不同災后救援情境下醫(yī)療人員與醫(yī)療物品最優(yōu)訂購的報童模型*

張小路，劉德海

(1.東北財經(jīng)大學 經(jīng)濟學院，遼寧 大連 116025；2.東北財經(jīng)大學 管理科學與工程學院，遼寧 大連 116025)

0　引言

地震、海嘯等各類自然災害對人類社會造成巨大危害。根據(jù)2010年《民政部發(fā)布2009年全國自然災害損失情況》報道，2009年全國各類自然災害共造成約4.8億人(次)受災，死亡和失蹤1 528人，緊急轉移安置709.9萬人(次)，因災直接經(jīng)濟損失2 523.7億元。在重大自然災害的救援過程中，醫(yī)療人員與醫(yī)療物品的最優(yōu)配置(訂購)是1個重要問題，尤其是面對不同類型的災害，對于醫(yī)療人員和醫(yī)療物品存在著不同的需求。例如：2004年的印度洋海嘯，其遇難者總人數(shù)已經(jīng)超過29.2萬人，當時急需驗尸人員以辨別死者身份，而由于印尼的特殊地理位置，導致驗尸人員只能通過直升機進入災區(qū)，進一步加劇驗尸人員的急需性[1]。2008年汶川地震災后救援中，藥品和醫(yī)用耗材器械一直處于急需狀態(tài)，其中青川縣急需用于救治1.2萬名受傷人員的藥品和醫(yī)療設備[2]。因此，重大災害應急救援過程中，各種不同醫(yī)療救援資源的急需性以及需求量的不確定性，使如何合理有效地配置各種醫(yī)療救援資源成為難點。

當前自然災害應急管理已經(jīng)成為管理科學界熱點問題之一[3-4]，針對災害救援物資供給方面的研究主要集中于庫存管理、倉庫選址和物資運輸?shù)确矫?。在現(xiàn)有關于救援物資的庫存管理的成果中，主要集中于討論應急物資庫存管理的最優(yōu)化，在傳統(tǒng)庫存管理模型的基礎上，通過修正提前期的數(shù)值、調整訂貨策略以適應應急救援情形，研究預先部署的倉庫群在應急情形發(fā)生時的快速響應問題，評估其成本結構的變化以及缺貨的風險[5]；將保險費用和支付元素導入規(guī)劃模型，討論應急供應鏈的庫存決策問題，然后設定多種物資的需求量為變量，且與災害的特征(如颶風的強度和路徑變化)有關，討論應急救援活動中的復雜庫存管理策略[6-9]；將應急物資劃分為響應期物資和恢復期物資2個部分，基于2類物資的關系建立基于跨期一體化的最優(yōu)訂貨量單周期庫存模型[10]；對于不確定環(huán)境下模糊應急物資庫存，設立離散單周期單物品的庫存模型，并得出在需求隨機、需求模糊隨機、需求隨機且成本模糊的最優(yōu)訂購策略表達式[11]；基于時效性準則，構建應急物資訂貨分段函數(shù)模型，在估算出需求速率和訂貨提前期的情況下，求解最佳訂貨量和訂貨批次，初步建立以時效性最佳為目標的庫存控制理論[12]。綜合上述成果，現(xiàn)有研究集中在不同災害情景下應急物資的最優(yōu)調度問題，但是對于醫(yī)療人員的最優(yōu)配置研究較少，尤其是醫(yī)療人員和醫(yī)療物品2種應急資源的最優(yōu)配置問題尚較少涉及。

報童模型是廣泛應用于需求不確定條件下訂貨問題的模型，許多專家學者進行大量研究。其中多產(chǎn)品報童問題(MPNP)是報童模型的1個重要分支，受到國內外學者的廣泛關注。對MPNP的相關研究主要集中于目標函數(shù)、產(chǎn)品替代、約束條件等3個方面。約束條件方面主要集中討論預算約束，通過幾個極小極大化遺憾公式表達1個預算約束，求解出該種情形下的最優(yōu)解[13]；考慮補貨數(shù)量總價值的預算約束和補貨的固定成本的多產(chǎn)品報童模型，利用動態(tài)規(guī)劃法進行求解[14]；另外可以利用嚴格的、近似的及遺傳迭代算法的方法求解單種約束下的多產(chǎn)品報童問題；而對于多種約束下的多產(chǎn)品的報童模型，則采用二次規(guī)劃方法求解，并且可以將多產(chǎn)品報童模型擴展到隨機產(chǎn)出情形下的模型，求解在隨機產(chǎn)出和隨機需求情形下的最優(yōu)解[15-18]。

雖然帶有約束的2產(chǎn)品報童訂購模型已經(jīng)廣泛應用于時尚健身行業(yè)、制造及零售業(yè)的輔助決策、航空和旅館的管理容量和評估預訂等領域中，但是在災害救援領域，除Arian Aaki等人首次將報童模型運用于災后救援中[19]外，其它類似應用研究較少發(fā)現(xiàn)。因此，針對不同災害類型下災后醫(yī)療救援物資在需求不確定條件下的訂購問題，運用報童訂購模型分析政府對于醫(yī)療人員以及醫(yī)療物品訂貨決策的期望收益函數(shù)，建立訂購模型，并通過數(shù)值分析得出各變量對政府決策的影響。研究結果有助于分析災后救援中政府的決策行為，對政府合理利用資源、提高災害救援效率有一定借鑒意義。

1　問題描述與模型構建

1.1　基本假設

在災害救援中，同時考慮災民對醫(yī)療人員和醫(yī)療物品這2種資源的需求是隨機的，假設政府具有損失厭惡特征，那么如何構建訂貨決策模型，來描述在災害救援中，政府醫(yī)療資源的最優(yōu)訂購行為成為急需解決的關鍵問題。為了更清楚地界定模型，作如下基本假設。

假設1：醫(yī)療人員在救援過程中需要配備多種必要的醫(yī)療器械和藥品，即醫(yī)療人員與醫(yī)療物品之間存在著互補關系。這里的互補是指醫(yī)療人員要配備一定數(shù)量的醫(yī)療物品才能順利實施救援，即在災害救援中，醫(yī)療人員不能在沒有必要的醫(yī)療物品情況下對災民實施救援，同時如果僅僅運輸相應的醫(yī)療物品(藥品、器械等)，但是缺乏必要的醫(yī)護人員，也難以實施有效的救治。根據(jù)不同的災害類型，醫(yī)療人員和醫(yī)療物品之間存在著不同的互補關系。具體來說，在2004年印度洋海嘯期間，不同國家由于受災情況不同，對于醫(yī)療人員和醫(yī)療物資的需求情況也不盡相同，例如在受災最重的印尼，由于幸存者很少，此時急需驗尸人員辨別死者身份，此時醫(yī)療人員與醫(yī)療物資的互補系數(shù)較小。但是，在2008年汶川地震重傷員的災后應急救援過程中，對藥品、醫(yī)療器械的需求比較集中，簡單包扎和傷員轉運等醫(yī)療救護任務甚至專業(yè)志愿者也能夠承擔，此種類型災害下，2者的互補系數(shù)較大。

假設2：在災后救援過程中，政府免費提供相應的醫(yī)療物品，同時災民在一定時期內可以免費領取存儲備用，并通過一些簡單的自救知識而自行使用，因此假定其退貨補貼為零。

假設3：基于汶川地震等災害救援的經(jīng)驗，超出救援需求的醫(yī)療人員和志愿者等剩余人員，將增大災區(qū)飲用水、食品、帳篷等日常生活用品的需求，不利于救援工作的開展。因此假定醫(yī)療人員的退貨補貼為負數(shù)，即當調配的醫(yī)療人員超出最大需求量時，反而不利于災害救援的順利實施。

假設4：在進行訂購決策時，由于醫(yī)療人員與醫(yī)療物品的需求不確定性，使得政府無法準確預測訂購量，因此會導致訂購量與實際需求量不符的情況，從而需要承擔缺貨成本或者獲得多余產(chǎn)品的退貨補貼，假定只考慮采購成本、缺貨損失和退回補貼。

1.2　模型建立

針對模型中的有關變量，作出如下定義：i為資源下標，i=1,2，其中i=1表示醫(yī)療人員，i=2表示醫(yī)療物品；pi為資源帶來的單位效益；ci為資源的單位成本；ri為單位缺貨損失；si為退回補貼；xi為政府的訂購數(shù)量，是決策變量；Di為需求量，f(D1,D2)，F(xiàn)(D1,D2)分別表示D1，D2的聯(lián)合概率密度函數(shù)和聯(lián)合累積分布函數(shù)。根據(jù)假設，1，2種醫(yī)療資源訂購量需要滿足x2≥kx1，其中k>1。

根據(jù)隨機需求下的報童模型的基本假設可知，醫(yī)療人員的期望收益可表示為：

(1)

同理，醫(yī)療物品的期望收益可以表示為：

(2)

可得政府的決策問題為：

(3)

s.t.x1≥0,x2≥0,x2≥kx1

根據(jù)海瑟矩陣，可以證明上述最優(yōu)化問題存在最優(yōu)解。

1.3　模型求解

命題1. 式(3)所表達的模型存在最優(yōu)解。

證， 將目標函數(shù)(3)整理為：

(4)

其海瑟矩陣為：

(5)

由于海瑟矩陣(5)的一階順序主子式為|H1|=-(p1-s1+r1)f1(x)<0，二階順序主子式為|H2|=(p1-s1+r1)(p2-s2+r2)f1(x)f2(x)>0，即該海瑟矩陣是負定的，故上述決策問題存在最優(yōu)解。

下面利用KKT條件來求決策問題(4)的最優(yōu)解。

首先，構造其Lagrange函數(shù)為：

(6)

KKT優(yōu)化條件如下：

λ1x1=0

(7)

λ2x2=0λ3(x2-kx1)=0λ1,λ2,λ3≥0

聯(lián)立上述式子，即可得到各決策變量的理論最優(yōu)解，即滿足式(8)的x1,x2為上述決策問題的最優(yōu)解：

-(p1-s1+r1)F1(kx2)-k(p2-s2+r2)F2(x2)+

(p1-c1+r1)+k(p2-c2+r2)=0

(8)

x2=kx1

2　數(shù)值分析

通過改變參數(shù)的取值來進一步對模型進行分析，僅分析k的變化對醫(yī)療人員及醫(yī)療物品的最優(yōu)訂購數(shù)量的影響。由于k>1，分別取k為1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.2，其余參數(shù)取值不變，帶入模型求解，醫(yī)療人員的最優(yōu)訂購數(shù)量的變化規(guī)律如圖1所示。

圖1　不同災害類型(互補系數(shù))對醫(yī)療人員或醫(yī)療物品最優(yōu)訂購數(shù)量的影響Fig.1　Effects of different types of disasters (complementarycoefficient) on the optimal order quantity of medical personnel or medical items

分析圖1可以得出如下結論：

1)隨著不同災害類型的互補系數(shù)k增加，即單位醫(yī)療人員所需而配備的醫(yī)療物品數(shù)量的減少，醫(yī)療人員的最優(yōu)訂購數(shù)量呈相應減少的趨勢，且這種減少的趨勢越來越平緩；隨著互補系數(shù)的增加，醫(yī)療物品的最優(yōu)訂購數(shù)量也呈相應減少的趨勢，且這種減少的趨勢也是越來越平緩。

2)醫(yī)療人員的最優(yōu)訂購數(shù)量一直小于醫(yī)療物品的最優(yōu)訂購數(shù)量。由圖1可以看出，雖然2種資源的最優(yōu)訂購數(shù)量都是隨著互補系數(shù)的增加而減少，但是醫(yī)療人員的最優(yōu)配置數(shù)量的變動更加明顯。

3　結論

1)在災害救援過程中，醫(yī)療物品最優(yōu)訂購數(shù)量與其成本成反比；醫(yī)療物品最優(yōu)訂購數(shù)量與醫(yī)療人員最優(yōu)配置數(shù)量成正比，與其退貨補貼成正比。

2)醫(yī)療人員和醫(yī)療物品的最優(yōu)配置(訂購)數(shù)量需要滿足基本的互補關系，2者之間比例系數(shù)反映不同類型自然災害對于醫(yī)療救援資源的需求差異，隨著2種醫(yī)療救援資源之間的比例系數(shù)的增加，醫(yī)療人員及醫(yī)療物品的最優(yōu)訂購數(shù)量均有所下降，但是下降趨勢趨于平緩。

3)還可做進一步拓展，如在約束條件方面僅僅考慮醫(yī)療人員與醫(yī)療物品之間的互補關系，并未考慮政府的預算約束等；另外，在數(shù)值分析時假設2種資源的需求獨立同服從于均勻分布，這與實際可能不完全相符，將是進一步的研究方向之一。

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