突擴(kuò)式水躍躍長的計算公式推導(dǎo)與驗證

傅銘煥，盧志男，惠祥明，鄭 艷，孫培學(xué)

(浙江省水利水電勘測設(shè)計院，杭州 310002)

突擴(kuò)式水躍躍長的計算公式推導(dǎo)與驗證

傅銘煥，盧志男，惠祥明，鄭 艷，孫培學(xué)

(浙江省水利水電勘測設(shè)計院，杭州 310002)

水躍長度為突擴(kuò)式消力池設(shè)計的重要參數(shù)，對消力池安全穩(wěn)定以及經(jīng)濟(jì)合理的影響效果顯著。通過建立水躍區(qū)水體質(zhì)點的運(yùn)動方程，研究突擴(kuò)式消力池水躍躍長的變化規(guī)律。提出了突擴(kuò)式水躍躍長的半理論公式，并用已有文獻(xiàn)的實測數(shù)據(jù)對其進(jìn)行驗證。研究表明：突擴(kuò)式消力池水躍長度是躍前斷面弗勞德數(shù)、躍前斷面平均水深、水躍共軛水深比和消力池突擴(kuò)比的函數(shù)，并隨著躍前斷面弗勞德數(shù)、躍前斷面平均水深和水躍共軛水深比的增大而增大。結(jié)果顯示，公式計算的突擴(kuò)式水躍長度平均誤差為4.32%，在5種體形共48組工況下只有5組工況的水躍長度相對誤差>10%，且最大相對誤差為-12.52%，其余工況下相對誤差均<10%。

突擴(kuò)式消力池；突擴(kuò)比；運(yùn)動方程;水躍躍長；計算公式

1 研究背景

突擴(kuò)式水躍是指閘下出流的水體從較窄的寬度突然三維擴(kuò)散到較寬寬度時形成的空間水躍，常見于多孔水閘和泵閘結(jié)合的水利樞紐中。由于突擴(kuò)式水躍的復(fù)雜性，其水力特性的研究遠(yuǎn)沒有一般二元水躍研究深入和透徹。

Rajaratnam等[1-3]試驗研究了突擴(kuò)式水躍的水力特性，并將其分為遠(yuǎn)驅(qū)水躍(R型水躍)和穩(wěn)定水躍(S型水躍)。研究發(fā)現(xiàn)，突擴(kuò)式消力池急流水流向兩側(cè)突然擴(kuò)散過程中，能顯著降低水躍躍后水深，減小水躍長度，較一般二元水躍具有更好的消能效果。Hasan等[4]、盧士強(qiáng)[5]、Hager[6]通過列水躍區(qū)水體的動量方程從理論上研究了突擴(kuò)式水躍的躍后水深，結(jié)合各自試驗給出了突擴(kuò)式水躍躍后水深的半理論公式。結(jié)果表明，突擴(kuò)式水躍躍后水深是躍前斷面弗勞德數(shù)和消力池突擴(kuò)比的函數(shù)。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]雖給出了水躍長度計算的經(jīng)驗公式，但由于水躍的紊動特性，目前尚未有學(xué)者提出突擴(kuò)式水躍躍長的理論計算方法。

詹明安等[7]、吳宇峰等[8]通過追蹤水躍區(qū)水體質(zhì)點的運(yùn)動方程，分別研究了平底二元水躍和漸擴(kuò)散水躍的水躍長度，獲得了很好的效果。

筆者試圖通過突擴(kuò)式消力池水躍區(qū)水體質(zhì)點的運(yùn)動方程，探索其水躍躍長理論計算的可行性，為工程設(shè)計提供技術(shù)支撐。

2 公式推導(dǎo)

水流從急流到緩流的過渡過程中，上下游水流存在壓力差使得水體向上躍起形成回流，而閘下水流由較窄溢洪道突然擴(kuò)散到較寬溢洪道時，邊壁水流與壁面發(fā)生脫離，主流沿其流動的垂直方向發(fā)生擴(kuò)散，并在擴(kuò)散區(qū)形成回流。假定當(dāng)突擴(kuò)式水躍穩(wěn)定時，邊壁回流區(qū)水體同主流水體不產(chǎn)生質(zhì)點交換，主流區(qū)中線水流質(zhì)點仍服從二元流特性。同時，由于下游的突然擴(kuò)散，額外作用于水流質(zhì)點豎直方向上的加速度為kβf(k為常數(shù))，則突擴(kuò)式水躍水體質(zhì)點的受力情況如圖1所示。

圖1 突擴(kuò)式水躍示意圖Fig.1 Sketch of abruptly expanding hydraulic jump

圖1中：b為上游消力池寬度；B為下游消力池寬度；h1，h2分別為躍前斷面和躍后斷面平均水深；v1，v2分別為躍前斷面和躍后斷面平均流速；Lj為水躍長度；g為重力加速度；β=B/b為突擴(kuò)式消力池擴(kuò)散比；f為一般二元消力池水流向上躍起的加速度。

水躍區(qū)水體質(zhì)點在豎直方向y上的運(yùn)動方程為

(1)

式中:t為水躍區(qū)水體質(zhì)點從躍前斷面往躍后斷面運(yùn)動的時間；y為水體質(zhì)點在t時間內(nèi)在豎直方向上運(yùn)動的距離。坐標(biāo)原點位于躍前斷面水體表面，假設(shè)此處水體質(zhì)點速度方向為主流方向，即與圖1中x軸同向。

對式(1)求不定積分可得：

(2)

(3)

式中c1，c2為積分常數(shù)。

假設(shè)在t=0時，水體質(zhì)點位于坐標(biāo)軸原點，則

(4)

將式(4)代入式(2)和式(3)，可得c1=0，c2=0，則式(3)可化簡為

(5)

根據(jù)總流方程，假定流量Q=v1bh1=vxB(h1+y)=vxβb(h1+y)。其中vx為水體質(zhì)點流經(jīng)x斷面處的斷面平均流速。假定水體質(zhì)點運(yùn)動至x斷面時，在x軸方向上的瞬時速度正比于該斷面的平均流速，可得

(6)

式中a為流速系數(shù)。

將式(5)代入式(6)，并對其推導(dǎo)可得

(7)

(8)

式(8)整理可得

(9)

根據(jù)假定，t=tj時，水體質(zhì)點從原點運(yùn)動至躍后斷面水面處，此時y=h2-h1。將其代入式(5)得

(10)

將式(10)代入式(9)，即

(11)

式(11)整理得

(12)

(13)

盧士強(qiáng)[5]試驗研究了6種不同突擴(kuò)比體形下突擴(kuò)式水躍(穩(wěn)定水躍)的變化規(guī)律，突擴(kuò)比β分別為1(不擴(kuò)散)，1.2, 1.5, 2, 3, 5。將突擴(kuò)比β=1體形下共10種工況的實測數(shù)據(jù)代入式(13)，可求得A。研究表明10種工況下A的變化幅度較小，取其平均值為A=5.487 5。當(dāng)β=1時，消力池沒有擴(kuò)散，所以kβ=0，故可求得流速系數(shù)a，即

則

(14)

將式(14)代入式(12)可得

(15)

圖2 參數(shù)D隨消力池突擴(kuò)比β的變化Fig.2 Variation of parameter D with abrupt expanding ratioβ of stilling basin

將文獻(xiàn)[5]其余5種體形下的工況代入式(15)，則各體形下計算所得D的平均值見圖2。

由圖2可知，相對加速度函數(shù)D與消力池突擴(kuò)比β近似呈線性關(guān)系。

對其進(jìn)行擬合可得

D=1.330 3β-0.349 3 。

(16)

將式(16)代入式(15)，即

(1.330 3β-0.349 3) 。

(17)

上式即為突擴(kuò)式水躍躍長的計算公式，公式的適用范圍為1≤β≤5，2.76

一般情況下，突擴(kuò)式水躍躍后條件往往是未知的，這給用式(17)求解突擴(kuò)式水躍躍長帶來困難。筆者研究過突擴(kuò)式水躍躍后水深的計算方法，提出了躍后水深的計算公式，即

(18)

式中ω為消力池突擴(kuò)斷面處下泄水流與邊墻的夾角。

用式(17)和式(18)聯(lián)合求解，可獲得突擴(kuò)式水躍的水躍長度。

3 驗 證

用式(17)和式(18)聯(lián)合求解文獻(xiàn)[5]中5種體形下各試驗工況的水躍長度，計算結(jié)果見表1。由表1可以看出式(17)和式(18)聯(lián)合求解的突擴(kuò)式水躍長度平均誤差為4.32%，在5種體形共48組工況下只有5組工況的水躍長度相對誤差>10%，且最大相對誤差為-12.52%，其余工況下相對誤差均<10%，可見式(17)和式(18)計算的突擴(kuò)式水躍躍長精度很高。

4 結(jié) 語

本文假定突擴(kuò)水躍穩(wěn)定狀態(tài)時，邊壁回流區(qū)水體同主流水體不產(chǎn)生質(zhì)點交換，主流區(qū)中線水流質(zhì)點仍服從二元流特性，邊墻突然擴(kuò)散額外作用于水流質(zhì)點豎直方向上的加速度為kβf。在此假設(shè)基礎(chǔ)上，通過追蹤水躍區(qū)水體質(zhì)點的運(yùn)動方程，推求突擴(kuò)式消力池水躍躍長的理論計算方法，并用文獻(xiàn)[5]的實測資料對公式中各參數(shù)進(jìn)行驗證。結(jié)果表明，突擴(kuò)式消力池水躍長度是躍前斷面弗勞德數(shù)、躍前水深、躍后水深和消力池突擴(kuò)比的函數(shù)。在1≤β≤5，2.76

表1 水躍長度比較Table 1 Comparison of length of hydraulic jump

[1] RAJARATNAM N, SUBRAMANYA K. Hydraulic Jumps below Abrupt Symmetrical Expansions[J].Journal of the Hydraulics Division,1968, 94(2):481-504.

[2] BREMEN R，HANGER W H. T-jump in Abruptly Expending Channel [J]. Journal of Hydraulic Research，1993，31(1)：61-78.

[3] ZARE H K，BADDOUR R E. Three-dimensional Study of Spatial Submerged Hydraulic Jump[J]. Canadian Journal of Civil Engineering，2007，34(9)：1140-1148.

[4] HASAN M R， MATIN M A. Experimental Study for Sequent Depth Ratio of Hydraulic Jump in Horizontal Expanding Channel[J]. Journal of Civil Engineering (IEB)，2009，37 (1)：1-9.

[5] 盧士強(qiáng).兩側(cè)突然擴(kuò)散水躍特性的試驗研究[D]. 南京：河海大學(xué)，2000.

[6] HAGER W H. Hydraulic Jump in Non-prismatic Rectangular Channels[J]. Journal of Hydraulic Research，1985，23(1)：21-35.

[7] 詹明安，周建國，黃文政.關(guān)于水躍躍長的計算[J].人民長江，1990,(3)：18-21.

[8] 吳宇峰，伍 超，劉小兵.漸擴(kuò)散水躍躍長的研究[J].水科學(xué)進(jìn)展，2007，18(2)：210-215.

(編輯：占學(xué)軍)

Deduction and Verification of the Calculation Foumula for Lengthof Abruptly Expanding Hydraulic Jump

FU Ming-huan,LU Zhi-nan, HUI Xiang-ming, ZHENG Yan, SUN Pei-xue

(Zhejiang Design Institute of Water Conservancy and Hydro-electric Power, Hangzhou 310002，China)

As an important parameter for the design of abruptly expanding stilling basin, length of hydraulic jump has remarkable effect on the safety, stability and economy of the stilling basin. The variation of length of hydraulic jump in abruptly expanding stilling basin was researched through establishing motion equations of flow particle in hydraulic jump zone. Furthermore, a half-theoretical formula for the hydraulic jump length was put forward and measured data from existed literatures was employed to verify the formula. Result shows that the length of hydraulic jump is the function of four parameters, namely upstream Froude number, upstream mean flow depth, conjugate water depth ratio and abrupt enlargement ratio. With the increase of the four parameters, the length of hydraulic jump increases. The mean error of length of hydraulic jump calculated by the proposed equation is 4.32%. Among 48 working conditions of five patterns, the relative errors of only five conditions exceed 10%, with the maximum value of -12.5%.

abruptly expanding stilling basin; abrupt enlargement ratio; motion equations; hydraulic jump length; calculation foumula

2016-01-27；

2016-02-19

傅銘煥(1989-)，男，浙江杭州人，碩士，主要從事水工水力學(xué)方面的研究，(電話)0571-87925193(電子信箱)fuminghuan2007@163.com。

10.11988/ckyyb.20160088

2017,34(4):48-51

TV135.2

A

1001-5485(2017)04-0048-04