基于離散曲波變換字典和二維局部離散余弦變換字典組合的面波壓制

畢云云,汪金菊,徐小紅,屈光中,張 洋

(1.合肥工業(yè)大學(xué)計算機與信息學(xué)院,安徽合肥 230009;2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230009)

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基于離散曲波變換字典和二維局部離散余弦變換字典組合的面波壓制

畢云云1,汪金菊2,徐小紅1,屈光中1,張 洋1

(1.合肥工業(yè)大學(xué)計算機與信息學(xué)院,安徽合肥 230009;2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230009)

根據(jù)地震記錄中面波和反射波形態(tài)結(jié)構(gòu)的差異性,將基于離散曲波變換字典和二維局部離散余弦變換字典(2D-LDCT)組合的形態(tài)成分分析法應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)的面波壓制。首先選取離散曲波變換字典來稀疏表示面波分量,選取二維局部離散余弦變換字典來稀疏表示反射波分量,然后建立地震記錄在兩種字典下的面波分離模型,最后通過塊協(xié)調(diào)松弛算法求解該模型來分離出兩種分量,實現(xiàn)對面波的有效壓制。合成地震記錄及實際地震記錄試驗處理結(jié)果表明,該方法在有效壓制強面波干擾的同時,能夠較好地保護反射波信號。

稀疏表示;面波壓制;形態(tài)成分分析;離散曲波變換;二維局部離散余弦變換

面波是反射波地震勘探中常見的噪聲干擾,在炮點附近呈扇形分布,視速度低、能量強,且具有頻散的特點,嚴(yán)重影響了中深層的有效反射,降低了地震資料的信噪比。因此,有效的面波壓制對后續(xù)地震資料的處理和解釋具有重要作用。目前有多種面波壓制方法,如一維頻率域濾波法、f-k濾波法、Hilbert-Huang變換法、小波變換法、曲波變換法等。

一維頻率域濾波法將每一道地震記錄進行傅里葉變換后通過設(shè)計合適的高通濾波器來濾除面波成分[1],但高通濾波同時會丟失低頻部分的反射波信號,產(chǎn)生吉布斯現(xiàn)象;f-k濾波法考慮了面波頻率低、視速度低的特點[2],但當(dāng)面波能量遠強于反射波時,會造成有效波嚴(yán)重失真,并在濾波器的邊界產(chǎn)生新的相干噪聲;孔慶豐[3]利用Hilbert-Huang變換較高的時頻分辨率來壓制面波,但對于有效波與面波重疊較多的區(qū)域不能很好地識別區(qū)分;張華等[4]、岳龍等[5]通過小波變換的多尺度特性識別出面波區(qū)域,減小了去除面波時對有效信號的影響,但小波變換只對處理點奇異有效,對于地震記錄的曲線奇異特征不能有效地表示;曲波變換對線和超平面的奇異性表示優(yōu)于小波變換[6],ZHENG等[7]、董烈乾等[8]對曲波域中主要含面波的尺度和方向的系數(shù)進行閾值處理,也能夠有效去除面波干擾。

實際地震數(shù)據(jù)通常由多種信號成分組成,只采用單一變換不能有效地表現(xiàn)數(shù)據(jù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征。近年來稀疏表示理論迅速發(fā)展,并被不斷引入到地震數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域[9-11]。STARCK等[12-13]提出了以信號的稀疏性和形態(tài)多樣性為基礎(chǔ)的形態(tài)成分分析(Morphological Component Analysis,MCA)方法,WANG等[14]將其引入地震記錄面波壓制處理,提出了基于單道處理的壓制面波的改進MCA法。陳文超等[15]和李海山等[16]根據(jù)反射波與面波形態(tài)結(jié)構(gòu)的差異,將一維局部離散余弦變換與一維小波變換分別作為反射波和面波的稀疏表示字典,通過求解稀疏優(yōu)化問題實現(xiàn)了兩者的分離。以上方法都是以單道記錄為處理對象,沒有充分考慮到道與道之間的相關(guān)性,增加了數(shù)據(jù)的計算復(fù)雜度。XU等[17]對整個二維地震記錄進行處理,聯(lián)合二維非抽樣離散小波變換(2D-Undecimated Discrete Wavelet Transform,2D-UDWT)和二維局部離散余弦變換(2D-Local Discrete Cosine Transform,2D-LDCT)構(gòu)成超完備字典,將其應(yīng)用到MCA方法分離反射波和面波分量的問題中,也得到了較好的壓制效果。

鑒于小波變換自身的局限性,本文在XU等[17]研究工作的基礎(chǔ)上,將表示性能更好的離散曲波變換作為面波的稀疏表示字典,將2D-LDCT作為反射波的稀疏表示字典,并對2D-LDCT字典的內(nèi)部結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化,更好地分離出了面波分量和反射波分量,實現(xiàn)了對面波的有效壓制。最后用理論模型數(shù)據(jù)和實際地震資料進行了應(yīng)用測試。

1 MCA方法簡介

1.1 信號的稀疏表示問題

稀疏表示能夠在變換域內(nèi)用盡可能少的原子的線性組合來逼近原信號,對于信號x=[x1,x2,…,xN]T,若只有m個元素為非0值,絕大部分元素為零,則稱該信號是稀疏的,其稀疏度為m[18]。如果信號在時域不滿足稀疏性特征,可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q使其稀疏化。一般地,一個信號x可由K個原子dk的線性疊加表示:

(1)

其中,字典D是N×K矩陣,若D的列數(shù)大于行數(shù),即K>N,稱此字典為超完備字典;αk(k=1,2,…,K)為x在字典D=[d1,d2,…,dK]下的稀疏表示系數(shù),α的稀疏度可由α的0范數(shù)‖α‖0表示,即α中非0分量的個數(shù)。若α是稀疏的,則信號x可在字典D下得到稀疏表示,即該信號可表示為一小部分原子的線性疊加。

1.2 形態(tài)成分分析(MCA)原理

MCA方法將多種具有不同原子特征的字典聯(lián)合起來構(gòu)成超完備冗余字典,從而獲得更加稀疏的信號表示方式,實現(xiàn)對不同形態(tài)信號分量的有效分離[12-13]。假定輸入的待處理信號s∈RN×1由N個形態(tài)特征不同的分量sn線性組成,即:

(2)

式中:sn(n=1,2,…,N)表示不同形態(tài)成分的信號分量;超完備字典Tn(n=1,2,…,N)為sn對應(yīng)的稀疏表示字典;αn(n=1,2,…,N)為sn在相應(yīng)字典下的稀疏表示系數(shù),同時MCA理論假定對于混合信號中的每一種信號分量sn,其在相應(yīng)的字典Tn下都能得到非常稀疏的表示,而在字典Tk≠n下不能得到有效的稀疏表示。混合信號s的稀疏表示可以描述為求解下列問題:

(3)

按照基追蹤(Basis Pursuit,BP)算法和匹配追蹤(Matching Pursuit,MP)算法[19]的思想,對(3)式中的約束條件適當(dāng)松弛,可轉(zhuǎn)化為求解如下問題:

(4)

1.3MCA方法面波分離模型

假設(shè)含面波地震記錄的每道信號是有效反射波和面波的線性疊加,則單炮地震記錄可表示為:

(5)

式中:sr,sg,n分別表示有效反射波分量、面波分量和隨機噪聲。在該模型中加入隨機噪聲分量為0均值的高斯白噪聲,可以提高模型的普適性。

對于反射波分量sr,用超完備字典Tr∈MN×Lr進行稀疏表示時,有:

(6)

得到的表示系數(shù)αr非常稀疏,字典Tr能夠有效地稀疏表示反射波分量sr。

對于面波分量sg,用超完備字典Tg∈MN×Lg進行稀疏表示時,有:

(7)

得到的表示系數(shù)αg也非常稀疏,則字典Tg能夠有效地稀疏表示面波分量sg，如果字典Tr不能很好地稀疏表示面波分量,字典Tg不能很好地稀疏表示反射波分量，則單炮地震記錄s可利用由Tr和Tg聯(lián)合組成的超完備字典進行稀疏表示,并通過求解如下的最優(yōu)化問題實現(xiàn)面波與反射波的分離:

(8)

2 面波壓制方法原理

MCA算法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是字典組合的選擇。根據(jù)MCA理論,2種字典不僅需要能夠分別稀疏地表示各信號分量,它們的原子波形也需要具有明顯的差異性。由于反射波和面波的形態(tài)結(jié)構(gòu)差別很大,因此只要為這2種信號分量找到相應(yīng)的稀疏表示字典,就能夠在相應(yīng)的稀疏域中對其進行有效地稀疏表示。

2.1 離散曲波變換字典表示面波分量

地震記錄中的面波分量頻率低、視速度低,具有頻散特性,且面波與反射波同相軸斜率差異較大,而離散曲波變換具有非常好的局部性、各向異性和很強的方向性,能夠有效地表示波前和具有線狀特征的同相軸[21],因而我們選擇離散曲波變換作為面波的稀疏表示字典。

(9)

(10)

(11)

本文采用基于快速wrapping算法的離散曲波變換作為面波的稀疏表示字典,對于反射波頻帶和面波頻帶交疊的區(qū)域,離散曲波變換能夠充分利用良好的方向識別能力,有效地分離出面波分量。

2.2 2D-LDCT字典表示反射波分量

地震記錄反射波分量局部相關(guān)性強,具有明顯的波動特征,而局部離散余弦變換(LDCT)是類似于傅里葉變換的一種實值變換,它對具有高度相關(guān)性的信號有非常好的能量聚集性,能夠有效地捕捉信號的局部結(jié)構(gòu)特征,準(zhǔn)確地描述不同時段的信號特性,自適應(yīng)地跟蹤信號的變化[23-24],因而我們選擇2D-LDCT作為反射波分量的稀疏表示字典。

LDCT是一種基于重疊正交基或雙正交基的變換,本文采用的是Ⅳ型局部余弦基,其定義如下:

(12)

其中,hi=ai+1-ai表示信號的第i段,gi(t)是定義在區(qū)間Ii=[ai-ηi,ai+1+ηi+1]上相互重疊的光滑窗函數(shù),它將信號分成分段信號,且滿足ai+ηi≤ai+1-ηi+1,ηi和ηi+1分別為左右兩側(cè)的重疊半徑。LDCT一般通過先對信號做折疊分段處理,再對其進行快速Ⅳ型LDCT得到。原始的2D-LDCT字典只能處理方陣數(shù)據(jù),本文對其進行了優(yōu)化,無需在數(shù)據(jù)變換時將其擴充為方陣,使其能自適應(yīng)地處理任意大小的地震數(shù)據(jù),從而實現(xiàn)對反射波有效的描述和稀疏表示。

2.3 稀疏表示性能對比

我們利用兩組實驗來對比說明不同字典對反射波和面波信號的稀疏表示性能。實驗選取經(jīng)過濾波后不含面波的實際地震記錄作為實驗反射波信號,該記錄共240道,每道采樣點數(shù)為1024,如圖1所示。選取受到強面波干擾的實際地震記錄切片作為實驗面波信號,該記錄共64道,每道采樣點數(shù)為1024,如圖2所示。選取的2D-LDCT字典為離散Ⅳ型余弦變換,窗口寬度為10;選取的離散曲波變換字典為基于wrapping算法的快速離散曲波變換。為了更好說明離散曲波變換字典和2D-LDCT字典對兩種信號分量稀疏表示的優(yōu)越性,并與2D-UDWT字典稀疏表示的性能進行對比,其小波母函數(shù)采用消失矩為10的Symmlet小波。對2組實驗信號分別用這3種字典進行稀疏表示,將得到的系數(shù)根據(jù)幅值進行排序,并按相同的比例系數(shù)將其中較小幅值的系數(shù)置0,再分別通過3種變換的逆變換求出各自的重構(gòu)信號,計算重構(gòu)信號與原始信號的重構(gòu)相對誤差,以此來評價各字典對反射波和面波的稀疏表示能力,重構(gòu)誤差越小,則稀疏表示能力越強。

圖1 實驗反射波信號

圖2 實驗面波信號

反射波信號在各變換字典下的重構(gòu)誤差隨置0比例系數(shù)的變化曲線如圖3所示,可以看出,在置0比例系數(shù)相同的情況下,2D-LDCT字典重構(gòu)誤差較小,即能用更少的系數(shù)稀疏表示反射波分量,2D-UDWT字典的稀疏表示能力適中,而離散曲波變換字典重構(gòu)誤差最大,即不能很好的稀疏表示反射波分量;面波信號在各變換字典下的重構(gòu)誤差隨置0比例系數(shù)的變化曲線如圖4所示,可以看出,在置0比例系數(shù)相同的情況下,離散曲波變換字典重構(gòu)誤差較小,即能用更少的系數(shù)稀疏表示面波分量,而2D-LDCT字典的重構(gòu)誤差最大,即不能很好的稀疏表示面波分量,2D-UDWT字典的重構(gòu)誤差介于兩者之間。離散曲波變換字典和2D-LDCT字典體現(xiàn)出的對2種信號成分稀疏表示能力的差異,使得基于這2種字典組合的MCA方法可用于地震記錄中面波信號和反射波信號的分離。

圖4 含強能量面波地震信號在3種不同字典下稀疏性比較

2.4 面波分離模型的求解方法

在實際處理中,求解(8)式中的最優(yōu)化問題得到的系數(shù)維度較高,需占用大量內(nèi)存,因此,將(8)式進一步轉(zhuǎn)化:

Trrr=0Tgrg=0

(13)

(14)

上述問題的求解以BCR算法為基礎(chǔ),分別固定一種信號成分不變,更新另一種信號分量,通過迭代閾值法最小化該分量的懲罰項和約束項得到更新系數(shù),再與其相應(yīng)的表示字典相乘即可得到更新后的信號成分。在對面波成分進行更新時做相應(yīng)的修改,利用離散曲波變換字典對其進行5層分解后,保留曲波域中主要含面波的尺度和方向上的系數(shù)不變(主要分布在Fine尺度和Detail尺度的低頻高波數(shù)方向),對其它系數(shù)進行閾值處理,使得反射波分量與面波分量的分離效果更加明顯。

3 合成數(shù)據(jù)實驗

圖5a為利用雷克子波合成的有效反射波記錄,該記錄共240道,每道采樣點數(shù)為1000,道間距為30m,包含3個反射同相軸,主頻為40Hz,最大振幅為3,信號采樣間隔為5ms,記錄長度為5s;圖5b為加入的面波,面波利用掃描信號合成,頻帶范圍為5～15Hz,最大振幅為12;圖5c為合成的受面波干擾的地震記錄,其信噪比為-22.46dB,在面波與反射波重疊的區(qū)域,反射波幾乎被全部掩蓋,受損嚴(yán)重。應(yīng)用本文方法對圖5c含面波合成地震記錄進行處理,設(shè)置迭代次數(shù)為50,分離出的反射波分量和面波分量如圖6a和圖6b所示。為了進一步說明本文方法的有效性,分別采用基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法和曲波變換法對該地震記錄進行面波壓制處理。其中,2D-UDWT字典和2D-LDCT字典分別稀疏表示面波分量和反射波分量,曲波變換使用快速離散wrapping算法。圖6c和圖6d為基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法得到的反射波分量和面波分量,圖6e和圖6f分別為曲波變換法處理后得到的反射波分量和面波分量。為了更清晰地顯示3種方法的壓制效果,分別選取合成反射波記錄和各方法處理后得到的反射波記錄的第100道數(shù)據(jù)進行波形和振幅譜分析,得到的結(jié)果如圖7所示。

由圖6a和圖6b可以看出,合成地震數(shù)據(jù)中的面波和反射波得到了有效的分離,反射波分量中只有極少部分的面波殘留;分離出的面波分量中也幾乎不含反射波,圖7c中分離出的反射波第100道記錄的波形和合成的反射波單道記錄的波形非常接近。由圖6c 和圖6d的分離結(jié)果可以看出,該方法能較好地去除面波分量,但同時也損失了少量反射波信息,圖7e 中反射波單道記錄的波形中還存在部分干擾。由圖6e 和圖6f中的處理結(jié)果可以看出,該方法能較好地去除面波分量,同時能很好地保留反射波分量的信息,面波分量中幾乎不含反射波,但圖7g中反射波單道記錄的波形中還含有較多干擾。由圖7中各種方法分離出的反射波單道記錄的振幅譜可以看出,相比于本文方法,基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法和曲波變換法都損失了部分低頻成分的有效信號。以上各種方法的面波壓制效果可以用處理后的信噪比和均方根誤差(RMSE)來客觀評價,得到的結(jié)果如表1所示。從表1中可以看出,采用本文基于離散曲波變換和2D-LDCT字典組合的MCA方法壓制面波后,地震數(shù)據(jù)的信噪比提高最多,均方根誤差最小,這表明本文方法能夠?qū)Φ卣鹩涗浿械拿娌ㄟM行更有效地去除。

圖5 合成地震記錄a 合成反射波記錄; b 合成面波記錄; c 受面波干擾的合成地震記錄

圖6 合成地震記錄面波壓制效果對比a 本文方法得到的反射波; b 本文方法得到的面波; c 基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法得到的反射波; d 基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法得到的面波; e 曲波變換法得到的反射波; f 曲波變換法得到的面波

表1 不同方法壓制面波效果對比

圖7 合成地震記錄單道波形及振幅譜a 圖5a第100道記錄的波形; b 圖7a的振幅譜; c 圖6a第100道記錄的波形; d 圖7c的振幅譜; e 圖6c第100道記錄的波形; f 圖7e的振幅譜; g 圖6e第100道記錄的波形; h 圖7g的振幅譜

4 實際數(shù)據(jù)應(yīng)用

為驗證本文方法對實際地震記錄處理的有效性,將此方法用于壓制圖8所示的地震記錄中的面波,該地震記錄共240道,每道采樣點數(shù)為1024,采樣間隔為4ms。圖9a和圖9b展示了其第115道記錄的波形和振幅譜,分析可知,面波主要分布在低頻部分0～20Hz范圍內(nèi)。設(shè)置迭代次數(shù)為30次,LDCT窗口寬度為16,分離后的反射波和面波如圖10a和圖10b所示。為了進一步說明本文方法的有效性,分別應(yīng)用基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法和曲波變換法對該地震記錄進行處理。其中,2D-UDWT字典和2D-LDCT字典分別稀疏表示面波分量和反射波分量,曲波變換使用快速離散wrapping算法。圖10c和圖10d為基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法處理后得到的反射波分量和面波分量,圖10e和圖10f為曲波變換法處理后得到的反射波分量和面波分量。為了更清晰地顯示3種方法的壓制效果,分別選取利用各方法處理后得到的反射波記錄的第115道記錄進行波形和振幅譜分析,如圖11所示。

圖8 含面波干擾的實際地震記錄

圖9 實際地震記錄第115道記錄的波形(a)及其振幅譜(b)

圖10 實際地震記錄面波壓制效果對比a 本文方法得到的反射波; b 本文方法得到的面波; c 基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法得到的反射波; d 基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法得到的面波; e 曲波變換法得到的反射波; f 曲波變換法得到的面波

從圖10中可以看出,應(yīng)用本文方法分離出來的反射波分量同相軸較為清晰,并且較好地保留了原地震記錄的有效信息,分離出的面波只含有微弱的反射波;利用基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法和曲波變換法得到的反射波中都幾乎不含面波信號,但分離出來的面波中都含有少量明顯的反射波信號。從圖11中單道記錄的波形及振幅譜可以看出,相比于本文方法得到的結(jié)果,基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法和曲波變換法得到的反射波單道記錄的波形都存在不同程度的幅度失真,并且兩種方法得到的反射波都損失了部分低頻成分的信息。這表明,本文方法壓制面波的效果較好,能夠很好地將反射波和面波分量分離,同時對有效信號的損害較小。

圖11 實際單道地震記錄的波形及振幅譜對比a 圖10a第115道記錄的波形; b 圖11a的振幅譜; c 圖10c第115道記錄的波形; d 圖11c的振幅譜; e 圖10e第115道記錄的波形; f 圖11e的振幅譜

5 結(jié)束語

本文利用MCA方法壓制地震數(shù)據(jù)中的面波,根據(jù)面波和有效反射波的形態(tài)結(jié)構(gòu)差異,分別選取表示性能更好的離散曲波變換和優(yōu)化后的2D-LDCT字典作為兩種信號分量的稀疏表示字典,建立地震記錄在兩種字典下的面波分離模型,在采用塊協(xié)調(diào)松弛算法來求解該模型時,將曲波域內(nèi)主要含面波的尺度和方向上的系數(shù)保持不變,對其他系數(shù)進行閾值處理,獲得了明顯的壓制效果。和基于2D-UDWT與2D-LDCT字典組合的MCA法、曲波變換法相比,本文方法在有效壓制面波干擾的同時能很好地保護反射波信號的波形特征,是一種更精確有效的面波壓制方法。然而實際地震數(shù)據(jù)中往往含有多種干擾,使用變換字典組合的方法進行面波壓制,會存在將原有其它干擾轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌母蓴_噪聲的問題,如何有效規(guī)避此問題還需要進一步研究。

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(編輯：朱文杰)

Ground roll attenuation based on the combination of discrete curvelettransform dictionary and two-dimensional local discrete cosinetransform dictionary

BI Yunyun1,WANG Jinju2,XU Xiaohong1,QU Guangzhong1,ZHANG Yang1

(1.SchoolofComputerandInformation,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China;2.SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China)

According to the different morphological characteristics between ground roll and reflected wave in seismic record,we use morphological component analysis based on the combination of discrete curvelet transform dictionary and two-dimensional local discrete cosine transform dictionary to attenuate ground roll.Firstly,we choose discrete curvelet transform dictionary to sparsely represent ground roll,and two-dimensional local discrete cosine transform dictionary to sparsely represent reflected wave respectively.Then the ground roll separation model of seismic record can be constructed under the two dictionaries.Finally,by solving the model using block coordinate relaxation algorithm,we can separate the ground roll and reflected wave and thus attenuate ground roll effectively.The processing results of synthetic and real seismic records indicate that our method can not only suppress strong ground roll noise but also preserve reflected wave effectively.

sparse representation,ground roll attenuation,morphological component analysis,discrete curvelet transform,two-dimensional local discrete cosine transform

2016-06-20;改回日期：2016-08-13。

畢云云(1991—),女,碩士在讀,主要從事信號與信息處理方面的研究。

汪金菊(1978—),女,副教授，主要從事信號與信息處理方面的研究。

國家重大科研裝備研制項目“深部資源探測核心裝備研發(fā)”(ZDYZ2012-1-06-05)資助。

P631

A

1000-1441(2017)02-0222-10

10.3969/j.issn.1000-1441.2017.02.009

This research is financially supported by the National Scientific Equipment Development Project of China (Grant No.ZDYZ2012-1-06-05).