一種基于三軸與單軸隨機振動最大應力等效的載荷裁剪方法

王海東， 仇原鷹， 周東亮， 周 磊 ， 李偉明

(1.上海航天精密機械研究所，上海 201600；2. 西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071)

一種基于三軸與單軸隨機振動最大應力等效的載荷裁剪方法

王海東1， 仇原鷹2， 周東亮2， 周 磊2， 李偉明1

(1.上海航天精密機械研究所，上海 201600；2. 西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071)

為了避免三軸振動試驗對產(chǎn)品造成過試驗問題，現(xiàn)以單軸振動試驗標準為基準，進行基于三軸振動與單軸依次振動最大響應應力等效的三軸載荷譜裁剪。首先對線性系統(tǒng)在隨機振動下激勵與響應均方根值的關(guān)系進行推導，將單軸振動時的最大等效應力與三軸振動時的最大等效應力的比值n作為三軸振動載荷譜均方根值的裁剪系數(shù)，裁剪保持載荷譜掃頻范圍、拐點頻率值以及載荷譜斜線段的斜率N不變，根據(jù)梯形譜均方根值計算公式反推出梯形載荷譜直線段譜值，進而得到滿足三軸與單軸隨機振動最大應力等效的三軸載荷譜。通過對某典型艙段結(jié)構(gòu)進行三軸載荷譜的裁剪，并將載荷譜裁剪后的三軸振動應力響應與載荷譜裁剪前的單軸振動應力響應進行對比，驗證了方法的有效性與準確性。

隨機振動；應力等效；載荷譜裁減；有限元仿真

隨機振動試驗是考核導彈、火箭等航天產(chǎn)品結(jié)構(gòu)動強度及環(huán)境適應性的重要手段，是暴露結(jié)構(gòu)缺陷和鑒定設備承受使用環(huán)境能力的一種有效方法[1]。

工程構(gòu)件或產(chǎn)品在實際工作中所受的載荷一般是多軸向的，但在傳統(tǒng)的隨機振動試驗中，由于試驗技術(shù)及試驗設備的限制，常以三個正交軸依次進行的單軸振動試驗來近似等效多軸振動試驗[2]。這種方法簡便易行，在工程實踐得到了大量應用。在早期的產(chǎn)品研發(fā)中發(fā)揮了重要作用，并衍生了大量的試驗設備、試驗方法和標準規(guī)范。但隨著產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的復雜多樣化，單軸振動試驗的不足越來越明顯，主要表現(xiàn)在以下幾方面：一維的振動試驗無法暴露某些對振動方向敏感，但又不是振動試驗方向的故障模式，因此導致了許多按照單軸振動試驗標準通過了振動試驗的設備在實際使用中出現(xiàn)了故障；對于某些設備，多次的一維的振動試驗導致了產(chǎn)品的過試驗，使得產(chǎn)品出現(xiàn)了不應有的故障模式；對于大型試驗件，由于振動試驗與實際環(huán)境在振源和振動傳遞上的不一致，使得同一試驗件中不同設備同時存在欠試驗和過試驗[3]。

由此可見不能簡單地將單軸振動試驗與多軸振動試驗進行等效，大量的實踐證明多軸振動環(huán)境試驗能發(fā)現(xiàn)單軸振動試驗未能發(fā)現(xiàn)的潛在故障，能更真實地模擬實際的振動環(huán)境，是更為合理、有效的外場模擬試驗方法[4]。但是目前關(guān)于三軸振動的試驗標準尚且不成熟，建立科學合理的三軸振動試驗標準是亟待解決的問題。

近年來，隨著對多軸激勵振動研究的不斷深入，人們意識到，多軸振動激勵對結(jié)構(gòu)響應的耦合效應十分復雜，不少學者通過對比某些產(chǎn)品的單軸與多軸振動試驗效果來探究二者之間的差異，并獲得一些有益的結(jié)果[5-6]。美國噴氣推進實驗室比較了三個一分鐘的單軸振動試驗(每次一軸)和一分鐘的三軸同時振動試驗造成的累計疲勞損傷的差別，發(fā)現(xiàn)三軸振動產(chǎn)生的累計疲勞是單軸振動的兩倍[7]。FRENCH等[8]對典型試件進行了單軸與多軸振動試驗研究，結(jié)果表明: 多軸向同時振動與單軸向依次振動疲勞試驗相比較具有明顯的多軸效應，更能導致結(jié)構(gòu)疲勞失效。武芳文等[9]對大跨度斜拉橋結(jié)構(gòu)進行了數(shù)值分析，結(jié)果表明多維振動下的響應相對于一維激勵有明顯的差異，總體上使結(jié)構(gòu)的響應更為復雜。王帥等[10]對空間管路結(jié)構(gòu)單、三軸隨機振動環(huán)境下的疲勞損傷進行研究，發(fā)現(xiàn)各節(jié)點三軸同時振動的疲勞損傷比單軸依次振動的疲勞損傷均要強。

以上研究均說明在相同的載荷條件下三軸振動試驗要比單軸依次交替的振動試驗產(chǎn)生更大的響應，即若對三軸振動臺按照單軸振動標準加載三個軸向的單軸振動激勵譜，會引起產(chǎn)品的過試驗和過設計，造成一些不應有的故障模式。但目前關(guān)于如何根據(jù)單軸振動試驗標準建立與之等效的三軸振動試驗標準，還鮮有人研究。因此本文根據(jù)頻域內(nèi)線性系統(tǒng)隨機振動載荷與響應的關(guān)系，通過一定比例裁剪三軸輸入載荷譜的均方根值，使得三軸振動時的最大等效應力與單軸振動時最大振動方向的最大等效應力相等，進行基于應力等效的三軸振動試驗條件研究，并對某典型艙段結(jié)構(gòu)進行單軸與三軸試驗，驗證該方法的有效性和準確性。該研究為以后的三軸振動試驗標準的建立提供參考依據(jù)，具有重要的理論及實際意義。

1 線性系統(tǒng)隨機激勵與響應關(guān)系

系統(tǒng)的響應函數(shù)或是系統(tǒng)激勵和響應在時域和頻域內(nèi)的橋梁。由于本文討論的是結(jié)構(gòu)在多軸與單軸振動下的最大應力等效問題，故本文從時域與頻域角度分析多輸入多輸出的線性系統(tǒng)在平穩(wěn)隨機激勵下，激勵與響應之間的傳遞關(guān)系。

本文著重關(guān)心最大應力響應點，將問題轉(zhuǎn)化為多輸入單輸出情況。首先研究兩點輸入、一點輸出的情況，然后推廣至多點輸入、一點輸出的模型。其系統(tǒng)傳遞模型如圖1所示。

其中，x1(t),x2(t)為作用于系統(tǒng)1、2點的輸入平穩(wěn)隨機過程；yk(t)為系統(tǒng)k點的輸出平穩(wěn)隨機過程；hk1(t)，hk2(t)分別為系統(tǒng)在1→k和2→k之間的傳遞脈沖響應函數(shù)；Hk1(ω)，Hk2(ω)分別為系統(tǒng)在1→k和2→k之間的傳遞頻率響應函數(shù)。

根據(jù)隨機振動相關(guān)理論可知，該兩輸入單出系統(tǒng)的響應自相關(guān)函數(shù)為

(1)

由自功率譜的定義知，該系統(tǒng)輸出應的自功率譜為

(2)

式中，Sx1x2(ω)和Sx2x1(ω)為激勵x1(t)和x2(t)的兩個互功率譜，反映了兩激勵R. P.(Random Process)的能量在頻域上的相互耦合作用。

對式(2)的結(jié)果可以推廣，當有n個R. P.x1(t),x2(t),…,xn(t)同時激勵時，系統(tǒng)中k點的響應自譜為

(3)

在頻域內(nèi)對式(3)做關(guān)于的積分可得到系統(tǒng)響應的均方值，再對其開方得到系統(tǒng)的響應均方根值：

(4)

若這n個激勵互不相關(guān)，則

(5)

由定義知這些互不相關(guān)的激勵均方根值為

(6)

若將每個激勵的均方根值增加a倍，即

(7)

則每個激勵的自相關(guān)函數(shù)將增加a2倍，此時該系統(tǒng)的響應的均方根值為

(9)

此式表明：對于線性系統(tǒng)，當輸入的載荷功率譜均方根值增大a倍時，系統(tǒng)響應的均方根值也增大a倍。這一規(guī)律為后文的基于應力等效實現(xiàn)對三軸載荷譜的裁剪奠定理論基礎。

2 仿真算例

算例模型選取某典型艙段結(jié)構(gòu)，由三軸振動夾具與艙段組成，如圖2所示。

其中夾具的左右蓋板通過螺栓連接與艙段兩端面緊密貼合。夾具的底座為梯形槽形狀，兩邊與艙段外徑相切，用于艙段的夾持和固定，如圖3所示。艙段主要尺寸為：長761.9 mm，外徑為203.2 mm；夾具的三視圖及主要尺寸如圖4所示。

圖2 艙段與夾具模型總體示意圖Fig.2 Layout of the assembled compartment and fixture model

圖3 夾具底座梯形槽示意圖Fig.3 Trapezoidal groove of the fixture pedestal

圖4 夾具模型三視圖 Fig.4 Three views of the fixture model

夾具底端為螺栓組排列，通過高強度螺栓與振動臺緊固連接，為了更好地模擬實際振動試驗情況，將夾具底端面與各螺栓孔內(nèi)表面均施加全約束，圖5中的深色區(qū)域為施加的約束，屆時載荷激勵譜也將通過此處進行加載。

圖5 三軸振動試驗臺夾具約束設置Fig.5 Constraint settings for triazial vibration testing table

根據(jù)國軍標GJB 150.16—1986提供的單軸隨機振動試驗譜標準，選擇如圖6所示的寬帶振動譜對結(jié)構(gòu)進行隨機振動分析。

圖6 單軸隨機振動試驗譜Fig.6 Testing spectrum of uniaxial random vibration

圖中為雙對數(shù)坐標，斜率N用分貝/倍頻程(dB/oct)表示，即單位倍頻程(oct)使功率譜密度值增加或者減少的分貝數(shù)(dB)，根據(jù)功率譜密度斜率定義[11]，則有：

(10)

式中：fH為上頻率(Hz)，fL為下頻率(Hz)，在圖6中，對應第一段斜直線，fH為80 Hz，fL為20 Hz；對應第二段斜直線，fH為2 000Hz，fL為350 Hz。WH為頻率fH處的加速度功率譜密度值(g2/Hz)，WL為頻率fL處的加速度功率譜密度值(g2/Hz)。

根據(jù)斜率公式(10)計算出基礎加速度功率譜S(f)中的W1、W2值，可得：

(80 Hz≤f<350 Hz)

(350 Hz≤f<2 000 Hz)

(11)

對于梯形隨機振動加速度功率譜密度函數(shù)，其均方根值通?？赏ㄟ^圖7所示方法計算。

圖7 隨機振動加速度總均方根值計算圖Fig.7 Acceleration rms calculating diagram

對于圖7所示的加速度功率譜密度曲線，其均方根值計算[11]過程如下：

上升段：

(12)

式中：m1=n1/3,n1為上升譜譜線的斜率(dB/oct)。

平直段：

A2=W(fa)[fb-fa]

(13)

下降段：

(14)

式中：m2=n2/3,n2為下降譜譜線的斜率(dB/oct)。

當m2=-1時，應用羅比達法則可得

(15)

加速度總均方根值：

(16)

在有限元軟件Ansys環(huán)境中對典型艙段各零部件進行接觸設置，為了等效實際的約束情況，主要設定綁定接觸和不分離接觸。綁定接觸是指兩個部件之間面面接觸，線線接觸，線面接觸，不會發(fā)生分離或相對滑動，可將它們看作粘合的一體。如典型艙段結(jié)構(gòu)中電器控制盒、電池與外殼之間的接觸。不分離接觸類似于綁定接觸，但其只應用于面面接觸。它不允許面面之間發(fā)生法向分離，但可以允許接觸面發(fā)生微小的相對無摩擦滑動，例如典型艙段外殼之間的接觸。

網(wǎng)格劃分是建立有限元模型的一個重要環(huán)節(jié)，選擇何種類型的單元以及何種方式進行網(wǎng)格劃分對計算精度和計算規(guī)模將產(chǎn)生直接影響。本文對艙段結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格采用人工控制劃分與自動網(wǎng)格劃分兩種方式，以確保網(wǎng)格劃分的有效性和合理性。對于艙段結(jié)構(gòu)仿真分析中較為關(guān)心的部件，如電氣控制盒，將其切分成幾個規(guī)則的幾何體，生成多體部件，以便生成規(guī)則的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，對于艙段結(jié)構(gòu)中可掃掠體及規(guī)則體應采用掃掠網(wǎng)格劃分法和多區(qū)域網(wǎng)格劃分法，此使得網(wǎng)格劃分相對規(guī)整，提高網(wǎng)格劃分的效率。其余部分零件采用自由網(wǎng)格劃分方法，這樣劃分完成后，共得到284 750個單元，906 848個節(jié)點。艙段整體網(wǎng)格劃分如圖8所示。

圖8 艙段結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分圖Fig.8 Meshing of the compartment

對艙段有限元模型，進行如下兩種工況研究：在夾具底部固定約束處單獨依次加載沿X,Y,Z方向的隨機加速度基礎譜，模擬傳統(tǒng)的振動試驗，即三個正交軸依次進行單軸振動試驗；同時加載沿X,Y,Z三個方向的隨機加速度基礎功率譜，模擬三軸振動試驗，即三個正交軸同時進行振動試驗。提取這兩種工況下最大等效應力結(jié)果如表1所示。

表1 艙段結(jié)構(gòu)單軸與三軸振動的應力比較(1σ值)Tab.1 Maximum equivalent stress contrast of the compartment (1σ value)

可見對于該艙段三軸同時加載激勵要比單軸依次加載產(chǎn)生的等效應力大，且X向單獨加載激勵時的等效應力為單軸依次加載中最大的，可以說X軸向是最大振動方向。由式(9)知，要使三軸振動時的最大等效應力值(20.031 MPa)縮減到單軸振動時最大振動方向的最大等效應力值(14.567 MPa)，必須對輸入的梯形譜均方根值做裁剪。

本文裁剪的原則是保持輸入載荷譜掃頻范圍以及各拐點的頻率值不變，同時保持對數(shù)功率譜密度曲線中斜線段的斜率N也不變，改變輸入載荷譜的直線段的譜值，起點和終點的W1、W2的值也隨之改變。由于線性系統(tǒng)輸入與輸出之間滿足線性關(guān)系，現(xiàn)要使三軸同時激勵時響應的均方根值縮減14.567/20.031=0.727倍，那么三軸振動時的輸入梯形譜均方根也要縮減0.727倍。即裁剪后的梯形譜均方根值為grms=4.282×0.723=3.114(g)。

通過式(12)～式(16)可反算出裁剪后的梯形譜直線段值為0.010 6。裁剪前后的梯形譜對比如圖9所示。

其中虛線表示裁剪前的載荷譜，實線表示裁剪后載荷譜。

圖9 裁剪前后梯形譜對比Fig.9 Trapezoidal spectrum contrast after clipping

在Workbench中將裁剪后的梯形譜同時加載到X，Y，Z三個方向，進行三軸振動試驗，并將分析所得的等效應力結(jié)果與載荷譜裁剪前的X軸單向加載時的等效應力進行對比分析如下表2所示。

表2 單軸振動的等效應力與裁剪后三軸振動的等效應力對比Tab.2 Maximum equivalent stress contrast after clipping

由表2可見，載荷譜裁剪后的三軸隨機振動的最大等效應力值與單軸依次振動時最大振動方向的最大等效應力值基本一致，誤差僅為0.006 8%。因此采用該原理進行載荷譜裁剪可有效實現(xiàn)應力等效。

3 結(jié) 論

本文根據(jù)線性系統(tǒng)在頻域內(nèi)隨機振動載荷與響應關(guān)系，提出了一種基于三軸振動與單軸依次振動時最大應力等效的三軸載荷譜裁剪方法，裁剪原則是保持載荷譜掃頻范圍、拐點頻率值以及載荷譜斜線段的斜率N不變，改變載荷譜直線段譜值，起點和終點的、的值也隨之改變。針對典型艙段結(jié)構(gòu)的隨機振動仿真試驗，應用該方法對三軸振動譜進行裁剪，把裁剪后的三軸振動應力響應與裁剪前的單軸依次振動時最大振動方向的應力響應進行對比，得到其相對誤差僅為0.006 8%，具有很高的精度，驗證了該方法的準確性和有效性。

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Load clipping method based on the maximum stress equivalence between triaxial and uniaxial random vibration

WANG Haidong1，QIU Yuanying2，ZHOU Dongliang2, ZHOU Lei2, LI Weiming1

(1. Shanghai Spaceflight Precision Machinery Research Institute, Shanghai 201600,China；2. School of Electromechanical Engineering, Xidian University,Xi’an 710071,China)

To avoid over test in triaxial vibration tests on products, the triaxial load spectrum clipping was introduced based on the equivalence of the maximum response stress in triaxial vibration that in successive uniaxial vibrations using the uniaxial vibration testing standard as a benchmark. The relationship between the excitation and response rms values of a linear system under random vibration was deduced and the rationof maximum equivalent stress in uniaxial vibration to that in triaxial vibration was adopted as a clipping coefficient for the rms value of triaxial vibration load spectrum. While doing the clipping, the load spectrum sweep range, the corner frequency value and the slopeNof oblique line segment in the load spectrum were kept unchanged. Then, the spectrum values at the straight section of load spectrum were figured out according to the rms value calculation formula for trapezoid spectrum so as to get a triaxial load spectrum that meets the stress equivalence between triaxial and uniaxial random vibrations. Through the clipping on the triaxial load spectrum of a certain typical missile compartment and contrasting the triaxial vibration responses after load spectrum clipping with the uniaxial vibration responses before clipping, the validity and accuracy of the method were verified.

random vibration; stress equivalence; load spectrum clipping; finite element analysis(FEA)

航天八院核心攀登工程項目(ZY2013-004)

2015-10-23 修改稿收到日期： 2016-02-24

王海東 男，本科，高級工程師，1975年生

仇原鷹 男，博士，博士生導師，1958年生

O32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.06.012