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    “3的倍數(shù)的特征”的教材比較研究

    2017-04-12 18:14:29朱軍
    教學月刊·小學數(shù)學 2017年3期
    關(guān)鍵詞:舊版個位計數(shù)器

    朱軍

    【摘 要】“3的倍數(shù)的特征”是一節(jié)探索發(fā)現(xiàn)類的課,學生在探索規(guī)律的過程中,發(fā)展思維,提升能力。本文研究了五個不同版本的教材,就這個知識點的學習年級的安排、學習材料的選擇以及與“2、5的倍數(shù)的特征”的聯(lián)系這幾個角度進行了對比分析。各版本教材的編者對學生學習“3的倍數(shù)的特征”有相似的理解,也有不同的處理。對教材的對比研究,可以使教師更好地理解教材,促進其教學行為的改進。

    【關(guān)鍵詞】3的倍數(shù)的特征 教材對比

    我國在2001年頒布了《數(shù)學課程標準》(實驗稿),經(jīng)過幾年的實踐下來,課標也進行了修訂,于2011年頒布了新的課標。在這兩個課標的指導下,各教材也進行了相應的調(diào)整?!?的倍數(shù)的特征”在某些教材中,前后是有一些變化的,主要表現(xiàn)為以下幾個方面:年級的安排、材料的選擇及細節(jié)處理、課后拓展的知識或問題的設置。下面筆者來談談具體的變化,以及為什么會有這些變化。

    一、學生在哪個年級學習“3的倍數(shù)的特征”比較合適

    在不同版本的教材中,對“3的倍數(shù)的特征”這一內(nèi)容的教學時間并不統(tǒng)一,分別安排在四下、五上、五下這三個學期。而兩個課標頒布以后,也有個別版本調(diào)整了學習的年級,具體見下表。

    北師大版、青島版、人教版有微調(diào),變化最大的是蘇教版,原來安排在四下,現(xiàn)在改為五下。多數(shù)教材把這個內(nèi)容安排在五年級學習,這是出于怎樣的考慮?

    從知識內(nèi)在邏輯的角度來看,“3的倍數(shù)的特征”為“因數(shù)和倍數(shù)”單元的一個內(nèi)容,既是自然數(shù)知識的深化,又是接下來要學習的分數(shù)單元的重要基礎。

    另一方面,從學習者的認知規(guī)律來看,這個內(nèi)容的重點是對一個數(shù)學規(guī)律的探索(北師大版里這個內(nèi)容的標題前加上了“探索活動”幾個字),需要學習者具有一定的數(shù)學學習水平及邏輯分析能力,五年級是學生發(fā)展抽象邏輯思維能力的起步階段,放在這個年級是合適的。

    二、各版本教材為學生的探究活動提供了什么學習材料

    從學習論的角度看教材,教材的本質(zhì)就是“學生學習的材料”。那么,就這節(jié)課而言,學生怎樣來探究呢?教材會給學生提供怎樣的“學材”,才能引導他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)規(guī)律、發(fā)展思維?

    我們可以看到,在各版本的教材中,有一個非常受青睞的學習材料——百數(shù)表。但是同樣的“百數(shù)表”,各個版本都是一樣的嗎?仔細研讀,發(fā)現(xiàn)編者們對學生探究能力的理解以及細節(jié)上的處理都有不同之處。

    (一)利用數(shù)表,探究發(fā)現(xiàn)

    北師大版、青島版、蘇教版的新舊教材中都有“百數(shù)表”的應用,人教版的新教材也加入了這一元素。具體如下。

    1)在表中將3的倍數(shù)涂上紅色。

    (2)橫著看,前10個3的倍數(shù),個位分別是哪些數(shù)字?判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù),只看個位行嗎?

    (3)斜著看,你發(fā)現(xiàn)了什么?

    人教版舊教材,根據(jù)問題,提供了小組展開討論的場景圖。在圖中,我們看到了3的乘法算式(貌似不需要百數(shù)表),看到了學生的猜測、反駁、驗證,這也可以視為學生如何開展研究、如何參與小組討論的一種示范。

    人教版新教材,增加了百數(shù)表,而且有非常具體的操作要求:

    (1)在表中將3的倍數(shù)涂上紅色。

    (2)橫著看,前10個3的倍數(shù),個位分別是哪些數(shù)字?判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù),只看個位行嗎?

    (3)斜著看,你發(fā)現(xiàn)了什么?

    這是眾多版本中,關(guān)于“百數(shù)表”最具體的使用說明書。人教版面對廣大的學生群體,特別要關(guān)注到一些學習能力一般或偏弱的學生,這樣具體明確的要求,可以使這部分學生知道:我要做什么。很多時候課堂中的探究活動形同虛設,就是因為很多學生不知道自己該做什么。

    在兩個版本中都看到了小蜜蜂的啟發(fā)。舊版:“把3的倍數(shù)的各位上的數(shù)相加,看看你有什么發(fā)現(xiàn)?!毙掳妫骸叭我庹?guī)讉€3的倍數(shù),把各位上的數(shù)相加,看看你有什么發(fā)現(xiàn)。”舊版中的話,只是提供了線索,重在得出結(jié)論。而新版加了“任意找?guī)讉€3的倍數(shù)”,那是基于學生已有的初步發(fā)現(xiàn),再找一些例子繼續(xù)驗證,是一種研究方法的指導。

    總體來說,人教版新教材提供了百數(shù)表,用明確、具體的操作語言幫助學生探索規(guī)律,并啟發(fā)學生舉例驗證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,與舊版相比,學生的探究活動更完善了。

    (二)重視思辨,驗證結(jié)論

    我們注意到,北師大的新舊版本中有一個共同點:規(guī)律是通過一個較權(quán)威的人說出來的。舊版中由一個戴博士帽的同學(現(xiàn)實班級中的智慧擔當)來啟發(fā)大家:“將每個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字加起來試試看?!毙掳嬷袆t是白胡子老爺爺來宣布結(jié)論:“你知道嗎?這些數(shù)的各個數(shù)位上數(shù)字之和都是3的倍數(shù)。”小學生從百數(shù)表中去發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征,并不像成人所想的那么容易。先提供百數(shù)表讓學生探究,但是如果學生發(fā)現(xiàn)不了,那就給予啟發(fā),直接告知也沒有關(guān)系。重要的不是結(jié)論,而是驗證!在新版本中,小姑娘說:“是這樣嗎?我找?guī)讉€數(shù)看看……”這就是在驗證,是需要從小培養(yǎng)的品質(zhì):即便權(quán)威人士講話,我也要心中存疑,自己試試看!而小男孩則是推廣到更大的數(shù)中去驗證,看三位數(shù)、四位數(shù)(甚至更大的數(shù))是不是也有這樣的特征。

    北師大版教材不看重這個特征是否學生自己發(fā)現(xiàn)的,而更重視學生的思辨(合理嗎)及驗證過程(是這樣嗎)的體驗。

    (三)繼承傳統(tǒng),操作感悟

    盡管“百數(shù)表”深受各教材編者的青睞,但是我們也注意到,蘇教版、浙教版借助了傳統(tǒng)的學具,讓學生通過操作來感悟“3的倍數(shù)的特征”。

    蘇教版把這個單元的學習從四年級調(diào)整到五年級,新、舊版本中都是用百數(shù)表的,但是,在新版中的百數(shù)表下面有這樣一句話:“從個位上看不出3的倍數(shù)的特征,該怎么辦?”(舊版中問的是:“個位是3,6,9的數(shù)是3的倍數(shù)嗎?”)也就是說,編者明白,僅靠觀察百數(shù)表里3的倍數(shù),學生仍很難發(fā)現(xiàn)特征。于是,新舊版本中都用上了傳統(tǒng)的學具——計數(shù)器。

    蘇教版的新版中在計數(shù)器的環(huán)節(jié)分為三個層次:(1)在計數(shù)器上分別表示出幾個3的倍數(shù),看看各用了多少個珠子;(2)找?guī)讉€比較大的3的倍數(shù),在計數(shù)器上表示出來,算一算,每個數(shù)所用的珠子的個數(shù)各是多少;(3)找一些不是3的倍數(shù),看它各位上的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)。前兩個層次的操作可以幫助學生初步發(fā)現(xiàn):計數(shù)器上的3的倍數(shù),其珠子的總個數(shù)也是3的倍數(shù),就是各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)。第三個層次是找反例,看看不是3的倍數(shù),是否還有這個規(guī)律呢?蘇教版的這個研究過程比較完整。

    浙教版是選用數(shù)字卡片來組成三位數(shù),主要分這樣幾個層次:(1)用1、2、3組成三位數(shù),發(fā)現(xiàn)所組成的6個三位數(shù)都可以被3整除。(2)把2換成4,發(fā)現(xiàn)用1、3、4所組成的6個三位數(shù)都不可以被3整除;(3)把2換成5,發(fā)現(xiàn)用1、3、5組成的三位數(shù)都能被3整除。學生會發(fā)現(xiàn):能不能被3整除,與個位上是幾無關(guān),與選了哪幾個數(shù)有關(guān)。能被3整除的數(shù),所選的數(shù)字之和也能被3整除。

    三、各版本教材如何處理“3的倍數(shù)的特征”與“2,5的倍數(shù)的特征”間的關(guān)系

    “3的倍數(shù)的特征”與“2,5的倍數(shù)的特征”之間的關(guān)系比較特殊,一方面,它們都是研究某個數(shù)的倍數(shù)的特征,背后有著相同的原理;另一方面,這兩個知識的結(jié)論及規(guī)律發(fā)現(xiàn)的難易程度都不同。小學生通過觀察百數(shù)表,容易發(fā)現(xiàn)“2,5的倍數(shù)的特征”(英國的課標就把這個知識滲透到小學一、二年級)?!?的倍數(shù)的特征”就不能通過觀察個位上的數(shù)來判斷,而且學生還很容易受到負遷移。

    那么,如何處理這兩個知識點的關(guān)系?有些版本的教材回避了聯(lián)系,獨立學習“3的倍數(shù)的特征”。而北師大版與青島版都比較重視這兩者的聯(lián)系。

    (一)復習舊知識,引入新問題

    北師大版特別重視復習引入,在新舊兩個版本中,都有所體現(xiàn)。

    舊版中,“我們研究了2,5的倍數(shù)的特征,那么3的倍數(shù)有什么特征呢?”這是一般教師上課時會用的開場白,但學生會怎么回答?舊版教材中并沒有體現(xiàn)。

    新版中,仍然沿用了原來的問題,但多了三句學生的對話。為什么要加這幾句話?這是經(jīng)過實踐后的結(jié)果,這幾句話反映了多數(shù)學生當時的真實表現(xiàn)。教材特別加了這幾句話,目的是希望教師在上課時能重視學生的猜測,他們會受到上節(jié)課的影響,以為判斷“3的倍數(shù)”也要看個位,個位上是3,6,9的數(shù)是3的倍數(shù)。但這是不是壞事呢?顯然,錯誤的猜測可以帶給學生思辨的機會,“所有個位上是3,6,9的數(shù)都是3的倍數(shù)嗎?”“個位上不是3,6,9的數(shù)會不會是3的倍數(shù)呢?”

    這樣,“猜測”環(huán)節(jié)不應只是走過場,而是成為探究活動的預熱,因為猜測過程本身就是一個思辨的過程。

    (二)兩個知識點,合成一節(jié)課

    青島版教材把這兩個知識整合成一節(jié)課。在舊版中,在百數(shù)表中分別用三種顏色標出2,5,3的倍數(shù)進行觀察;在新版中,2,5的倍數(shù)的特征仍然用百數(shù)表研究,但3的倍數(shù)的特征卻用計數(shù)器來研究。我們可以想象,學生用三種顏色標出2,5,3的倍數(shù),他們看到的是一張信息量過大的數(shù)表,規(guī)律顯得模糊,更不容易被發(fā)現(xiàn)。

    新版教材中,對話比舊版多。由主題情境圖提出問題:“三人可以完成一組疊羅漢表演,疊羅漢表演可以選派多少人參加?”(順便說一下,由具體情境引入的只有青島版)

    那用不用百數(shù)表呢?從對話中可以看出,學生可以用百數(shù)表研究,但能不能從中得出結(jié)論呢?不一定。更大的可能是學生發(fā)現(xiàn):“個位上的數(shù)沒有什么規(guī)律?!?/p>

    正因為從百數(shù)表中不一定能得出結(jié)論,所以新版教材才補充了計數(shù)器,將教師直接的啟發(fā)改為了任務布置:“找?guī)讉€3的倍數(shù)用計數(shù)器表示出來,看看各用了幾個珠子,你有什么發(fā)現(xiàn)?”讓學生關(guān)注“用了幾個珠子”,就是引向“各數(shù)位上的數(shù)之和”。

    接下來就有兩個問題:

    1.學生能不能關(guān)注到:“計數(shù)器上的3的倍數(shù),所用的珠子的總個數(shù)也是3的倍數(shù)?!?/p>

    2.學生能不能歸納出:“珠子總個數(shù)”就是“各個數(shù)位上數(shù)的和”。

    如果學生在研究中順利地完成這兩個問題,那結(jié)論的得出就水到渠成了,即“各個數(shù)位的數(shù)字的和是3的倍數(shù)”。新版并沒有滿足于得出結(jié)論,反過來逆命題成立不成立呢?“各個數(shù)位的數(shù)的和是3的倍數(shù),這個數(shù)是不是3的倍數(shù)呢?”然后“再找一些3的倍數(shù)來驗證一下”。顯然,新版本展示了一個完整的探究過程。

    2011年版《課標》與2001年《課標》最大的不同,是變“二基”為“四基”,補充了“基本數(shù)學思想”“基本數(shù)學活動經(jīng)驗”。探究的一般步驟:提問→猜想→舉例→結(jié)論→驗證,這就是一種“基本數(shù)學活動”,并且為今后的學習積累經(jīng)驗。從數(shù)學基本思想的角度來看,學生體驗了由特殊到一般的不完全歸納的過程,這是一種基本的、重要的思想方法。

    四、教材比較對教學的啟示

    我們從北師大版、青島版、人教版、蘇教版中看到,編者在修改教材時把探究活動放到了首位,但同時又尊重了學生的認知規(guī)律,沒有超越學生的能力。因此,我們在教學中也要注意以下幾點。

    (一)充分展開探究活動

    對“3的倍數(shù)的特征”一課教學中,學生對基本知識(各位數(shù)字的和是3的倍數(shù))、基本技能(迅速判斷一個數(shù)是否3的倍數(shù)等)的掌握固然重要,但這節(jié)課的價值更在于基本數(shù)學思想、基本數(shù)學活動的體驗。課堂上學生大膽猜測,即便錯了也有價值,因為發(fā)現(xiàn)問題并能及時質(zhì)疑,可以促進學生思辨能力的提升;在過程中小心求證,每個學生都要在活動中有事可做,教材提供了“百數(shù)表”,學生在百數(shù)表中圈出3的倍數(shù),有序觀察(橫著看、斜著看),在這個過程中也許有同學會發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如果發(fā)現(xiàn)不了,也沒有關(guān)系,一種方式是教師直接提供暗示,讓學生通過例證,確認結(jié)論;另一種方式是教師提供學具,如計數(shù)器、數(shù)字卡片等,引導學生展開二次研究,發(fā)現(xiàn)規(guī)律。但教師要注意,不要讓學生滿足于此,還要他們再找些大數(shù)或反例來驗證,讓整個探究活動得以充分展開。

    (二)尊重學生認知起點

    教師尊重學生的認知起點,其實就是承認學生的認知差異。

    其一,要充分認識到學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的困難性。盡管教材的編者想了很多辦法,但是不可否認的是,若沒有提前學習,學生真的不容易發(fā)現(xiàn)“3的倍數(shù)的特征”。教師一定要從這部分學生的實際水平出發(fā),不可提出過高的要求,但又要促使這些學生經(jīng)歷整個探究過程,發(fā)展思維能力。

    其二,要看到部分學生已經(jīng)知道特征的現(xiàn)實。

    筆者對使用浙教版教材的學生做過一個小測試,被測學生為四下年級,正好學習了“2,5的倍數(shù)的特征”,馬上要學習“3的倍數(shù)的特征”。被測的60名學生,有25人知道3的倍數(shù)的特征,約占總?cè)藬?shù)的40%。

    教師在設計教案時,如何使這兩部分學生在各自的基礎上都有所收獲,是需要進一步思考的問題。

    參考文獻:

    [1]折延東,周超,黃燦燦.論教材的本質(zhì)及其重建[J].課程·教材·教法,2016,(6).

    [2]曹一鳴.十三國數(shù)學課程標準評介(小學、初中卷)[M].北京:北京師范大學出版社,2012.

    (浙江省杭州崇文實驗學校 310016)

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