三棱鉆桿粉體負(fù)載扭矩計算模型研究*

薛　斐

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 資源與安全工程學(xué)院，北京 100083)

0　引言

近年來，隨著煤礦開采深度的增加，在深部煤層中，具有突出危險性的松軟煤層愈加頻繁，直接影響了煤礦的安全生產(chǎn)。松軟煤體是區(qū)域地質(zhì)活動的產(chǎn)物，自身力學(xué)強(qiáng)度較低，瓦斯含量、壓力普遍偏高。對于松軟煤層高瓦斯問題而言，只有通過有效抽放才能使煤體充分卸壓，保障掘進(jìn)、回采工藝。然而，松軟煤層自身力學(xué)強(qiáng)度極低，在打鉆過程中經(jīng)常出現(xiàn)塌孔、堵孔問題，嚴(yán)重制約了瓦斯抽采鉆孔的施工。

目前，在松軟煤體中打鉆一般選擇風(fēng)力排渣方式，主要鉆桿之一即是三棱鉆桿[1]。三棱鉆桿抗彎折能力較強(qiáng)，在自轉(zhuǎn)的同時，可以充分?jǐn)噭鱼@孔內(nèi)煤粉，使煤粉呈懸浮狀態(tài)，大大增加了風(fēng)力排渣的效率，在軟煤打鉆中具有較突出的應(yīng)用前景。

國內(nèi)外學(xué)者對于三棱鉆桿的研究工作主要集中在以下兩個方面：一是針對三棱鉆桿應(yīng)用效果的現(xiàn)場試驗[1-6]；二是針對三棱鉆桿強(qiáng)度問題的斷裂分析與研究工作[7-12]。然而，對于三棱鉆桿排粉過程中的扭矩計算問題，國內(nèi)外學(xué)者并未作詳細(xì)研究，相關(guān)文獻(xiàn)較少[13-15]。

隨著煤礦井下對瓦斯抽放問題越來越重視，松軟煤層的鉆孔問題亟待解決。在這個問題上，只有充分分析和研究三棱鉆桿的排粉過程，才能更好地利用三棱鉆桿完成松軟煤層地成孔，最終保障煤礦井下人員的安全生產(chǎn)。

因此，本文針對三棱鉆桿的轉(zhuǎn)動排粉問題，提出假設(shè)并建立轉(zhuǎn)動物理模型，得到了模型參數(shù)的解析解，對于三棱鉆桿排粉動力學(xué)研究工作具有參考價值。

1　基本假設(shè)

1.1　三棱鉆桿排粉過程分析

三棱鉆桿具有3個圓弧形棱邊結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可以不斷地對煤粉形成攪動，為了進(jìn)一步充分利用該優(yōu)勢，鉆桿外棱直徑一般會接近鉆孔孔壁直徑。這對于三棱鉆桿攪動煤粉具有重要作用。

在一般工況條件下，三棱鉆桿高速轉(zhuǎn)動，3條圓弧棱邊結(jié)構(gòu)充分?jǐn)噭鱼@孔內(nèi)煤粉顆粒群。環(huán)向方向上，煤粉顆粒群在棱邊結(jié)構(gòu)攪動下，環(huán)向速度不斷提升，最終在棱邊結(jié)構(gòu)與鉆孔孔壁的合力作用下，達(dá)到與三棱鉆桿相同的角速度共同旋轉(zhuǎn)；軸向方向上，壓風(fēng)風(fēng)流從孔底流向孔口，由于三棱鉆桿的高速攪動作用，煤粉顆粒無法沉積，只能在斷面呈懸浮狀態(tài)，風(fēng)流充分?jǐn)y帶煤粉排出孔外，達(dá)到高效排粉的目的。

在排粉過程中，鉆桿僅存在自轉(zhuǎn)現(xiàn)象，因此對煤粉僅存在環(huán)向作用力，不存在軸向推動力；同理，風(fēng)流與煤粉的作用僅存在于軸向方向上，并無環(huán)向作用。可以認(rèn)為，煤粉顆粒群的軸向運動與環(huán)向運動是彼此獨立的。

三棱鉆桿在高速轉(zhuǎn)動過程中，對于煤粉的攪動作用非常大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于煤粉顆粒自身的重力，因此，煤粉顆粒的自重在這一過程中可以忽略不計。

1.2　基本假設(shè)的提出

基于以上分析結(jié)果，提煉出以下基本假設(shè)：

1)三棱鉆桿自轉(zhuǎn)僅與煤粉環(huán)向運動有關(guān)，與煤粉軸向運動無關(guān)。

2)三棱鉆桿圓弧棱邊與孔壁接近，呈準(zhǔn)接觸狀態(tài)。

3)煤粉在三棱鉆桿的高速攪動下，呈準(zhǔn)充填狀態(tài)，均勻分布于排粉空間。

4)環(huán)向方向上，三棱鉆桿與煤粉共速、勻速運動。

5)環(huán)向方向上，煤粉顆粒群整體運動，不考慮層間相對滑動。

6)煤粉質(zhì)量與鉆桿攪動力相比十分小，可忽略不計。

2　物理模型的建立

三棱鉆桿的棱邊結(jié)構(gòu)攪動煤粉是環(huán)向運動過程，而煤粉軸向與環(huán)向運動過程是彼此獨立的。因此在構(gòu)建物理模型時，可以忽略鉆孔內(nèi)部煤粉軸向運動過程，僅考慮與軸向垂直的斷面內(nèi)部的運動過程，如圖1(a)所示。

在鉆孔斷面內(nèi)，圓弧棱邊結(jié)構(gòu)十分接近孔壁，可以保證對于絕大多數(shù)煤粉的攪動作用。同時，在環(huán)向運動穩(wěn)定后，也即煤粉顆粒群在合力作用下與棱邊結(jié)構(gòu)共速轉(zhuǎn)動過程中，棱邊結(jié)構(gòu)可以直接推動煤粉顆粒群整體運動，而不會產(chǎn)生煤粉顆粒群層間相對運動。

如圖1(a)所示，三棱鉆桿斷面結(jié)構(gòu)中存在一個自轉(zhuǎn)區(qū)，該區(qū)域在三棱鉆桿自轉(zhuǎn)過程中同步自轉(zhuǎn)。但是，該自轉(zhuǎn)區(qū)與煤粉顆粒群呈點接觸(斷面方向)，且無限小，因此在模型構(gòu)建過程中，該區(qū)域不參與煤粉顆粒群運動過程。

在忽略中心自轉(zhuǎn)區(qū)后，三棱鉆桿的實際作用結(jié)構(gòu)僅存三個類三角結(jié)構(gòu)，而這三個類三角結(jié)構(gòu)完成了對煤粉顆粒群的環(huán)向作用。在這一過程中，自轉(zhuǎn)區(qū)等同于靜止不動，而類三角結(jié)構(gòu)在自轉(zhuǎn)區(qū)上滑動，滑動的過程中對煤粉顆粒群產(chǎn)生環(huán)向作用，而這一作用主要是由類三角形運動方向的迎面提供。因此，在對煤粉作用的過程中，不考慮背面相互作用力。對于圓弧面而言，曲率與鉆孔曲率相同，在煤粉運動過程中，僅存在環(huán)向摩擦力；又因為該結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于三角形的長邊，因此在模型構(gòu)建中可以忽略。

圖1(b)給出了穩(wěn)定狀態(tài)下鉆孔斷面的力學(xué)模型，鉆孔半徑為R，棱邊結(jié)構(gòu)半徑近似等于R，此時煤粉顆粒群在合力作用下均勻分布于鉆桿與孔壁的間隙內(nèi)，張角為2θ。分析可知，煤粉顆粒群受到類三角結(jié)構(gòu)迎面施加的垂直作用力FN、由于相對滑動的趨勢而產(chǎn)生的摩擦力f、孔壁對煤粉顆粒群施加的反作用力F反以及相對滑動產(chǎn)生的反向摩擦力f反。在與徑向垂直的方向上，類三角形與孔壁對煤粉顆粒群的摩擦力互相平衡；在徑向方向上，煤粉顆粒群在孔壁與類三角形的合力提供的向心力的作用下，繞鉆孔中心作勻速圓周運動。

3　物理模型的求解

3.1　求解過程

1)主方程組表達(dá)式

由于實際打鉆過程存在于三維空間，各項參數(shù)也是在三維空間求取的，計算模型的求解過程必須符合三維空間量綱。因此，在鉆孔軸向方向上取單位長度進(jìn)行分析計算，基于上述物理模型，軸向單位長度上煤粉顆粒群運動過程滿足下列主方程組，

(1)

式中：F反為孔壁對煤粉顆粒群的反作用力，N；FN為鉆桿對煤粉顆粒群的作用力，N；f為鉆桿對煤粉顆粒群的摩擦力，N；f反為孔壁對煤粉顆粒群的摩擦力，N；m為煤粉顆粒群質(zhì)量，kg；r為煤粉顆粒群質(zhì)心相對于鉆孔中心的距離，m；w為煤粉公轉(zhuǎn)角速度，也即三棱鉆桿自轉(zhuǎn)角速度，rad/s。

2)FN，f的表達(dá)式

設(shè)，類三角形結(jié)構(gòu)迎面施加的正應(yīng)力為σN，切應(yīng)力(摩擦力)為τN，則

(2)

式中：σN為鉆桿對煤粉顆粒群的正應(yīng)力，N/m2；τN為鉆桿對煤粉顆粒群的切應(yīng)力，N/m2；R為鉆孔半徑，m；1代表單位長度，m；θ為煤粉覆蓋張角的一半，rad；μ1為鉆桿與煤粉的靜摩擦系數(shù)。

3)F反，f反的表達(dá)式

由于煤粉顆粒群受到孔壁的反作用力相對于O-R線對稱，因此僅考慮上半部的受力情況，如圖2所示。設(shè)，孔壁對煤粉顆粒群的正應(yīng)力為σ反、切應(yīng)力(摩擦力)為τ反、孔壁任意位置與O-R線夾角為ψ。

在A-B方向上，鉆桿長邊與孔壁對煤粉顆粒群的摩擦力相等，也即τ反在A-B方向上的分力的積分與f相等，分量夾角為ψ；同理，在O-R方向上，σ反的分力的積分與FN的差值提供煤粉顆粒群的向心力，分量夾角同為ψ。

因此，F(xiàn)反，f反的表達(dá)式為:

(3)

式中：σ反為孔壁對煤粉顆粒群的正應(yīng)力，N/m2；τ反為孔壁對煤粉顆粒群的切應(yīng)力，N/m2；ψ為切應(yīng)力τ反與A-B方向的夾角，rad；μ2為孔壁與煤粉的動摩擦系數(shù)。

圖2　煤粉顆粒群受力分析Fig.2　Stress analysis of coal particle swarm

4)m·r的表達(dá)式

由質(zhì)心與靜矩的關(guān)系式可知:

(4)

式中：So為煤粉顆粒群相對于O點的靜矩，m3；A為煤粉顆粒群面積，m2；ρ為煤粉密度，kg/m3。

又因為煤粉顆粒群整體對于O點的靜矩So等于各個微元長方體dA對于O點靜矩dS的積分和，如圖3所示，因此有:

(5)

式中：x為任意微元長方體質(zhì)心到O點的距離，m；dx為微元長方體的寬度，m。

因此，m·r的表達(dá)式為:

(6)

圖3　煤粉顆粒群靜矩分析Fig.3　Static moment analysis of coal particle swarm

5)物理模型的求解

將式(2)、(3)、(6)帶入式(1)，可得:

(7)

對上述方程組進(jìn)行求解，得:

(8)

軸向單位長度上，由σN引起的扭矩Tσ、τN引起的扭矩Tτ分別為:

(9)

因此，三棱鉆桿在工作過程中的總扭矩為:

(10)

式中：ρ為煤粉密度，kg/m3；L為鉆孔長度，m；w為煤粉公轉(zhuǎn)角速度，也即三棱鉆桿自轉(zhuǎn)角速度，rad/s；R為鉆孔半徑，m；θ為煤粉覆蓋張角的一半，rad；μ1為鉆桿與煤粉的靜摩擦系數(shù)；μ2為孔壁與煤粉的動摩擦系數(shù)。

3.2　算例分析

根據(jù)假設(shè)可知，煤粉顆粒群在鉆孔中處于高速運動狀態(tài)，也只有在該狀態(tài)下，顆粒群才可以完全充填于鉆孔中，且均勻充填。同時，三棱鉆桿主要用于軟媒鉆孔，孔內(nèi)煤粉量較大。因此，假定鉆桿轉(zhuǎn)速為300 r/min，孔內(nèi)煤粉顆粒群密度為1 000 kg/m3，鉆孔半徑為50 mm，煤粉覆蓋張角為2π/3。根據(jù)文獻(xiàn)[16-17]的研究結(jié)果與數(shù)據(jù)，采用煤粉與石墨類比的方法，取煤粉與不銹鋼材料的靜摩擦系數(shù)為0.6，煤粉之間的動摩擦系數(shù)為0.5。

當(dāng)鉆孔長度為20 m,50 m,80 m時，將上述數(shù)據(jù)帶入式(10)并計算可知，由于煤粉顆粒群的負(fù)載造成的三棱鉆桿的扭矩分別為T20=587.36 N·m，T50=1 468.41 N·m，T80=2 349.46 N·m。

以目前較為常用的全液壓坑道鉆機(jī)ZDY3200S作為分析對象，其最大扭矩為4 200 N·m。對比可知，當(dāng)鉆孔深度為20 m時，三棱鉆桿上的煤粉負(fù)載只占到最大扭矩的14%左右，而當(dāng)鉆孔不斷加深后，其扭矩占到最大扭矩35%和56%。

因此，隨著鉆孔深度的增加，排粉需求的增大，煤粉負(fù)載這一因素就越發(fā)凸顯了其重要性，必須在打鉆過程中予以考慮。

4　討論

1)參數(shù)的意義及求取方法

公式中，各元素均為自變量，且對于扭矩存在不同程度的影響。然而在實際軟煤打鉆過程中，鉆孔布局及鉆孔參數(shù)信息一般是確定的(R固定)，這一參數(shù)可根據(jù)具體煤層的瓦斯抽采設(shè)計圖確定；根據(jù)確定的鉆孔參數(shù)可以確定不同的三棱鉆桿尺寸，目前國內(nèi)三棱鉆桿的結(jié)構(gòu)樣式與煤粉覆蓋張角是一致的(θ固定)，這一參數(shù)可根據(jù)具體鉆桿尺寸確定；同時，對于某個特定煤層而言，其煤粉與鉆桿、孔壁間的摩擦系數(shù)μ1、μ2也可以通過測定摩擦角而確定；轉(zhuǎn)速w可以從鉆機(jī)上得到。因此，這里重點討論煤粉密度ρ的求取方法。

ρ為煤粉顆粒群的密度，直接受鉆進(jìn)速率和風(fēng)力排渣速率的影響。該參數(shù)可以通過理論計算結(jié)合氣力輸送試驗進(jìn)行確定。假設(shè)鉆孔半徑為R，煤粉堆密度為ρ′，煤粉顆粒群原始密度為ρ0，鉆機(jī)的鉆進(jìn)速度為v，環(huán)狀間隙面積為A，環(huán)狀間隙內(nèi)壓風(fēng)風(fēng)速為v風(fēng)，煤體膨脹系數(shù)為β，環(huán)狀間隙內(nèi)壓風(fēng)風(fēng)流在單位時間內(nèi)的排渣能力為Q0。單位時間的產(chǎn)粉量Q產(chǎn)、排粉量Q0分別為:

(11)

式中：α為風(fēng)力排粉系數(shù)，無量綱，表明煤粉運移速度與風(fēng)速的比值，與風(fēng)速v風(fēng)和煤粉密度ρ正相關(guān)。對于不同的煤粉密度ρ以及不同風(fēng)速v風(fēng)，可以通過氣力輸送試驗確定對應(yīng)的單位時間排粉量，進(jìn)而確定不同的α值。

在一定時間內(nèi)，僅考慮額外鉆進(jìn)距離內(nèi)，ρe的表達(dá)式為:

(12)

當(dāng)ρe大于ρ0時，原始密度ρ0會被不斷拉高，同時由于密度上升，排渣能力Q0不斷提高，ρe不斷降低，最終趨于平衡，煤粉顆粒群密度穩(wěn)定在ρ1；相反，若ρe小于ρ0，ρ0會不斷降低，排渣能力Q0不斷減小，ρe不斷上升，最終同樣趨于平衡，穩(wěn)定在ρ1。因此，存在一個穩(wěn)定狀態(tài)，煤粉密度穩(wěn)定在ρ1。

假設(shè)在穩(wěn)定狀態(tài)時，煤粉密度為ρ1，則有等式：

(13)

2)最小扭矩問題

在煤礦井下軟煤打鉆過程中，最小扭矩的使用具有重要的意義：一方面利用最小扭矩進(jìn)行鉆進(jìn)工作可以大大節(jié)約打鉆過程中的用電量，同時，最小扭矩鉆進(jìn)也可以降低鉆機(jī)、鉆桿的損耗，這兩點都可以大大降低煤礦打鉆工作的成本；另一方面，當(dāng)扭矩大于最小扭矩時，轉(zhuǎn)速普遍偏高，煤粉對孔壁的摩擦力增大，磨損增加，孔壁穩(wěn)定性降低，不利于打鉆工作的順利開展。

通過扭矩T的表達(dá)式可知，當(dāng)煤層、鉆孔信息確定后，扭矩僅受煤粉密度ρ以及轉(zhuǎn)速w的影響。在基本假設(shè)中規(guī)定，煤粉顆粒群軸向運動與環(huán)向運動無關(guān)，也即煤粉密度ρ(受鉆進(jìn)速率與排粉速率影響)與轉(zhuǎn)速w之間彼此獨立。

由ρ的表達(dá)式可知，ρ受v與v風(fēng)的直接影響。在排粉能力Q0不變的情況下，當(dāng)鉆進(jìn)速度v降低時，產(chǎn)粉量Q產(chǎn)降低，煤粉密度ρ降低；在鉆進(jìn)速度v不變的情況下，當(dāng)風(fēng)速v風(fēng)增加時，排粉量Q0增大，煤粉密度ρ降低。

然而，在實際打鉆過程中，鉆孔作業(yè)任務(wù)量較大，降低鉆進(jìn)速度v會降低生產(chǎn)效率，這與生產(chǎn)需要相抵觸；同樣的，由于煤礦井下壓風(fēng)系統(tǒng)風(fēng)壓一定，如需提高壓風(fēng)風(fēng)速v風(fēng)，必須安裝風(fēng)機(jī)提供額外風(fēng)壓，而這一過程不僅增加了投資，也消耗了人力與時間，因此不建議在鉆機(jī)正常工作的狀態(tài)下使用上述手段降低鉆機(jī)扭矩。

基于上述分析，在實際打鉆過程中，只有通過調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速w才能夠?qū)崿F(xiàn)對于鉆機(jī)扭矩的調(diào)節(jié)。但是，轉(zhuǎn)速w并不是隨意調(diào)節(jié)的，它具有一個調(diào)節(jié)范圍。如圖4所示，轉(zhuǎn)速w存在一個臨界轉(zhuǎn)速w界，當(dāng)w小于w界時，煤粉顆粒群發(fā)生沉積，無法形成準(zhǔn)充填狀態(tài)；只有當(dāng)w大于w界后，煤粉顆粒群達(dá)到理想狀態(tài)，扭矩可以按照本文提供方法進(jìn)行計算。當(dāng)然，w不能無限大，上限為鉆機(jī)額定轉(zhuǎn)速。因此，轉(zhuǎn)速w在臨界轉(zhuǎn)速w界與額定轉(zhuǎn)速間變化。當(dāng)轉(zhuǎn)速接近w界時，鉆機(jī)扭矩接近最小扭矩，此時，在同等時間內(nèi)完成等量打鉆任務(wù)的情況下，該狀態(tài)能耗最小。

圖4　實際轉(zhuǎn)速對煤粉顆粒群的狀態(tài)影響對比Fig.4　Comparative analysis of influences of rotation speed on status of coal particle swarm

臨界轉(zhuǎn)速w界主要受煤粉密度、粒度參數(shù)的影響。在這里，提出一種利用相似模擬實驗確定w界的方法：

首先，確定煤層、鉆孔、打鉆信息，并在煤層中試驗打孔，測出煤粉的平均粒徑。

其次，根據(jù)鉆孔、鉆桿信息制作與實際尺寸相等的相似模型，盡量選擇輕質(zhì)替代材料，腔體需透明，如圖5所示。

第三，根據(jù)打鉆信息確定煤粉密度ρ，將模擬煤粉(可用橡膠顆粒代替，對腔體無磨損污染，密度應(yīng)與實際煤粉相似)按計算密度裝入模型，不斷增加轉(zhuǎn)速，并利用肉眼進(jìn)行觀測，當(dāng)顆粒群被全部攪動且底部無沉積時，認(rèn)為達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速w界，利用轉(zhuǎn)速計測出轉(zhuǎn)速，該值可直接用于井下實際生產(chǎn)中。

圖5　相似模擬實驗示意Fig.5　Diagrammatic sketch of analog simulation experiment on critical rotation speed

3)極限鉆孔長度問題

基于扭矩T的表達(dá)式，在得到鉆孔、鉆機(jī)、鉆桿、壓風(fēng)系統(tǒng)參數(shù)后，理論上可以求解鉆孔的極限長度，并且可以根據(jù)需要適當(dāng)調(diào)節(jié)相關(guān)參數(shù)以提高鉆孔深度，見圖6。

圖6　極限鉆孔長度多參數(shù)示意Fig.6　Multi-parameter relationship of maximum borehole length

一般情況下，鉆孔半徑R、煤粉覆蓋張角2θ、摩擦系數(shù)μ1、μ2為已知參數(shù)；在三棱鉆桿工作過程中，若要保持其正常工作、排粉舒暢，轉(zhuǎn)速w需達(dá)到w界。

1)假設(shè)工作過程中由于壓風(fēng)風(fēng)流、鉆進(jìn)速度控制良好，煤粉顆粒群密度ρ保持ρ1水平，則扭矩T與鉆孔長度L呈正比，即T∝L。

2)隨著鉆孔深度的增加，扭矩T到達(dá)最大扭矩Tmax，理論上在保持正常排粉情況(w>w界以上)下鉆機(jī)無法繼續(xù)鉆進(jìn)。

3)在保持w界情況下，若要繼續(xù)增加鉆孔深度，需要不斷降低煤粉顆粒群密度ρ，ρ與L服從反比例關(guān)系。

4)若要降低ρ，可以選擇降低鉆進(jìn)速率v和提高壓風(fēng)風(fēng)速v風(fēng)。然而隨著鉆孔深度的增加，風(fēng)阻增大，風(fēng)速無法提高，因此只能選擇逐漸降低鉆進(jìn)速度v以保證孔內(nèi)煤粉被逐漸排出并保持在更低水平上。

5)在不斷降低ρ的情況下，鉆孔深度不斷增加，但其存在一個極限長度，其極限長度為鉆機(jī)可攜帶最大鉆桿長度(無排粉負(fù)載)。

上述分析與實際情況較為吻合，在鉆機(jī)扭矩足夠情況下，可以保證在較高煤粉顆粒群密度水平(較高鉆進(jìn)速率)下鉆進(jìn)；當(dāng)扭矩達(dá)到最大扭矩后，只能依靠降低鉆機(jī)負(fù)載的方式提高鉆進(jìn)深度。

5　結(jié)論

1)通過對三棱鉆桿排粉機(jī)理進(jìn)行分析研究，提出了基本假設(shè)，并建立了三棱鉆桿扭矩物理模型，得到了鉆桿扭矩的解析解。隨著鉆孔深度的增加，煤粉負(fù)載在總扭矩中占比越來越大。

2)探討了扭矩解析解中各參數(shù)的意義及其求取方法，并通過對煤粉群面密度ρ的分析，判斷該參數(shù)可以是解析解，并求出了該解析解。

3)探討了最小扭矩問題，轉(zhuǎn)速w應(yīng)在臨界轉(zhuǎn)速w界與額定轉(zhuǎn)速間變化。當(dāng)轉(zhuǎn)速接近w界時，鉆機(jī)扭矩接近最小扭矩，此時，在同等時間內(nèi)完成等量打鉆任務(wù)的情況下，該狀態(tài)能耗最小。

4)提出了臨界轉(zhuǎn)速w界的實驗測定方法，并得到了提高鉆孔長度的理論方法。

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