分母含有平方因子的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)

張來(lái)萍, 陳艷麗, 及萬(wàn)會(huì)

(銀川能源學(xué)院 基礎(chǔ)部，寧夏 銀川 750105)

分母含有平方因子的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)

張來(lái)萍, 陳艷麗, 及萬(wàn)會(huì)

(銀川能源學(xué)院 基礎(chǔ)部，寧夏 銀川 750105)

根據(jù)一個(gè)已知級(jí)數(shù)，使用積分裂項(xiàng)方法得到分母含1個(gè)平方因子的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)和平方因子與1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)的1次因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)．所給出二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)的和式是函數(shù)形式，并給出分母含有平方因子的二項(xiàng)式系數(shù)數(shù)值級(jí)數(shù)恒等式．

二項(xiàng)式系數(shù)；平方因子；積分裂項(xiàng)；級(jí)數(shù)

二項(xiàng)式系數(shù)在數(shù)論、圖論、統(tǒng)計(jì)和概率等數(shù)學(xué)分支中扮演重要角色．二項(xiàng)式系數(shù)變換問(wèn)題是組合求和中比較難的課題，是組合數(shù)學(xué)、解析數(shù)學(xué)等學(xué)科研究領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容，引起了許多組合專(zhuān)家的注意，用各種數(shù)學(xué)工具得到一系列二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)重要結(jié)果[1-5]，給出一些分母含平方因子的數(shù)值級(jí)數(shù)如

等．文獻(xiàn)[6-9]給出多個(gè)因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)．筆者使用裂項(xiàng)法給出分母為奇因子的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)，然后以此為基礎(chǔ)，用積分-裂項(xiàng)法給出分母含1個(gè)平方因子以及平方因子與1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)．利用反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)關(guān)系給出分母為平方因子的交錯(cuò)二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)．最后給出分母含有平方因子的二項(xiàng)式系數(shù)數(shù)值級(jí)數(shù)恒等式．因此，利用已知級(jí)數(shù)使用裂項(xiàng)的方法研究二項(xiàng)式系數(shù)變換是組合分析的新方法，也是產(chǎn)生新級(jí)數(shù)的一個(gè)初等研究方法．

引理2 分母含有1個(gè)因子的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)為

(B1)

(B2)

(B3)

(B4)

(B5)

定理1 分母為奇因子二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1)分母為1個(gè)平方因子的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)有

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2)分母平方因子與1個(gè)因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)有

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

3) 分母平方因子與2個(gè)因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)有

(17)

(18)

(19)

(20)

4) 分母平方因子與3個(gè)因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)有

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

5)分母平方因子與4個(gè)因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)有

(26)

2) 對(duì)(1)式繼續(xù)裂項(xiàng)

令n-2=m，

由于B1，B2已知，整理得到(2)式．

3)對(duì)(1) 式繼續(xù)裂項(xiàng)

令n-3=m,得

由于B1，B2,B3已知，整理得到 (3) 式．

4) 對(duì)(1) 式繼續(xù)裂項(xiàng)

令n-4=m，

將分式化成部分分式

由于B1，B2,B3,B4已知，整理得到(5)式，定理1證畢．

定理2證明

兩端對(duì)x積分

左端分式化成部分分式

由引理2的B1式和(1)式，整理得到(6)式，

(27)

將(27)式分式分解為部分分式，并將引理2中已知的B1，B2代入，得到(7)式，令其為F2，

由(27)式和F2，整理得到平方因子與1個(gè)因子乘積計(jì)算公式(11)．

對(duì)(6)式左端繼續(xù)裂項(xiàng)

令n-2=m，化成

(28)

將所有式分解為部分分式，將引理2已知的B1，B2，B3代入得到(8)式，令其為F3，

(8)

(28)式保留2個(gè)因子分式，其他分式化成部分分式，對(duì)這2個(gè)因子分式每次保留一個(gè)，其余化成部分分式得到

由引理2的B1，B2，B3已知且F3已知，計(jì)算可得到(12) 、(13)式．

(28)式保留3個(gè)因子分式，其他分式化成部分分式,得到

由引理2的B1，B2，B3已知且F3已知，可得到(17)式．

對(duì)(6)式左端繼續(xù)裂項(xiàng)

令n-3=m，

(29)

將(29)式所有分式分解成部分分式

即

由引理2的B1，B2，B3，B4已知,將其代入并整理得到(9)式，并令其為F4，

在(29)式保留2個(gè)因子分式，然后對(duì)這些2個(gè)因子的分式，每次保留1個(gè)，其余化成部分分式，得到

由引理2的B1，B2，B3，B4已知和F4已知，得到(14) ～(16)式．

在(29)式保留3個(gè)因子分式，然后對(duì)這些3個(gè)因子的分式，每次保留1個(gè)，其余化成部分分式，得到

由引理2的B1，B2，B3，B4已知和F4已知，得到(18)～ (20)式．

在(29)式保留4個(gè)因子分式，其他分式化成部分分式得到

由引理2的B1，B2，B3，B4已知和F4已知，計(jì)算得到(21)式．

對(duì)(1)式左端繼續(xù)裂項(xiàng)

令n-4=m，

得

(30)

在(30)式可以產(chǎn)生平方因子1個(gè)．平方因子與1個(gè)因子相乘的公式4個(gè)，平方因子與2個(gè)因子相乘的公式6個(gè)．平方因子與3個(gè)因子相乘的公式4個(gè)，平方因子與4個(gè)因子相乘的公式1個(gè)．為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，這里只求出1個(gè)平方因子，平方因子與3個(gè)因子相乘及平方因子與4個(gè)因子相乘的公式．

將(30)式分解成部分分式，得到

由引理2的B1，B2，B3，B4,B5已知,代入并整理得到(10)式，令其為F5，

(30)式保留4個(gè)因子分式，其他分式化成部分分式，對(duì)這4個(gè)因子分式每次保留一個(gè)，其余化成部分分式得到

由引理2的B1，B2，B3，B4，B5和F5已知，可得(22) ～ (25)式．

(30)式保留5個(gè)因子分式，其他分式化成部分分式得到

由引理2的B1，B2，B3，B4，B5和F5已知計(jì)算等式得到(26)式．定理2證畢．

由已知級(jí)數(shù)用積分-裂項(xiàng)的方法，得到分母含1個(gè)平方因子以及平方因子與1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)的1次因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)．如果繼續(xù)使用積分-裂項(xiàng)的方法，可以得到平方因子與p個(gè)1次因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)的二項(xiàng)式系數(shù)級(jí)數(shù)．所給出的級(jí)數(shù)表達(dá)式是函數(shù)形式．若給出自變量x的一些數(shù)，代入級(jí)數(shù)表達(dá)式可得到許多不同的分母為平方因子的數(shù)值級(jí)數(shù)恒等式．

[1] LEHMER D H．Interesting series involving the central binomial coefficients[J]．Amer Math Monthly，1985 (92)：449-457．

[2] SURY B，WANG TIANNING ，ZHAO FENG ZHEN．Some identities involving of binomial coefficients[J]．Integer Sequences，2004 (7)：2-8．

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[8] 及萬(wàn)會(huì)，張來(lái)萍．關(guān)于正負(fù)相間二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)[J]．理論數(shù)學(xué)，2012,2(4)：192-201．

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[10]GRADSHTEYN I S，ZYZHK I M．A Table of Integral，Series and Products[M]．Amsterdam：Elsevier，2007：54-61．

Series of Binomial Coefficients of Denominator Containing Square Factors

ZHANG Laiping， CHEN Yanli， JI Wanhui

(DepartmentofBasic,YinchuanEnergyCollege,Yinchuan750105,China)

Using one known series we can structure several new series of binominal coefficients and alternating series of binominal coefficients by integral-splitting items. Their denominator factor has a square, and square factor and 1, 2, 3 product of each factor. And some series of numbers values of binominal coefficients of denominator containing square factors are given.

binomial coefficients； squarer factor； integral-split terms； series

2016-09-18

寧夏自然科學(xué)基金項(xiàng)目(NZ12208)；銀川能源學(xué)院科研基金項(xiàng)目(2015-KY-Y-49)

張來(lái)萍(1979—),女，寧夏彭陽(yáng)人，銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部副教授，主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)．通信作者:及萬(wàn)會(huì)(1942—)，男，河北泊頭人，銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部教授，主要研究方向：數(shù)論．

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.01.003

O174.5

A

1007-0834(2017)01-0009-10