圓錐曲線的離心率題型剖析

劉族剛　朱新婉

圓錐曲線的離心率[e]是反映圓錐曲線幾何特征（扁平或開闊程度）的一個數(shù)量，是圓錐曲線的重要幾何性質，也是圓錐曲線“統(tǒng)一定義”的紐帶. 因而掌握圓錐曲線離心率的概念、題型與求解方法，不僅是鞏固基礎知識、領悟數(shù)形結合思想的需要，也完全符合“備考從高一、高二開始抓”的教學理念. 本文以離心率的內(nèi)容為主體，以題型解析為載體，小結出求解離心率問題的策略和方法，希望對大家的解題有所幫助.

離心率的定義

例1 已知[F1，F(xiàn)2]是橢圓和雙曲線的公共焦點，[P]是它們的一個公共點，且[∠F1PF2=60°]，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）

A. [433] B.[233] C. [3] D. [2]

分析 [△PF1F2]既是橢圓的焦點三角形，也是雙曲線的焦點三角形，因為焦點三角形中的邊長蘊含求離心率所需的“[2a，2c]”，所以利用圓錐曲線的定義、離心率的定義是解答本題的切入點.

解 不妨設[PF1=m，PF2=n，（m>n）]，橢圓的長半軸長為[a1]，雙曲線的實半軸長為[a2]，橢圓、雙曲線的離心率分別為[e1， e2].

由橢圓、雙曲線的定義得，

[m+n=2a1]，[m-n=2a2].

平方得，[m2+2mn+n2=4a12]， ①

[m2-2mn+n2=4a22]. ②

又由余弦定理得，[m2-mn+n2=4c2]. ③

由①②③消去[mn]得，

[a12+3a22=4c2]，即[1e12+3e22=4].

由柯西不等式得，[（1e1+1e2）2=（1×1e1+13×3e2）2]

[≤（1+13）（1e12+3e22）=163].

（當且僅當[e1=33， ][e2=3]時取等號.）

所以[1e1+1e2≤433].

答案 A

點評 圓錐曲線的離心率的定義[e=ca]是解決離心率問題的基礎. 值得注意的是：橢圓的離心率[e∈（0，1）]，拋物線的離心率[e=1]，雙曲線的離心率[e∈（1，+∞）].

離心率的幾何意義

例2 已知雙曲線[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的離心率為[2]，若直線[l：y=kx+3]與曲線[C]的左、右支各有一個交點，求[k]的取值范圍.

分析 雙曲線的離心率[e]決定了雙曲線的分布與形狀，另外直線[l：y=kx+3]中[k]的幾何意義明顯（直線陡峭程度），故本題可用數(shù)形結合求解.

解 因為雙曲線[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的離心率為[e=2]，所以[ba=e2-1=3].

由離心率的幾何意義知，雙曲線的兩支應夾在兩漸近線[y=±3x]之間且無限接近（如圖）.

要使過點[（0，3）]且斜率為[k]的直線[l：y=kx+3]與曲線[C]的左、右支各有一個交點，則直線[l]必須繞[（0，3）]在兩直線[y=±3x+3]之間轉動，所以[k∈（-3，3）].

點評 離心率[e]是圓錐曲線的特征數(shù)，它確定了圓錐曲線的形狀、分布等（作雙曲線先畫漸近線），借助這一幾何意義，往往為“數(shù)形結合”解題帶來便利. 思考：[k]在什么范圍時，直線[l]與雙曲線[C]的右支（或左支）有兩個交點呢？

求離心率的值

例3 設雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>b>0）]的半焦距為[c]，直線[l]過[（a，0），（0，b）]兩點，若原點到直線[l]的距離為[34c]，求雙曲線的離心率[e].

分析 求圓錐曲線的離心率，一般要根據(jù)已知條件（如等量關系、幾何圖形的特征等）建立關于[a，b，c]的等量關系式，進而轉化為關于[e]的方程求解.

解 ∵直線[l]過[（a，0），（0，b）]兩點，

∴直線[l]的方程為[xa+yb=1]，即[bx+ay-ab=0].

因為原點到直線[l]的距離為[34c]，

所以[aba2+b2=abc=34c].

則[4ab=3c2].

又[b2=c2-a2]，且離心率[e=ca]，

所以[3e4-16e2+16=0]，則[e2=4]，或[e2=43].

因為[a>b>0]，

所以[e=1+b2a2<2]，即[e=233]，或[e=2]（舍）.

點評 有沒有注意到條件[a>b>0]，涉及最終答案的取舍，也是能不能準確求解本題的關鍵.

求離心率的范圍

例4 如圖，設橢圓[x2a2+y2=1（a>1）].

（1）求直線[y=kx+1]被橢圓截得到的弦長（用[a，k]表示）；

（2）若任意以點[A（0，1）]為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心率的取值范圍.

分析 求圓錐曲線的離心率的取值范圍，就是列出關于[a，b，c，e]的不等關系，再解不等式.

解 （1）設直線[y=kx+1]被橢圓截得的線段為[AP].

由[y=kx+1，x2a2+y2=1]得，[（1+a2k2）x2+2a2kx=0].

故[x1=0]，[x2=-2a2k1+a2k2].

因此[AP=1+k2x1-x2=2a2k1+a2k21+k2].

（2）假設圓與橢圓的公共點有[4]個，由對稱性設[y]軸左側的橢圓上有兩個不同的點[P，Q]，它們滿足[AP=AQ].

記直線[AP，AQ]的斜率分別為[k1，k2]，且[k1，k2>0， k1≠k2].

由（1）知，[AP=2a2k11+a2k121+k12]，

[AQ=2a2k21+a2k221+k22].

故[2a2k11+a2k12?1+k12=][2a2k21+a2k22?1+k22].

所以[（k12-k22）[1+k12+k22+a2（2-a2）k12k22]=0].

由于[k1，k2>0，且k1≠k2]，

所以[1+k12+k22+a2（2-a2）k12k22=0].

因此，[（1k12+1）（1k22+1）=1+a2（a2-2）].

因為[（1k12+1）（1k22+1）>1]，所以關于[k1，k2]的方程有解的充要條件是[1+a2（a2-2）>1].

則[a>2].

因此，任意以點[A（0，1）]為圓心的圓與橢圓至多有[3]個公共點的充要條件為[1

則[e=ca=a2-1a=1-1a2∈（0，22]].

點評 一般地，建立關于[a，b，c]的不等式的依據(jù)主要有：題設指定條件、圓錐曲線的定義、圓錐曲線的方程（如參數(shù)方程）、圓錐曲線的性質（如范圍）、二次方程的判別式、不等式等.

與離心率有關的定值

例5 如圖，已知雙曲線[C：x2a2-y2=1（a>0）]的右焦點[F]，點[A，B]分別在曲線[C]的兩條漸近線上，[AF⊥x]軸，[AB⊥OB，BF//OA]（[O]為坐標原點）.

（1）求雙曲線[C]的方程；

（2）過曲線[C]上一點[P（x0，y0）（y0≠0）]的直線[l：x0xa2-y0y=1]與直線[AF]相交于點[M]，與直線[x=32]相交于點[N]，證明：點[P]在曲線[C]上移動時，[MFNF]恒為定值，并求此定值.

分析 本題第（2）問中，[P（x0，y0）（y0≠0）]的位置不影響[MFNF]的值，宜采用直接證明法，即先求出[M，N]的坐標，用距離公式代入檢驗即可. 值得提醒的是：直線[l：x0xa2-y0y=1]為雙曲線過點[P]的切線，而直線[x=32]為雙曲線的一條“準線”.

解 （1）設[F（c，0）]，因為[b=1]，所以[c=a2+1].

直線[OB]方程為[y=-1ax]，直線[BF]的方程為[y=1a（x-c）]，解得，[B（c2，-c2a）].

又直線[OA]的方程為[y=1ax]，則[A（c，ca）]，[kAB=3a].

又因為[AB⊥OB]，所以[3a（-1a）=-1]，解得，[a2=3].

故雙曲線[C]的方程為[x23-y2=1].

（2）由（1）知，[a=3].

則直線[l]的方程為[x0x3-y0y=1]，即[y=x0x-33y0].

因為直線[AF]的方程為[x=2]，

所以直線[l]與[AF]的交點[M（2，2x0-33y0）]，

直線[l]與直線[x=32]的交點為[N（32，32x0-33y0）].

則[MF2NF2=4（2x0-3）29[y02+（x0-2）2]].

因為[P（x0，y0）（y0≠0）]是[C]上一點，則[x023-y02=1].

代入上式得，[MF2NF2=4（2x0-3）29[y02+（x0-2）2]=43].

故所求定值為[MFNF=233=e].

點評 與圓錐曲線的離心率有關的定值問題有很多，教材中有經(jīng)典例題，那就是圓錐曲線的“統(tǒng)一定義”.依據(jù)統(tǒng)一定義可得：橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上任意一點到右焦點[F1（c，0）]（或左焦點[F2（-c，0）]）的距離與到右準線[x=a2c]（或左準線[x=-a2c]）的距離之比為離心率[e]；雙曲線[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上任意一點到右焦點[F1（c，0）]（或左焦點[F2（-c，0）]）的距離與到右準線[x=a2c]（或左準線[x=-a2c]）的距離之比為離心率[e].

圓錐曲線的離心率問題是數(shù)學中的一類典型問題，一般涉及解析幾何、平面幾何、代數(shù)等多個知識點，其綜合性強且方法靈活. 從上述例題可以看出，解決圓錐曲線的離心率問題，定義是基礎、運算是關鍵、建立關于[a，b，c]間的關系（等或不等）是解題突破口.