例談高考數(shù)學(xué)中常見的解三角形問題

王江峰

(廣東省深圳市福田區(qū)福田中學(xué) 518000)

高考試題命題方向的改革推進(jìn)著全國高考命題方向的逐漸統(tǒng)一化，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來說，其具有很強(qiáng)的邏輯性和推理性，而解三角形問題一直是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考命題方向的重點(diǎn)內(nèi)容，其綜合性極強(qiáng)，例如，該知識(shí)點(diǎn)常常與平面向量、不等式、三角函數(shù)以及立體幾何和解析幾何融合起來，題目能夠不斷的推陳出新，隨機(jī)應(yīng)變，實(shí)時(shí)地解決一些實(shí)際性的問題，也因此解三角形問題歷年來成為高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)話題以及成為高考考試的必考點(diǎn).

一、解三角形的考點(diǎn)分析

數(shù)學(xué)中的“解三角形”事實(shí)上就是理清三角形的所有邊和所有角之間的關(guān)系，即就是求解三角形的所有邊和所有角的問題，而三角形中的正、余弦定理則是指解三角形問題時(shí)作為一個(gè)有力的工具出現(xiàn)的角色內(nèi)容，又因?yàn)檎嘞叶ɡ肀旧砗腿切魏瘮?shù)之間有著必要的相關(guān)性，彼此之間相互聯(lián)系，因此，在三角形中求角、求邊問題的涉及亦或判斷三角形形狀問題時(shí)，需要將其與三角形的“正、余弦定理”有效結(jié)合起來，包括兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)以及誘導(dǎo)公式等將三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)變，最終多種關(guān)系相結(jié)合以進(jìn)一步進(jìn)行解三角形.而我們通過對(duì)歷年高考題的進(jìn)一步分析得到，高考試題中對(duì)解三角形知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容的分布和探討發(fā)現(xiàn)其大部分涉及的是解三角形的面積、邊和角等問題，有少部分則是涉及解三角形不等式及向量問題，綜合高考試題的分析以及結(jié)合歷年來解三角形問題的知識(shí)點(diǎn)分布狀況來看，高考中重點(diǎn)考查的還是學(xué)生對(duì)綜合知識(shí)的應(yīng)用能力和分析問題的綜合能力.

二、三角函數(shù)與正、余弦定理結(jié)合解三角形

結(jié)合三角函數(shù)與正、余弦定理之間解三角形的關(guān)系相結(jié)合來解三角形，題型看起來比較簡(jiǎn)單，但是題目考查所涉及的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容卻很廣泛，特別是涉及三角函數(shù)中兩角的和與差、二倍角的正、余弦以及正切公式等誘導(dǎo)公式的靈活應(yīng)用是解三角函數(shù)問題中的難點(diǎn)內(nèi)容，這其中解三角形時(shí)又存在一些隱藏的條件，像三角形的內(nèi)角和整體為180度，以及三角形的性質(zhì)問題，比如，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等.

例題賞析1 (2013課標(biāo)全國Ⅰ，理17)(本小題滿分12分)如圖(此處圖省略)，△ABC中，∠ABC=90°，其中AB=2，BC=1，又有P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，并且∠BPC=90°.

(1)若給定條件PB=3，求PA的長(zhǎng)度；

(2)若三角形中∠APB=150°，求tan∠PBA.

試題分析 依據(jù)題目有已知條件，我們分析思考，△PAB中利用余弦定理即可求解PA，然后利用三角形正弦定理得出tan∠PBA.

試題小結(jié) 題目考查的內(nèi)容主要是學(xué)生對(duì)于三角形正弦以及余弦定理的理解及應(yīng)用，并且又對(duì)一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式作以分析和探討.

三、不等式與解三角形結(jié)合

解三角形問題中涉及三角形求角、邊、面積范圍的問題時(shí)，就會(huì)涉及到三角形不等式問題相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，比如最基本的不等式，“解三角形”中需要從研究分析三角形角與邊的取值范圍，充分考慮到三角形函數(shù)值符號(hào)以及三角形三個(gè)邊的關(guān)系，有兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，內(nèi)含三角形內(nèi)角和為180度，此時(shí)三角形所隱含的條件使其盡可能的縮小角于邊的取值范圍，以使得避免增根產(chǎn)生或“擴(kuò)大”所求變量的取值范圍.

例2 (2014課標(biāo)全國Ⅰ，理16)有三角形的三個(gè)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的三個(gè)邊分別為a、b、c，其中已知a=2，并且有(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，求三角形ABC面積的最大值.

試題分析 題目所給條件得已知(2+b)(sinA-sinB)=(c-B)sinC，邊和正弦值都確定了，于是聯(lián)想到利用正弦定理統(tǒng)一變量，然后觀察化解后的形式以及余弦定理，根據(jù)公式轉(zhuǎn)化求得cosA，然后利用面積公式S=bcsinA解出三角形面積的最大值.

試題小結(jié) 題目考查的內(nèi)容主要針對(duì)學(xué)生對(duì)三角形正弦定理、余弦定理的理解及應(yīng)用，以及二者的綜合應(yīng)用，解三角形與基本的不等式的結(jié)合.

四、三角形三邊最值問題

考題實(shí)例：海中有一小島周圍有暗礁，海輪航行的方向?yàn)橛晌飨驏|，這時(shí)望見海島在北偏東70度的位置，航行后該島位置在北偏東60度的位置，假若輪船不改變?cè)瓉淼暮较蚶^續(xù)前進(jìn)，會(huì)不會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)？

母題評(píng)析 題目考查的是三角形正余弦定理的應(yīng)用與三角形有關(guān)的綜合問題，也屬于高考的常考題型.

思路方法 依據(jù)題目意思畫出相關(guān)解題圖形，這時(shí)為島所在的位置，亦是該游輪航行前后的位置，故根據(jù)題意判斷需要計(jì)算C點(diǎn)到直線AB的距離CD以此來判斷游輪是否會(huì)觸礁，再利用正弦定理計(jì)算出三角形ABC的中BC的值，然后再通過解直角三角形得到CD.

方法總結(jié)

1.三角形的最值問題針對(duì)三角形中邊的代數(shù)式的最值問題，假若是三角形中最大或最小的邊長(zhǎng)問題，則首先需要根據(jù)三角形的角來判定三角形的三個(gè)邊的關(guān)系，然后利用三角形的正余弦定理進(jìn)行求解，倘若是關(guān)于兩條邊以上齊次代數(shù)式，能夠求得兩邊之和以及其積為常數(shù)，這時(shí)就可以利用基本的不等式來求得最值，可以利用基本不等式求最值，也可以利用三角形的正余弦定理的轉(zhuǎn)化來確定對(duì)應(yīng)的角來計(jì)算三角函數(shù)的最值，一般在解題過程中會(huì)將常用題中的定理?xiàng)l件以及三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)式的最值問題，進(jìn)一步搬用三角形三角函數(shù)的公式套用解決某一范圍內(nèi)的三角函數(shù)問題，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的圖象以及相關(guān)的條件性質(zhì)來解決三角函數(shù)三邊之間的最值問題，解題時(shí)需要注意消除角的范圍和留下角的范圍的確定.

2.三角形中三角函數(shù)的最值問題中，倘若是三角形的某個(gè)角的余弦最值問題，則解題時(shí)常常用余弦定理化邊然后利用基本不等式求最值，如果含有多個(gè)角的三角函數(shù)值問題兼并，一般解題時(shí)會(huì)運(yùn)用題中的條件以及三角形內(nèi)角和定理將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)最值問題，再進(jìn)一步利用三角函數(shù)公式套用解決和最后結(jié)合利用三角函數(shù)的函數(shù)圖象解決最終問題.

高中階段的“解三角形”問題可謂數(shù)學(xué)學(xué)科參考的重點(diǎn)內(nèi)容甚至要點(diǎn)內(nèi)容，歷年以來高考中此方面的題型安排也是年覆一年地出現(xiàn)，這也足以說明了高考對(duì)解三角形問題部分知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容的重視程度，換言之，其應(yīng)該被教師和學(xué)生給予一定程度的重視.

[1] 陳君.解讀高考中的三角函數(shù)綜合題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)， 2011.

[2] 呂振現(xiàn).高考中的“解三角形”[J].中學(xué)生數(shù)理化，2012.