導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中的應(yīng)用

趙捷

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)的引入大大豐富了高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，給許多常規(guī)問題的解法提供了新的視野. 在圓錐曲線問題的求解中引入導(dǎo)數(shù)，可以在一定程度上開拓思路，尤其是求圓錐曲線中的切線、中點(diǎn)弦、最值問題. 本文通過舉例來說明導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中的一些應(yīng)用.

導(dǎo)數(shù)在切線問題中的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把二次曲線看作“[y]是[x]的函數(shù)”，并利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可以輕松求出切線的斜率.

例1 已知拋物線[C：x2=4y.]

（1）求過點(diǎn)[P（0，-4）]的拋物線[C]的切線方程；

（2）求點(diǎn)[Q（2，1）]處的切線方程.

解析 （1）設(shè)切點(diǎn)[Q（x0，x204）]，由[y=x2]可知，拋物線在[P]點(diǎn)處的斜率[yx=x0=x02]，

故所求的切線方程為[y-x204=x02（x-x0）].

因?yàn)辄c(diǎn)[P（0，-4）]在切線上，從而滿足切線方程，

代入化簡(jiǎn)可得，[x0=±4].

所求切線方程為：[y=±2x-4].

（2）由（1）知，點(diǎn)[Q]處的斜率[k=yx=2=1].

又點(diǎn)[Q]在切線上，

所以切線方程為：[x-y-1=0].

例2 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)[F（0，2）]，且與直線[l：y=-2]相切，若[AB]是動(dòng)圓圓心的軌跡[C]上的動(dòng)弦，且[AB]過點(diǎn)[F（0，2）]，分別以[AB]為切點(diǎn)作軌跡[C]的切線，設(shè)兩切線的交點(diǎn)為[Q]. 證明：[AQ⊥BQ].

證明 設(shè)圓心[C]的坐標(biāo)為[（x，y）]，

依題意得，[CF=y+2]，

代入坐標(biāo)得，[x2+（y-2）2=y+2]，

化簡(jiǎn)得，圓心[C]的軌跡方程為[x2=8y].（也可以根據(jù)拋物線的定義直接得出標(biāo)準(zhǔn)方程.）

設(shè)[AB]所在直線方程為：[y=kx+2]，[A，B]點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[A（x1，y1），B（x2，y2）]，

聯(lián)立方程組[y=kx+2，x2=8y]解得，[x2-8kx-16=0].

由根與系數(shù)關(guān)系可得，[x1x2=-16].

將[x2=8y]化為[y=18x2]，求導(dǎo)得，[y=14x].

則[AQ]的斜率[kAQ=yx=x1=14x1]，

[BQ]的斜率[kBQ=yx=x2=14x2].

所以[kAQ?kBQ=14x1.14x2=-1].

所以[AQ⊥BQ].

導(dǎo)數(shù)在中點(diǎn)弦問題中的應(yīng)用

對(duì)二次曲線方程兩邊求導(dǎo)，解出[yx]，令[k=yx]，可求解中點(diǎn)弦相關(guān)問題.

例3 點(diǎn)[P（2，2）]是曲線[x2+4y2-2x-12y+6=0]的一條弦的中點(diǎn)，求這條弦所在直線的方程.

解析 對(duì)方程[x2+4y2-2x-12y+6=0]兩邊求導(dǎo)得，

[x+4yyx-1-6yx=0].

化簡(jiǎn)得，斜率[k=yx=x-16-4y].

因?yàn)辄c(diǎn)[P（2，2）]在弦上，則[k=yx=-12].

代入直線方程的點(diǎn)斜式并化簡(jiǎn)可得，中點(diǎn)弦直線方程為：[x+2y-6=0].（也可以用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦方程.）

例4 已知曲線[C：x2-y22=1]，過點(diǎn)[P（2，1）]的直線[l]與曲線[C]交于點(diǎn)[P1，P2]，求線段[P1，P2]的中點(diǎn)[M]的軌跡方程.

解析 設(shè)[l]的方程為[y-1=k（x-2）]，[M（x0，y0）]是[P1，P2]的中點(diǎn)，

則[y0-1=k（x0-2）（*）].

對(duì)方程[x2-y22=1]兩邊求導(dǎo)得，[2x-yyx=0].

于是[2x0-y0yx=x0=0].

從而[k=yx=x0=2x0y0].

代入[（*）]得，[2x20-y20-4x0+y0=0].

即所求的軌跡方程為[2x2-y2-4x+y=0].

導(dǎo)數(shù)在求最值問題中的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，可以求解相關(guān)弦長(zhǎng)、距離的最值以及離心率取值范圍等問題.

例5 已知點(diǎn)[P]是拋物線[y=12x22]上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面上定點(diǎn)[M（4，1）]，求[PM]的最小值.

解析 設(shè)點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[（x，y）]，

[PM=（x-4）2+（y-1）2=x2-8x+16+14x4-x2+1=14x4-8x+17.]

令[t=14x4-8x+17]，

則[t=x3-8=（x-2）（x+1）2+3.]

當(dāng)[x=2]時(shí)，[t=0].

當(dāng)[x∈（-∞，2）]時(shí)，[t<0]；當(dāng)[x∈（2，+∞）]時(shí)，[t>0].

所以當(dāng)[x=2]時(shí)，[t=14x4-8x+17]取得最小值為5.

所以[PM]的最小值為[5].

例6 已知[c]是雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的半焦距，求[b-ca]的取值范圍.

解析 由雙曲線的性質(zhì)可知，

[b-ca=c2-a2-ca=e2-1-e].

令[f（e）=e2-1-e]，

則[f（e）=ee2-1-1].

因?yàn)殡x心率[e>1]，所以[f（e）>0.]

所以函數(shù)[f（e）=e2-1-e]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增.

則[f（e）=e2-1-e>-1].

又[e2-1

所以[b-ca]的取值范圍為[（-1，0）].