Newman-Watts型小世界電機網(wǎng)絡(luò)混沌行為的牽制控制

麥賢慧,韋篤取,羅曉曙

(廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

Newman-Watts型小世界電機網(wǎng)絡(luò)混沌行為的牽制控制

麥賢慧,韋篤取,羅曉曙

(廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

小世界永磁同步電機(PMSM)網(wǎng)絡(luò)的耦合強度和連接概率參數(shù)值處于某些范圍時，會出現(xiàn)混沌行為，這將嚴(yán)重危及電機網(wǎng)絡(luò)傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定運行。因此，如何控制PMSM網(wǎng)絡(luò)中的混沌行為成為保持其穩(wěn)定性的關(guān)鍵問題。首先給出了Newman-Watts型小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)的牽制控制模型，然后通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并得到牽制控制器參數(shù)的選擇條件，最后利用數(shù)值仿真方法驗證該牽制控制方法的正確性。

混沌控制;牽制控制;Newman-Watts小世界網(wǎng)絡(luò);永磁同步電動機

0 前言

永磁同步電機(簡稱PMSM)是一種在轉(zhuǎn)子上采用永磁體取代勵磁繞組來產(chǎn)生恒定磁場的同步電機。因省卻了勵磁線圈、集電環(huán)和電刷，與其他驅(qū)動電機相比，PMSM具有結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)速范圍寬、起動轉(zhuǎn)矩高、功率密度比高、轉(zhuǎn)矩/慣量比大和控制特性良好等優(yōu)點。隨著永磁材料和電力電子技術(shù)的發(fā)展，PMSM越來越多地替代傳統(tǒng)電機，被普遍應(yīng)用于軌道交通運輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、航空航天等多個領(lǐng)域[1]。另一方面，現(xiàn)代工業(yè)自動化生產(chǎn)過程，如紡織、冶金、造紙、灌裝液體藥品等，需要多臺電機的協(xié)調(diào)來使生產(chǎn)得以正常運行，隨著嵌入式與計算機網(wǎng)絡(luò)測控等技術(shù)的發(fā)展，在運動控制、變頻調(diào)速控制與伺服控制等系統(tǒng)中，將各種電機引入網(wǎng)絡(luò)控制的問題已成為了電機傳動領(lǐng)域研究的一個熱點[4-5]。數(shù)量眾多的電機互聯(lián)，在促進了自動化進程和提高了生產(chǎn)效率的同時，也使得電機傳動系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜，進而對電機傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性的要求也越來越高。我們最近的研究發(fā)現(xiàn)，Newman-Watts型小世界電機網(wǎng)絡(luò)的耦合強度和連接概率參數(shù)值處于某些范圍時，會出現(xiàn)混沌行為，這將嚴(yán)重危及電機網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性[6-7]。因此，研究多電機復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的混沌行為，并且有針對性地提出相應(yīng)的混沌控制策略，在保障工業(yè)生產(chǎn)的安全穩(wěn)定運行方面具有重要的理論探索價值和實際應(yīng)用參考價值。

復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)是具有復(fù)雜動態(tài)行為及復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)。基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性能的關(guān)系，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論適用于研究各種復(fù)雜系統(tǒng)之間的共性以及控制方法[8-10]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制(Pinning Control)是指從一開始就在網(wǎng)絡(luò)小部分節(jié)點上施加一個恒定的控制，并使這個恒定的控制輸入在整個網(wǎng)絡(luò)達(dá)到所預(yù)期的穩(wěn)定目標(biāo)之前保持不變[11]。由于減少被控制節(jié)點的數(shù)量，牽制控制方法不僅節(jié)省了系統(tǒng)資源，也簡化了控制器的結(jié)構(gòu)，這在工程上更易于實現(xiàn)。本文利用復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的牽制控制理論，對Newman-Watts型小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點施加牽制控制，以達(dá)到抑制整個網(wǎng)絡(luò)混沌運動的目的。數(shù)值仿真結(jié)果表明了本文所設(shè)計控制器的正確性和有效性。

1 Newman-Watts型小世界電機網(wǎng)絡(luò)牽制控制模型

均勻氣隙PMSM數(shù)學(xué)模型為[12-13]：

(1)

其中，Iq，Id和ω為PMSM節(jié)點的狀態(tài)變量，分別表示q軸定子電流、d軸定子電流和轉(zhuǎn)子角速度；σ和γ是系統(tǒng)設(shè)置的運行參數(shù)，均取正值；Vq和Vd是控制信號；TL是外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩。本文只考慮電機在沒有外部輸入的情形，即Vq=0，Vd=0和TL=0，這時PMSM節(jié)點的動力學(xué)方程(1)可寫成：

(2)

則基于Newman-Watts(NW)小世界連接的復(fù)雜PMSM網(wǎng)絡(luò)模型為[6-7]

(3)

其中，i=1,2,…,N，常數(shù)c>0表示PMSM節(jié)點之間的耦合強度。

(4)

令Xi=[Iqi,Idi,ωi]T∈Rn，i,j=1,2,…,N是第i個PMSM節(jié)點的狀態(tài)變量，則單個PMSM節(jié)點未參與耦合時的動力學(xué)方程可表示為

(5)

這里,f:Rn→Rn是連續(xù)可微的向量函數(shù)。

PMSM網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)方程(3)可表示為

(6)

2 Newman-Watts小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)的牽制控制方法過程

對于方程組(3)，如果有

(7)

X1(t),X2(t),…,XN(t)→X*,t→∞

(8)

‖g‖2表示向量的Euclidean范數(shù)。

對系統(tǒng)(3)中節(jié)點的一小部分(占節(jié)點總數(shù)的比例為δ(0<δ≤1))實施牽制控制。假設(shè)選擇l個節(jié)點i1,i2,…,il，這里l=[δN]代表不超過實數(shù)δN的整數(shù)部分，不失一般性，我們重新排列PMSM網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點順序，使所有牽制點i=1,2,…,l即為前l(fā)個節(jié)點，則被牽制控制的PMSM網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)方程可表示為

(9)

自適應(yīng)牽制控制器設(shè)計為

(10)

其中，pi為自適應(yīng)牽制控制器i的增益，μ≥0為收斂系數(shù)，表示調(diào)節(jié)PMSM網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定到平衡點的收斂速度。qi>0(i=1,2,…,l)為自適應(yīng)律系數(shù)。

假設(shè)1 假設(shè)‖Df(X*)‖2有界，即存在一個非負(fù)常數(shù)α滿足‖Df(X*)‖2≤α。其中Df(X*)是f(Xi)在平衡點X*上的Jacobian矩陣。

引理1[14](Schur補定理[15])線性矩陣不等式

其中，Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x)，等價于以下任一條件：

1)Q(x)<0,R(xT)-δT(x)Q-1(x)δ(x)<0

2)R(x)<0,Q(xT)-δ(x)R-1(x)δT(x)<0

引理2[17]對于一個對稱矩陣M=(mij)N×N和對角矩陣D，其中

這里A,Dl∈Rl×l(1≤l≤N)，Dl=diag(d1,…,dl)，且di>0,i=1,2,…,l，Ml是M去掉前l(fā)行和l列元素的子式陣，矩陣B具有合適的維度。因此當(dāng)di足夠大時，M-D<0等價于Ml<0。

根據(jù)控制目標(biāo)，定義誤差為

ei=Xi-X*,i=1,2,…,N

(11)

這里1≤i≤N。

假定前l(fā)(1≤i≤l)個節(jié)點為被牽制節(jié)點，自適應(yīng)控制器(10)可描述為

(12)

因此，受控系統(tǒng)(9)可以描述為

(13)

式(13)在平衡點X*處線性化，可以得到誤差系統(tǒng)

(14)

其中，Jf為f(Xi)在平衡點X*的Jacobian矩陣。

為了使PMSM網(wǎng)絡(luò)被控制到平衡點X*，則誤差系統(tǒng)需滿足

(15)

定理1 若假設(shè)1成立，如果存在自然數(shù)1≤l≤N滿足

證明：構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)[17]

(16)

則V的導(dǎo)數(shù)為

(17)

由引理1矩陣的分解可以做以下推斷：

等價于

(18)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，誤差系統(tǒng)(14)在平衡點X*處也是局部漸進穩(wěn)定的。

當(dāng)t→∞時，‖ei(t)‖2→0，且有

(19)

因此，得

(20)

由此可知，誤差系統(tǒng)(14)是局部指數(shù)穩(wěn)定的，則PMSM網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(13)在平衡點X*處也是局部指數(shù)穩(wěn)定。證畢。

由于混沌系統(tǒng)吸引子具有有界性，因此混沌系統(tǒng)(3)滿足假設(shè)1的條件，因此Newman-Watts型小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)可以用所設(shè)計的自適應(yīng)控制器(12)來控制。

3 數(shù)值仿真

數(shù)值仿真過程中PMSM節(jié)點的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為σ=5.45和γ=20，此時網(wǎng)絡(luò)中每個PMSM節(jié)點在加入控制器前均處于混沌運動狀態(tài)，其吸引子如圖1所示。

圖1 PMSM節(jié)點的混沌吸引Fig.1 Chaotic attractor in the single PMSM

圖2 PMSM網(wǎng)絡(luò)被牽制到平衡點的時間序列圖Fig.2 The evolution of state variable in complex PMSM networks with control

圖3 自適應(yīng)反饋增益Fig.3 The adaptive coefficient law of controller

4 小結(jié)

本文首先給出了Newman-Watts型小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)的牽制控制模型，然后通過Lyapunov穩(wěn)定理論證明了被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并得到系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)閾值。最后，通過數(shù)值仿真驗證了該牽制控制方法的有效性。值得注意的是，牽制控制適用于大規(guī)模節(jié)點網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)較少時，可以用全局控制方法或“基于環(huán)境的控制方法”[22]。經(jīng)典牽制控制[23-26]通常是對所有系統(tǒng)狀態(tài)變量進行控制，由于電機網(wǎng)絡(luò)是實際工程系統(tǒng)，我們在使用牽制控制方法時要考慮控制器的可行性，只對電機q軸電流施加控制便能達(dá)到控制目的。本文所提出的控制方法有兩個優(yōu)點：第一，在PMSM節(jié)點數(shù)增加到一定程度時，引入該牽制控制方法提高PMSM網(wǎng)絡(luò)混沌控制的效率，以彌補全局控制方法及“基于環(huán)境控制方法”[22]所需的控制時間變長的不足，牽制控制相對全局控制優(yōu)點是不必每個節(jié)點都要加控制，相對“基于環(huán)境控制方法”的優(yōu)點是對大規(guī)模節(jié)點網(wǎng)絡(luò)也有效；第二，由于在設(shè)計牽制控制器過程中引入自適應(yīng)率，不必求解大規(guī)模的線性矩陣不等式，只通過計算子式陣的特征值就得到需要控制的節(jié)點數(shù)量。

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(責(zé)任編輯 李進)

Controlling Chaos in Newman-Watts Small-World Motor Networks by Pinning Method

MAI Xianhui,WEI Duqu,LUO Xiaoshu

(College of Electronic Engineering,Guangxi Normal University,Guilin 541004,China)

With certain connection randomness and coupling strength,the permanent magnet synchronous motors in Newman-Watts small-world (NWSW) networks fall into chaotic motion and threaten the secure and stable operation of the drive system.To control the undesirable chaos in complex motor networks,an adaptive controller based on pinning method is first presented.And then,the stability of the controlled system is proved by Lyapunov stability theory and the threshold values of parameter conditions for the onset of stability are obtained.Finally,the simulation results show that the proposed control law is correct and effective.Our research results are helpful to maintain the secure operation of drive system.

chaos control; pinning control; Newman-Watts small-world (NWSW) networks; permanent magnet synchronous motor (PMSM)

1672-3813(2017)01-0096-07；

10.13306/j.1672-3813.2017.01.014

2015-10-23；

2016-04-28

國家自然科學(xué)基金(11562004,61263021,51277030,11262004)

麥賢慧(1985-),女，廣西平南人，碩士研究生,主要研究方向為復(fù)雜電機網(wǎng)絡(luò)混沌控制。

韋篤取(1975-),男，廣西貴港人，博士，教授,主要研究方向為復(fù)雜電機網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為分析與控制。

O415

A