統(tǒng)(也稱為端口受控的Hamilton系統(tǒng))的提出。由于具有實(shí)際背景的物理系統(tǒng)絕大部分是開放性系統(tǒng)，即除了自身能量耗散和產(chǎn)生外，還存在與外部環(huán)境的能量交換。為了提高Hamilton系統(tǒng)的實(shí)用性，在廣義Hamilton系統(tǒng)的基礎(chǔ)上可通過(guò)增加耗散量，形成具有耗散結(jié)構(gòu)的廣義Hamilton系統(tǒng)。從實(shí)際系統(tǒng)來(lái)看，增加了耗散量的廣義Hamilton系統(tǒng)，物理意義明確，體現(xiàn)了能量的傳遞、耗散與生成。隨著辛幾何理論的發(fā)展和成熟，Hamilton系統(tǒng)在數(shù)學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域得到了深入研究，取得了顯著的成績(jī)。由于廣義Hamilton系統(tǒng)適用于任意維數(shù)的系統(tǒng)，因而其理論和方法越來(lái)越得到非線性科學(xué)研究者的關(guān)注。

混沌作為近30年來(lái)非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)，涉及到電子電路、光學(xué)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)、信息處理等領(lǐng)域。隨著混沌理論的發(fā)展，混沌在實(shí)際工程的應(yīng)用將會(huì)越來(lái)越廣泛。由于混沌在語(yǔ)音信號(hào)、數(shù)字圖像、流媒體信息加密存在潛在的應(yīng)用，具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的混沌吸引子的分析和設(shè)計(jì)成為當(dāng)前混沌研究的主要方向之一?，F(xiàn)有關(guān)于復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的混沌吸引子的成果主要集中在多渦卷、多翼、多環(huán)面、多折疊面混沌吸引子系統(tǒng)，既有深入的理論分析又有顯著的實(shí)際應(yīng)用。通過(guò)梳理已有的研究成果發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生上述類型混沌吸引子的系統(tǒng)主要來(lái)源于Lorenz系統(tǒng)族[3]、Chua電路方程[4]、Sprott系統(tǒng)族[5]或由這些系統(tǒng)衍生出的新系統(tǒng)。隨著近些年混沌基礎(chǔ)研究出現(xiàn)瓶頸，已經(jīng)很難見到在結(jié)構(gòu)和形狀上新穎并符合Sprott提出的3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的混沌吸引子出現(xiàn)[6]，導(dǎo)致這種情況的主要原因是構(gòu)造新型混沌系統(tǒng)的方法很難有所突破。由于Hamilton系統(tǒng)是基于能量存儲(chǔ)的模型，具有良好的可控性和可實(shí)現(xiàn)性，對(duì)分析實(shí)際問(wèn)題具有很大的優(yōu)勢(shì)。特別是廣義Hamilton系統(tǒng)的提出，突破了維數(shù)的限制，給新型混沌系統(tǒng)的構(gòu)造與分析提供了一個(gè)新途徑。

到目前為止，Hamilton系統(tǒng)中的混沌特性分析及其混沌控制的研究成果不是很多。關(guān)于Hamilton系統(tǒng)中混沌特性分析主要體現(xiàn)在可積或不可積的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)中，如李偉和陳式剛[7]提出一種新的周期驅(qū)動(dòng)非線性不可積Hamilton系統(tǒng)模型，在未受擾動(dòng)的情況下受特定頻率周期信號(hào)驅(qū)動(dòng)，觀察到混沌現(xiàn)象；Farina和Pozzoli[8]以多自由度的等離子束作為一個(gè)參考的Hamilton系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)自洽大幅度振蕩與混沌同時(shí)出現(xiàn)；Gan等[9]研究了有界噪聲激勵(lì)2自由度擬可積Hamilton系統(tǒng)，通過(guò)調(diào)節(jié)噪聲強(qiáng)度獲得噪聲混沌。關(guān)Hamilton系統(tǒng)的混沌控制主要體現(xiàn)在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制算法設(shè)計(jì)，如陶建武[10]人采用了分段線性輸出反饋法對(duì)廣義Hamilton系統(tǒng)反控制，分析其中存在的混沌特性；Khan和Shahzad[11]研究了太陽(yáng)系中土衛(wèi)一和土衛(wèi)三Hamilton系統(tǒng)的混沌控制。這些研究成果是從實(shí)際應(yīng)用中分析Hamilton系統(tǒng)，但很少發(fā)現(xiàn)利用Hamilton系統(tǒng)構(gòu)造新型混沌系統(tǒng)的分析。

本文主要貢獻(xiàn)是利用廣義耗散Hamilton系統(tǒng)中能量耗散和擴(kuò)散可與混沌運(yùn)動(dòng)中的狀態(tài)軌跡伸展和收縮對(duì)應(yīng)，從而在廣義耗散Hamilton系統(tǒng)中挖掘混沌特性，在此基礎(chǔ)上利用廣義Hamilton系統(tǒng)的特點(diǎn)構(gòu)造一類具有耗散結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)，并結(jié)合一個(gè)具體實(shí)例對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為做出解釋。新構(gòu)造的系統(tǒng)具有如下特點(diǎn)：1)只存在一個(gè)平衡點(diǎn)；2)系統(tǒng)的耗散特性不是常量，而是與狀態(tài)變量相關(guān)的變量；3)系統(tǒng)存在的混沌吸引子比已知的三維混沌吸引子的Lyapunov分?jǐn)?shù)維大得多，接近3，也就是說(shuō)該系統(tǒng)產(chǎn)生的時(shí)間序列比已知混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的時(shí)間序列的復(fù)雜性要大得多，這在基于混沌信號(hào)的信息加密領(lǐng)域有著潛在的應(yīng)用。除了利用基本的數(shù)值分析方法分析該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性外，通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)電路用示波器觀測(cè)系統(tǒng)不同通道之間的相圖，從物理層面驗(yàn)證了該三維廣義耗散Hamilton系統(tǒng)確實(shí)存在復(fù)雜的混沌吸引子。

1 理論基礎(chǔ)

廣義Hamilton系統(tǒng)可用系統(tǒng)表示[12]

(1)

(2)

這里R(x)滿足R(x)=RT(x)，且為半正定矩陣，常稱耗散矩陣(也稱阻尼矩陣)，是系統(tǒng)能量消耗部分。增加耗散矩陣R(x)的系統(tǒng)Σ1，其能量的變化用Hamilton函數(shù)H關(guān)于時(shí)間的微分表示，即

=HT(x)J(x)H(x)-HT(x)R(x)H(x)+(gT(x)H)Tu

=yTu-HT(x)R(x)H(x)

(3)當(dāng)dH/dt>0，系統(tǒng)(2)能量增加，軌道在相空間上伸展；當(dāng)dH/dt<0，系統(tǒng)(2)能量減少，軌道在相空間上收縮；當(dāng)dH/dt=0，系統(tǒng)(2)處于平衡態(tài)，外界能量供給yTu與系統(tǒng)耗散部分消耗的能量HT(x)R(x)H(x)相等。dH/dt>0和dH/dt<0在相互交織，導(dǎo)致系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間無(wú)限碰撞形成復(fù)雜無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。

混沌是一種非常有趣的非線性現(xiàn)象，廣泛存在于各種實(shí)際系統(tǒng)中，如大氣動(dòng)力學(xué)模型Lorenz系統(tǒng)，由基本電子元器件和運(yùn)算放大器組成的Chua電路，描述非線性振子間諧受迫振動(dòng)的Duffing方程等，甚至由這些系統(tǒng)衍生出的各種混沌和超混沌系統(tǒng)，這些系統(tǒng)的共同點(diǎn)都是耗散系統(tǒng)。利用廣義耗散Hamilton系統(tǒng)構(gòu)造耗散混沌系統(tǒng)的關(guān)鍵是結(jié)構(gòu)矩陣J(x)的配置，這需要明確3個(gè)問(wèn)題：1)J(x)主對(duì)角線元素全為0；2)J(x)其他元素滿足Jij=-Jji；3)具備混沌系統(tǒng)中必要狀態(tài)變量間的線性和非線性耦合。

2 一個(gè)具有混沌吸引子的廣義耗散Hamilton系統(tǒng)

2.1 系統(tǒng)模型

考慮式(4)的Hamilton函數(shù)

(4)

這里參數(shù)a,b,c都為正實(shí)數(shù)，進(jìn)而得到一個(gè)三維廣義耗散Hamilton系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)：

(5)

系統(tǒng)(5)即為本文要著重分析的模型。通過(guò)設(shè)定合適的系統(tǒng)參數(shù)，調(diào)節(jié)輸入u，有可能獲得系統(tǒng)的混沌特性，但需要進(jìn)一步的數(shù)值分析。借助式(3)，可以得到系統(tǒng)(5)能量隨著時(shí)間變化的表達(dá)式。

(6)

2.2 基本動(dòng)力學(xué)特性分析

通常含有混沌吸引子的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中廣泛存在對(duì)稱性。如果系統(tǒng)(5)的外部輸入u選擇直流供給，那么就不存在對(duì)稱性。由于系統(tǒng)(5)產(chǎn)生流的散度為V=x3-c，顯然采用混沌系統(tǒng)分析的一般方法是很難決定系統(tǒng)的耗散特性，除非x3

(7)

通過(guò)解方程組(7)，得到系統(tǒng)(5)存在唯一平衡點(diǎn)

當(dāng)(a,b,c,u)=(10,10,1,150)時(shí)，可得(x1e,x2e,x3e)=(150,-2 235,150)，其特征根為λ1=-0.002 21,λ2,3=74.5±199.1i，那么該平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

3 數(shù)值分析

針對(duì)系統(tǒng)(5)設(shè)置初始條件x0=(0.4,0.2,-0.2)，那么根據(jù)式(4)可計(jì)算初始H=0.12。當(dāng)c=0,u=0，系統(tǒng)(5)是無(wú)外部輸入的保守系統(tǒng)。Liouville定理指出保守系統(tǒng)在相空間中運(yùn)動(dòng)保持體積不變，因而不論時(shí)間如何演化系統(tǒng)(5)的H值始終不變，如圖1所示。從圖1可以看出，這種情形下系統(tǒng)(5)的狀態(tài)變量在初始條件x0作用下出現(xiàn)短暫的振蕩，最后穩(wěn)定在xN=( -0.346 3,-0.012 0,-0.346 3)，但H值始終為0.12，動(dòng)態(tài)過(guò)程如圖1中黑實(shí)線所示。

如果c=1,u=0，這時(shí)系統(tǒng)(5)為無(wú)外部輸入的耗散系統(tǒng)。由于耗散系統(tǒng)在相空間中運(yùn)動(dòng)的體積是不斷收縮的，所以在初始能量x0作用下，由于無(wú)外部能量供給，隨著耗散部分能量消耗，最終狀態(tài)變量x1,x2,x3收斂到0，即能量消耗殆盡，動(dòng)態(tài)過(guò)程如圖2所示。

圖1 當(dāng)c=0,u=0時(shí)，狀態(tài)變量x1,x2,x3及H的演化過(guò)程Fig.1 Time series of x1,x2,x3 and H with c=0 and u=0

圖2 c=1,u=0時(shí)，狀態(tài)變量x1,x2,x3的演化過(guò)程Fig.2 Time series of x1,x2 and x3 with c=1 and u=0

對(duì)于一個(gè)耗散系統(tǒng)產(chǎn)生混沌，它一定存在兩個(gè)相反過(guò)程，一是耗散能量使軌道收縮；二是能量的積累使軌道向外伸展。由于軌道收縮對(duì)整體相空間起作用，而軌道伸展對(duì)局部相空間起作用，在相空間有限范圍內(nèi)所有軌道收縮伸展交替，形成復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)c≠0，系統(tǒng)(5)具備了耗散條件，要滿足能量積累就必須獲得外部能量供給。那么c=1，u可變時(shí)，系統(tǒng)(5)成為一個(gè)近似實(shí)際系統(tǒng)的開放系統(tǒng)，既有能量保守部分J(x)，又有能量耗散部分R(x)，還有能量供給部分u。在這種情況下，系統(tǒng)(5)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨著外部直流供給u的增強(qiáng)而發(fā)生變化，存在某一局部相空間內(nèi)能量的積累使系統(tǒng)軌道向外擴(kuò)散，而在其他的相空間內(nèi)系統(tǒng)能量的耗散將運(yùn)動(dòng)軌道限制在有界區(qū)域內(nèi)，因而能量的積累和耗散共同作用有可能使系統(tǒng)(5)產(chǎn)生混沌。為了驗(yàn)證系統(tǒng)(5)在合適的參數(shù)條件下存在混沌，有必要借助Lyapunov指數(shù)譜和分形圖來(lái)說(shuō)明。

為了進(jìn)一步說(shuō)明當(dāng)u=150時(shí)，系統(tǒng)(5)的混沌行為，有必要通過(guò)系統(tǒng)狀態(tài)變量x1,x2,x3的時(shí)間序列、相圖和龐加萊截面來(lái)說(shuō)明。圖5所示狀態(tài)變量的時(shí)間序列混亂無(wú)序，是典型的混沌運(yùn)動(dòng)特征。圖6所示的3個(gè)相圖及圖7所示的3個(gè)龐加萊截面更能說(shuō)明這種情況下系統(tǒng)(5)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。特別是圖7所示的龐加萊截面非常混亂，是一般混沌系統(tǒng)無(wú)法比擬的，進(jìn)而說(shuō)明該系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)相對(duì)于其他已知的混沌系統(tǒng)更大，系統(tǒng)的混沌特性更加復(fù)雜，更有潛在的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

圖3 u∈[60,160]時(shí)系統(tǒng)(5)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.3 Lyapunov exponent spectrum of the system (5) for u∈[60,160]

圖4 u∈[60,160]時(shí)系統(tǒng)(5)的狀態(tài)變量x2的分形圖Fig.4 Bifurcation diagram of the state variable x2 of system (5) for u∈[60,160]

圖5 當(dāng)c=1和u=150時(shí)，狀態(tài)變量x1,x2,x3的時(shí)間序列Fig.5 Time series of x1,x2 and x3 with c=1 and u=150

圖6 c=1,u=150時(shí)系統(tǒng)(5)的相圖Fig.6 Phase portraits of the system (5) with c=1 and u=150 projected on different planes

圖7 c=1,u=150時(shí)系統(tǒng)(5)的龐加萊截面圖Fig.7 Poincare sections of the system (5) with c=1 and u=150

通常對(duì)于周期信號(hào)，其頻域特征表現(xiàn)為多個(gè)尖峰，尖峰對(duì)應(yīng)的頻率為一個(gè)基頻信號(hào)的整數(shù)倍。雖然擬周期信號(hào)的頻域特征同樣表現(xiàn)為多個(gè)尖峰，但是尖峰對(duì)應(yīng)的基頻信號(hào)是多個(gè)，且這些基頻之間的比值是無(wú)理數(shù)?；煦缧盘?hào)是寬帶信號(hào)，與周期或者擬周期信號(hào)相比，混沌信號(hào)的功率譜是連續(xù)的。對(duì)于系統(tǒng)(5)的混沌行為，還可以通過(guò)功率譜說(shuō)明。圖9為采樣頻率200Hz，通過(guò)Hamming窗截取時(shí)間序列后進(jìn)行快速傅里葉變換得到幅度譜，再對(duì)幅度譜平方得到的左邊側(cè)功率譜。從圖9可以看出，在參數(shù)(a,b,c,u)=(10,10,1,150)條件下，顯然系統(tǒng)狀態(tài)變量x1的功率譜連續(xù)、無(wú)孤立尖峰，因此可以說(shuō)明在此狀態(tài)下系統(tǒng)(5)處于混沌狀態(tài)。

圖8 系統(tǒng)(5)能量的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程Fig.8 Dynamic evolution process of the system (5)

圖9 當(dāng)(a,b,c,u)=(10,10,1,150)時(shí)系統(tǒng)(5)的功率譜Fig.9 Power spectrum of the state variable x1 of the system (5) with (a,b,c,u)=(10,10,1,150)

4 電路實(shí)現(xiàn)與系統(tǒng)仿真

圖10 系統(tǒng)(5)的電路實(shí)現(xiàn)Fig.10 Circuitry realization of the system (5)

外部輸入u由電壓源V1控制，相互關(guān)系為u=100V1。為了獲得與圖6中所示的數(shù)值求解類似的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，不同電阻具體值標(biāo)注于圖10中，由此可計(jì)算得到a=10,b=10,c=1,u=150。通過(guò)在EWB中運(yùn)行圖10所示的電路系統(tǒng)，借助虛擬示波器得到了不同通道之間的相圖。與圖6相比，圖11中獲得結(jié)果近似展現(xiàn)了數(shù)值求解結(jié)果，這說(shuō)明系統(tǒng)(5)中存在的混沌吸引子可以通過(guò)實(shí)際電路生成，因此可采用圖10所示的電路圖設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)電路。圖12是通過(guò)模擬示波器測(cè)試到實(shí)驗(yàn)電路中不同通道之間的相圖。值得注意的是在實(shí)驗(yàn)電路設(shè)計(jì)過(guò)程中，由于實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的噪聲、建模誤差及電子元器件標(biāo)稱值誤差的影響會(huì)導(dǎo)致實(shí)際觀察到的結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果存在一定誤差，這點(diǎn)可以通過(guò)比較圖11和圖12能看出。

圖11 從EWB中觀測(cè)系統(tǒng)(5)的相圖Fig.11 Phase portraits of the system (5) observed in EWB

圖12 模擬示波器觀測(cè)系統(tǒng)(5)的相圖Fig.12 Phase portraits of the system (5) recorded on an analogue oscilloscope

5 結(jié)論

本文從能量傳遞和耗散的角度分析廣義耗散Hamilton系統(tǒng)，并與混沌運(yùn)動(dòng)中的折疊與收縮結(jié)合起來(lái)，挖掘廣義耗散Hamilton系統(tǒng)特性中存在的混沌特性。強(qiáng)調(diào)在廣義耗散Hamilton系統(tǒng)基礎(chǔ)上構(gòu)造耗散混沌系統(tǒng)的關(guān)鍵是結(jié)構(gòu)矩陣的配置，然后通過(guò)一個(gè)具體實(shí)例說(shuō)明這種方法獲取混沌系統(tǒng)的有效性，拓寬了混沌系統(tǒng)構(gòu)造的新思路。與現(xiàn)有已知的混沌系統(tǒng)相比，利用廣義耗散Hamilton系統(tǒng)構(gòu)造的混沌系統(tǒng)具有深刻的物理背景，很容易理解和接受。數(shù)值分析結(jié)果表明，獲得的混沌吸引子在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上有非常高的復(fù)雜度，這在保密通信中的信息加密具有非常高的實(shí)用價(jià)值。此外通過(guò)實(shí)驗(yàn)電路可以進(jìn)一步說(shuō)明新構(gòu)建的廣義耗散Hamilton系統(tǒng)在物理層面確實(shí)存在豐富的混沌特性。

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(責(zé)任編輯 耿金花)

Chaotic Behavior of a Generalized Hamiltonian System and Its Circuit Implementation

CANG Shijian1a,2，WU Aiguo2,WANG Zhonglin3,XUE Wei1b

(1.a.Department of Product Design,b.School of Electronic Information and Automation,Tianjin University of Science & Technology,Tianjin 300457,China；2.School of Electrical Engineering and Automation,Tianjin University,Tianjin 300072,China；3.Department of Physics and Electronics Science,Binzhou University,Binzhou 256604,China)

A kind of generalized Hamiltonian systems with dissipative structure and external input is proposed.By configuring its structure matrix and external input,a simpler three-dimensional dynamical system with only one fixed point is designed to illustrate the existence of chaos.Useful tools,including phase portrait,Poincaré section,Lyapunov exponents,bifurcation diagram and power spectrum,are used for detecting chaotic behavior of the proposed system with the enhancement of DC input.Compared with the known three-dimensional chaotic systems,the proposed system has the following two characteristics:Its dissipativity is related to system state variables and its Lyapunov dimension is closer to 3.Finally,a circuit implementation of the new system is presented and the results recorded on an analogue oscilloscope further verify the existence of chaotic behavior.

Generalized dissipative Hamiltonian system; chaos; Lyapunov dimension; circuit implementation

1672-3813(2017)01-0103-08；

10.13306/j.1672-3813.2017.01.015

2015-10-27；

2016-03-29

國(guó)家自然科學(xué)基金(61573199,61403274);天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究基金(13JCQNJC03600)

倉(cāng)詩(shī)建(1979-)，男，江蘇鹽城人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模和控制。

O193

A