某類(lèi)無(wú)窮維 Hamilton 算子的 Moore-Penrose 可逆性

海國(guó)君,阿拉坦倉(cāng)

(內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

某類(lèi)無(wú)窮維 Hamilton 算子的 Moore-Penrose 可逆性

海國(guó)君,阿拉坦倉(cāng)

(內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

無(wú)窮維 Hamilton 算子;算子矩陣;Moore-Penrose 可逆

1引言

設(shè) X 為無(wú)窮維 Hilbert 空間,B(X) 表示 X 上的所有有界線(xiàn)性算子構(gòu)成的 Banach 空間,若 T ∈ B(X),用 T?,N(T),R(T) 表示算子 T 的共軛算子,零空間與值域空間.如果 T=T?, T 稱(chēng)為自伴算子.若 M 是 X 的線(xiàn)性子空間且 T ∈ B(X),和表示M 的正交補(bǔ)和閉包,和表示T在M 上的限制和M 上的正交投影算子.

對(duì)于 T ∈ B(X),如果存在算子 S ∈ B(X) 滿(mǎn)足下面的四個(gè)算子方程

則 T 稱(chēng)為 Moore-Penrose 可逆,S 稱(chēng)為 T 的 Moore-Penrose 逆,記為 T+.T 是 Moore-Penrose可逆當(dāng)且僅當(dāng) R(T) 為閉的且 T 的 Moore-Penrose 逆是唯一的[1]. 顯然,T 為 Moore-Penrose可逆當(dāng)且僅當(dāng) T?為 Moore-Penrose 逆.

1920 年,Moore 首先提出了廣義逆矩陣,但沒(méi)有引起人們的注意. 直到 1955 年,Penrose以矩陣方程的形式給出了 Moore 廣義逆矩陣的定義后, 廣義逆矩陣的研究才得到發(fā)展. Hilbert 空間中線(xiàn)性算子的 Moore-Penrose 逆是矩陣 Moore-Penrose 逆的推廣. 我們知道,線(xiàn)性算子的 Moore-Penrose 可逆性在眾多領(lǐng)域, 如矩陣?yán)碚?統(tǒng)計(jì)理論等, 有著重要的應(yīng)用. 對(duì)于有限維空間中的線(xiàn)性算子 (矩陣), 其 Moore-Penrose 可逆性在許多文章中討論過(guò) (見(jiàn)文 [2, 3] 及其中的參考文獻(xiàn)). 對(duì)于無(wú)窮維 Hilbert 空間中的線(xiàn)性算 子, 特別是算子矩陣而言, 其譜性質(zhì)的研究吸引了很多學(xué)者 (見(jiàn)文 [4,5] 及其參考文獻(xiàn)), 但有關(guān) Moore-Penrose 可逆性的討論還比較少. 無(wú)窮維 Hamilton 算子是具有特殊結(jié)構(gòu)的算子矩陣, 因而具備了很多不同于一般算子矩陣的性質(zhì). 所以, 本文的目的是利用無(wú)窮維 Hamilton 算子的結(jié)構(gòu)特性給出其Moore-Penrose 可逆的等價(jià)條件.

2預(yù)備知識(shí)

先給出無(wú)窮維 Hamilton 算子定義.?!

定義2.1設(shè) X 是 Hilbert 空間,H=A C∈ B(X ⊕ X). 如果 B 和 C 為自伴B ?A?算子,則 H 稱(chēng)為無(wú)窮維 Hamilton 算子.

下面回顧線(xiàn)性算子理論中的一些基本知識(shí). 設(shè) T ∈ B(X),稱(chēng)

為 T 的約化極小模. 眾所周知,γ(T) ＞ 0 當(dāng)且僅當(dāng) R(T) 為閉[4].引理2.1[6]設(shè) X 和 Y 為 Hilbert 空 間, 如 果 T ∈ B(X ⊕ Y) 具 有 矩 陣 形 式 T=并且 A 的值域在 X 中稠密,B/=0, 則 γ(T) ≤ γ(B).

利用引理 2.1,容易得出下面的推論.

推論2.1設(shè) X 和 Y為 Hilbert 空間,A ∈ B(X),B ∈ B(Y) 和 C ∈ B(Y,X) 為給定的算子且如果 閉,則 R(B) 也閉.

引理2.2[7]設(shè) Y 和 Z 為 Banach 空間,T ∈ B(Y,Z),F ? Z 是有限維子空間. 如果R(T)+F 是閉的,那么 R(T) 也是閉的.反之亦然.

3主要結(jié)果

定理3.1設(shè) 是 X ⊕ X 上的有界上三角無(wú)窮維 Hamilton 算子. 如果 C 作為上的算子具有下面的矩陣形式

則下面條件等價(jià):

(i)H 為 M?oore-Penrose! 可逆;

(iii)R(C1) 和 R(C2?|N(C1))+R(A) 均為閉子空間.

證(i)?(ii) 無(wú)窮維 Hamilton 算子 H 在空間分解下具有矩陣形式

由于

且

為 R(A)⊥⊕R(A) ⊕ X 上的可逆算子, 因此 H 為 Moore-Penrose 可逆當(dāng)且僅當(dāng)

是 Moore-Penrose 可逆的. 由推論 2.1,H1為 Moore-Penrose 可逆.

(ii)?(i) 假設(shè)

即

則根據(jù) (3.1) 式有

所以

由 H1的 Moore-Penrose 可逆性,H1?也 Moore-Penrose 可逆, 結(jié)合可知存在使得

令 y0=y(1)0+y(2)0,于是

即 H 的值域?yàn)殚]的. 因此,H 為 Moore-Penrose 可逆.

(ii)?(iii) 假設(shè) H1為 Moore-Penrose 可逆.因此 H1?也是 Moore-Penrose 可逆.利用推論

使得

(3.2) 式與 H1?的 Moore-Penrose 可逆性即可得出 R(A1)+R(C2?1)=R(A)+R(C2?|N(C1)) 閉.

(iii)?(ii) 因?yàn)?C1為 Moore-Penrose 可逆, 即 R(C1) 閉, 因此 (3.2) 式成立. 由條件 (iii)可知 (3.2) 式右端算子的值域閉, 從而 H1?的值域閉, 即 H1是 Moore-Penrose 可逆. 證畢.

由定理 3.1 可得 ?!

推論3.1設(shè)是 X ⊕ X 上的有界上三角無(wú)窮維 Hamilton 算子且R(A)⊥是有限維的,則 H 為 Moore-Penrose 可逆當(dāng)且僅當(dāng) A 是 Moore-Penrose 可逆的.

證算子 H 具有矩陣形式 (3.1) 并且 R(A)⊥是有限維的,因此 (3.1) 式中的 C1是有限秩算子, 進(jìn) 而 R(C1) 閉. 顯然 R(C2?|N(C1)) 是 有限 維空間. 因 此, 利 用引 理 2.2 和 定理 3.1 可得H 為 Moore-Penrose 可逆當(dāng)且僅當(dāng) R(A)+R(C2?|N(C1)) 閉, 即 R(A) 閉.

注1定理 3.1 是上三角無(wú)窮維 Hamilton 算子特有的性質(zhì), 對(duì)一般的上三角算子矩陣未必成立 (見(jiàn)例 1 和例 2).

假設(shè) X= ?2,并且用 ei表示 ?2中的第 i 個(gè)分量為 1,其他分量為 0 的元素.

例1任意的 x=(x1,x2,···)∈ ?2,定義算子 A ∈ B(?2),B ∈ B(?2),C ∈ B(?2) 為

易證 C=C?,R(A) 不閉,R(B) 閉且 N(B)=R(A)⊥=span{e1,e2}.現(xiàn)在考慮算子矩陣

顯然的值域閉,即 T1為 Moore-Penrose 可逆,定理 3.1 的條件 (ii) 成立.

另一方面, 因?yàn)?R(A1)=R(A) 不閉, 因此由 (3.3) 式容易看出 R(T) 不閉, 即 T 不是Moore-Penrose 可逆.

例2定義算子 A ∈ B(?2),C ∈ B(?2) 為

其中 x=(x1,x2,···)∈ ?2.

不難發(fā)現(xiàn)的值域閉,滿(mǎn)足定理 3.1 的條件 (ii).

另一 方 面, 容 易證明 R(A)=R(A1) 不閉, 由 (3.4) 式 可看出 S 的值域 不閉,S 不是Moore-Penrose 可逆.

注2顯然, 例 1 和例 2 中的算子 T 和 S 不是上三角無(wú)窮維 Hamilton 算子,所以定理3.1 不成立. ?例3算!子 A ∈ B(?2),C ∈ B(?2) 取 為例 1 中的算子, 則 C 為自伴算 子, 因此 H=為上三角無(wú)窮維 Hamilton 算子. 顯然

的值域不閉, 即 H1不是 Moore-Penrose 可逆的. 由定理 3.1,H 不是 Moore-Penrose 可逆的.

下面討論更一般的情形.

定理3.2設(shè)是 X ⊕ X 上的有界無(wú)窮維 Hamilton 算子, 其中 C 為

Moore-Penrose 可逆. 則下面兩個(gè)條件等價(jià):

(ii)X ⊕ X 上的無(wú)窮維 Hamilton 算子 為 Moore-Penrose 可逆,其中 A′在空間分解 X ?→ N(C)⊕ N(C)⊥下具有如下形式

并且 A1=PN(C)A:X ?→ N(C),A2=PN(C)⊥A:X ?→ N(C)⊥,C1=PN(C)⊥C|N(C)⊥: N(C)⊥?→ N(C)⊥.

證由于 C 是 Moore-Penrose 可逆的自伴算子, 于是 N(C)⊥=R(C), 因此無(wú)窮維Hamilton 算子 H 在空間分解 X ⊕ N(C)⊕ N(C)⊥?→ N(C) ⊕ N(C)⊥⊕ X 下具有如下算子矩陣形式

顯然,C1是可逆的自伴算子.此時(shí)存在 N(C)⊕ N(C)⊥⊕ X 上的可逆算子

與 X ⊕ N(C)⊕ N(C)⊥上的可逆算子

使得

故 H 為 Moore-Penrose 可逆當(dāng)且僅當(dāng)

其 次,由 于 C1是 自 伴 算 子,于 是 C1?1也 是 自?伴 算 子!,再 注 意 到 B 的 自 伴 性 即 可得 知 B ? A?2C1?1A2為 自 伴 算 子. 此 外, 記那 么, 故:也是無(wú)窮維 Hamilton 算子.證畢.

注3定理 3.2 說(shuō)明了無(wú)窮維 Hamilton 算子 H 中的元素算子 C 為 Moore-Penrose 可逆,那么其 Moore-Penrose 可逆性化為三角無(wú)窮維 Hamilton 算子的 Moore-Penrose 可逆性.

[1]Du H K,Deng C Y.The representation and characterization of Drazin inverse of operators on a Hilbert space[J].Linear Algebra Appl.,2005,407:117–124.

[2] 章里程, 廖祖華. 分塊算子矩陣的 Moore-Penrose 逆 [J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2005,35(8):168–172.

[3]Shao J Y,He J L.Matrices with doubly signed generalized inverse[J].Linear Algebra Appl.,2002, 355(1):71–84.

[4] 王玉紅, 侯國(guó)林, 阿拉坦倉(cāng). 一類(lèi)上三角算子矩陣的點(diǎn)譜和剩余譜 [J]. 數(shù)學(xué)雜志,2014,34:931–940.

[5]Dong Z Q,Cao X H,Zhao H Y.The helton class operators and the single valued extension property[J].J.Math.,2014,34:1033–1043.

[6]Apostol C.The reduced minimum modulus[J].Michigan Math.J.,1985,32:279–294.

[7]M¨uller V.Spectraltheory of linear operators and spectralsystems in Banach algebra[M].New York: Springer-Verlag,1995.

MOORE-PENROSE INVERTIBILITY FOR SOME CLASS OF INFINITE DIMENSIONAL HAMILTONIAN OPERATORS

HAI Guo-jun,Alatancang
(School of Mathematical Sciences,Inner Mongolia University,Hohhot 010021,China)

Let X be an infi nite dimensional Hilbert space,we deno?te by H the! bounded infi nite dimensional Hamiltonian operator acting on X ⊕ X of the form,where B and C are self-adjoint operators.In this paper,we consider the Moore-Penrose invertibility of the infi nite dimensional Hamiltonian operator.In the case when B=0 or C is Moore-Penrose invertible,by using space decomposition method,the equivalent conditions for H is Moore-Penrose invertible are given.Furthermore,some examples that illustrate the eff ectiveness of our results are given.

infi nite dimensional Hamilton operator;operator matrices;Moore-Penrose invertibility

tion:47A10;47B99

7A10;47B99

O177.1

A

0255-7797(2017)02-0358-07

2014-12-07 接收日期:2015-04-08

國(guó) 家自然科 學(xué) 基 金資助 (11371185;11362011); 內(nèi)蒙古自 然 科學(xué)基金重 大 項(xiàng)目資助(2013ZD01); 內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金 (2015MS0117).

海國(guó)君 (1983–), 男, 蒙古族, 內(nèi)蒙古通遼, 副教授, 主要研究方向:算子理論.