導(dǎo)數(shù)的概念及其運算

沈輝　管秀娟

導(dǎo)數(shù)進入高中數(shù)學教材后，作為分析解決問題的一個重要工具，給函數(shù)問題注入了生機和活力，開辟了解題的新視覺、新途徑和新方法，拓寬了高考對函數(shù)問題的命題空間. 其中，利用導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及其運算法則解決相關(guān)問題，已成為高考命題中的重要考點. 然而，在平時的學習中，由于這部分內(nèi)容比較基礎(chǔ)、簡單，同學們往往對其相關(guān)概念及運算法則不太重視，與之相關(guān)的錯誤時有發(fā)生. 下面就導(dǎo)數(shù)的概念及其運算的?？碱}型做一些歸納和探討，以供借鑒.

利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例1 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)[f（x）=1x+2]的導(dǎo)數(shù).

解析 因為Δy=f（x+Δx）-f（x）

=[1x+Δx+2-1x+2=][-Δx（x+Δx+2）（x+2）]，

所以[ΔyΔx]=[-Δx（x+Δx+2）（x+2）Δx]

=[-1（x+Δx+2）（x+2）].

所以y′=[limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01（x+Δx+2）（x+2）]

=[-1（x+2）2].

點評 利用定義法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，要緊扣導(dǎo)數(shù)的定義，分三個步驟求解. 即一差，求函數(shù)的改變量[Δy=f（x+Δx）-f（x）]；二比，求平均變化率[ΔyΔx=f（x+Δx）-f（x）Δx]；三極限，取極限，得導(dǎo)數(shù)[y′=f（x）=limΔx→0ΔyΔx]. 這種求解方法可簡記為“一差、二比、三極限”. 當然，后面學習的導(dǎo)數(shù)公式及運算法則比用導(dǎo)數(shù)公式法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)更簡潔.

利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

例2 已知函數(shù)f（x）在[x0]處的導(dǎo)數(shù)為[23]，求[limΔx→0f（x0+3Δx）-f（x0）Δx]的值.

解析 因為[limΔx→0][f（x0+3Δx）-f（x0）Δx]

=[limΔx→0][[3?f（x0+3Δx）-f（x0）3Δx]]

=[3limΔx→0][[f（x0+3Δx）-f（x0）3Δx]]

=3[f（x0）]，

又函數(shù)f（x）在[x0]處的導(dǎo)數(shù)為[23]，

所以[limΔx→0f（x0+3Δx）-f（x0）Δx=3×23=2.]

點評 任何模塊的知識都是以基本的定義作為基礎(chǔ)的，導(dǎo)數(shù)的定義也不例外. 本題中所求的極限與導(dǎo)數(shù)的定義式極為相似，故可以考慮利用導(dǎo)數(shù)的定義進行求解. 這里解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握定義的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵和外延，對所求極限的表達式進行恰當?shù)刈冃?，將其配湊成[f（x0）]=[limΔx→0][f（x0+Δx）-f（x0）Δx]或[f（x0）]=[limΔx→0][f（x）-f（x0）x-x0]的形式.

利用導(dǎo)數(shù)的定義求瞬時速度

例3 已知一物體運動方程為（位移：m，時間：s）：[s=3t2+2， t≥3，29+3（t-3）2，0≤t<3.]

求：（1） 物體在t∈[3，5]內(nèi)的平均速度；

（2）物體的初速度[v0]；

（3）物體在t=1時的瞬時速度.

解析 （1）因為物體在t∈[3，5]內(nèi)的時間變化量為

[Δt=5-3=2]，

物體在t∈[3，5]內(nèi)的位移變化量為

Δs=3×25+2-（3×9+2）=48.

∴物體在t∈[3，5]內(nèi)的平均速度為

[ΔsΔt=482=24m/s].

（2）求物體的初速度[v0]，即求物體在t=0時的瞬時速度.

∵物體在t=0附近的平均變化率為

[ΔsΔt]=[f（0+Δx）-f（0）Δx]

=[29+3（0+Δx-3）2-29-3（0-3）2Δx]

=[3Δt-18]，

∴物體在t=0處的瞬時變化率為

[limΔt→0][ΔsΔt]=[limΔt→0][（3Δt-18）]=-18m/s，

即物體的初速度[v0]為-18m/s.

（3）物體在t=1時的瞬時速度即為函數(shù)在t=1處的瞬時變化率.

∵物體在t=1附近的平均速度為

[ΔsΔt]=[29+3（1+Δx-3）2-29-3（1-3）2Δx]=[3Δt-12]，

∴物體在t=1處的瞬時速度為

[limΔt→0][ΔsΔt]=[limΔt→0][（3Δt-12）]=-12m/s，

∴物體在t=1處的瞬時速度為-12m/s.

點評 定義是反映事物本質(zhì)屬性的最基本的思維形式，本題是運用導(dǎo)數(shù)的定義解決物理問題的典型例題. 物體在某一時刻附近的平均速度[v]（即平均變化率），當時間改變量[Δt]趨向于0時的極限值，即為瞬時速度，也就是位移對時間的導(dǎo)數(shù)，這是導(dǎo)數(shù)定義的物理意義. 另外也要注意到速度對時間的導(dǎo)數(shù)，即為加速度，這是導(dǎo)數(shù)定義的另一物理意義. 因此，學科間知識的融合應(yīng)引起我們足夠的重視.

利用導(dǎo)數(shù)公式及運算法則求導(dǎo)數(shù)

例4 已知f1（x）=sinx+cosx，記f2（x）=[f1（x）]， f3（x）=[f2（x）]，…，fn（x）=[fn-1（x）]，n∈N*，n≥2，求[f1（π2）]+f2[（π2）]+…+f2016[（π2）]+f2017[（π2）]的值.

解析 由題意得，f2（x）=f1′（x）=cosx-sinx，

f3（x）=（cos x-sin x）′=-sinx-cosx，

f4（x）=（-sin x-cos x）′=-cos x+sin x，

f5（x）=sinx+cos x，

f6（x）=cosx-sinx，

…

以此類推，可得出fn（x）=fn+4（x）.

又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）

=2sinx+2cosx-2sinx-2cosx=0，

∴f1[（π2）]+f2[（π2）]+…+f2016[（π2）]+f2017[（π2）]

=504[f1[（π2）]+f2[（π2）]+f3[（π2）]+f4[（π2）]]+f1[（π2）]

=f1[（π2）]=sin[π2]+cos[π2]=1.

點評 利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運算法則求導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)根據(jù)所給函數(shù)的特征，準確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運算的形式，再恰當選擇公式并利用運算法則求解. 對不具備求導(dǎo)法則的結(jié)構(gòu)形式要適當恒等變形，轉(zhuǎn)化為易于求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù). 最近幾年對導(dǎo)數(shù)運算的考查大都以小題形式出現(xiàn)，且往往與其他知識點交匯. 求導(dǎo)、列舉、找規(guī)律是解決這一類問題的常見思路.

逆用導(dǎo)數(shù)的運算法則解題

例5 設(shè)函數(shù)[f（x）]，[g（x）]分別是定義在[R]上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當[x<]0時，[f（x）g（x）+][f（x）g（x）>0]，且[g（-3）=0]， 求不等式[f（x）g（x）<0]的解集.

解析 由[f（x）g（x）+f（x）g（x）>0]得，

[[f（x）g（x）]′]>0.

令[F（x）=f（x）g（x）]，

則[F（x）]在[（-∞，0）]上是單調(diào)函數(shù).

又因為函數(shù)[f（x）]，[g（x）]分別是定義在[R]上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

所以[F（x）]是奇函數(shù).

故[F（-3）=-F（3）=][-f（3）g（3）=0].

結(jié)合[F（x）]的草圖可得，不等式[f（x）g（x）]<0的解集為[xx<-3，或0

點評 在利用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)時，不僅要注意導(dǎo)數(shù)運算公式和法則的靈活運用，還要特別注意導(dǎo)數(shù)運算法則的逆用. 因為這不僅能使我們進一步鞏固對運算法則的理解，而且還能培養(yǎng)發(fā)散思維. 本題解題的關(guān)鍵在于：對已知條件的深入挖掘，可聯(lián)想到逆用乘法運算法則得到[f（x）g（x）+][f（x）g（x）]=[[f（x）g（x）]]，進而利用構(gòu)造法解題. 當然，還應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題中的特殊作用.

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率

例6 已知曲線y=f（x）=[13x3+43].

（1）求曲線y=f（x）在點[P]（2，4）處的切線方程；

（2）求曲線y=f（x）過點[P]（2，4）的切線方程；

（3）求滿足斜率為1的曲線的切線方程.

解析 （1）由y=f（x）=[13x3+43]得，[f（x）]=[x2].

又由題意知，[P]（2，4）為切點，

[∴]曲線y=f（x）在點[P]（2，4）處的切線的斜率k=[f（2）=4].

故曲線y=f（x）在點[P]（2，4）處的切線方程切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0.

（2）由題意知，[P]（2，4）在曲線上，但點[P]可能是切點，也可能不是切點.

可設(shè)曲線y=f（x）=[13x3+43]與過點[P]（2，4）的切線相切于點A（[x0，13x03+43]），

則切線的斜率k=[f（x0）=x02].

[∴]曲線y=f（x）過點[P]（2，4）的切線方程為[y-（13x03+43）=x02（x-x0）]，即[y=x02x-23x03+34]（*）.

又點[P]（2，4）在切線上，

[∴][4=2x02-23x03+34]，

即[x03-3x02+4=0.]

[∴x03+x02-4x02+4=0.]

[∴x02（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0.]

[∴（x0+1）（x0-2）2=0].

解得，[x0=-1]，或[x0=2].

將[x0]代入式（*）中得，y=4x-4，或y=x+2，

即所求切線方程為4x-y-4=0，或x-y+2=0.

（3）設(shè)切點為B（[x1，y1]），

故切線的斜率k=[f（x1）=x12]=1，解得，[x1=±1].

故切點為[（1，53）]，[（-1，1）].

故所求切線方程為[y-53=x-1]，或[y-1=x+1]，

即3x-3y+2=0，或x-y+2=0.

點評 一般地，對于求過定點[P]的曲線的切線方程問題，求解時應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，解題的關(guān)鍵是要弄清題目中的定點[P]是不是切點. 這里特別需要注意的是“曲線在點[P]處的切線”不等價于“曲線過點[P]的切線”. “曲線在點[P]處的切線”是指過點[P]且以[P]為切點的切線，從而[P]必須在曲線上；而“曲線過點[P]的切線”則不一定以[P]為切點，點[P]也不一定在曲線上. 當點[P]在曲線上時，點[P]可以是切點，也可以不是切點；當點[P]不在曲線上時，點[P]不可能是切點，此時一般利用本題中第（2）問的求解方法，設(shè)出切點并利用方程思想求解.

從以上幾個例題可以看出，導(dǎo)數(shù)的定義及其運算在數(shù)學解題中的應(yīng)用是十分廣泛的. 因此，我們在平常的學習過程中一定要加強對導(dǎo)數(shù)的定義及其運算法則的學習， 注重對導(dǎo)數(shù)的定義及其運算法則、幾何意義的理解， 真正做到融會貫通.