非整周期采樣信號(hào)相位差估計(jì)的相頻匹配方法

涂亞慶， 沈艷林,2， 沈廷鰲， 陳寶欣

(1.后勤工程學(xué)院 信息工程系, 重慶 401311; 2.武警后勤學(xué)院 軍交運(yùn)輸系，天津 300000)

非整周期采樣信號(hào)相位差估計(jì)的相頻匹配方法

涂亞慶1， 沈艷林1,2， 沈廷鰲1， 陳寶欣1

(1.后勤工程學(xué)院 信息工程系, 重慶 401311; 2.武警后勤學(xué)院 軍交運(yùn)輸系，天津 300000)

為提高信號(hào)非整周期采樣條件下相位差的估計(jì)精度，改善方法的抗噪性能，提出一種非整周期采樣信號(hào)相位差估計(jì)的相頻匹配方法。該方法通過兩路正弦信號(hào)的分段Hilbert變換、互相關(guān)、自相關(guān)、相位加權(quán)平均等技術(shù)獲得兩路信號(hào)的相位差。理論分析表明，分段Hilbert變換有效抑制了正弦信號(hào)非整周期采樣對(duì)Hilbert變換的影響。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與互相關(guān)法、Hilbert變換法、數(shù)據(jù)延拓式相關(guān)法相比，該方法改善了非整周期采樣信號(hào)的相位差估計(jì)方法的抗噪性能，提高了相位差的估計(jì)精度，其相位差估計(jì)誤差更接近克拉美羅下限?？剖狭髁坑?jì)流量檢測實(shí)驗(yàn)證實(shí)了該方法的有效性。

相位差估計(jì)；相頻匹配；非整周期采樣；分段Hilbert變換

正弦信號(hào)的相位差估計(jì)廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航定位、雷達(dá)、聲吶、通訊和儀表裝置等領(lǐng)域[1-5]，具有重要的研究意義和應(yīng)用價(jià)值。例如，科氏流量計(jì)就是通過估計(jì)兩路正弦信號(hào)之間的相位差獲得流體的質(zhì)量流量。因此，提高正弦信號(hào)的相位差估計(jì)精度有助于改善科氏流量計(jì)的計(jì)量精度。

為獲得兩路正弦信號(hào)的相位差，過零檢測法[6]通過計(jì)算兩路正弦信號(hào)過零時(shí)刻的時(shí)間差獲得相位差。該方法計(jì)算量小，測量速度快，但抗噪性能較差，尤其對(duì)二次諧波敏感?；ハ嚓P(guān)法[7-8](Cross-correlation Method, CM)利用兩路正弦信號(hào)時(shí)延為零的互相關(guān)信號(hào)和自相關(guān)信號(hào)獲得相位差估計(jì)值。該方法無需預(yù)知信號(hào)的頻率即可獲得兩路正弦信號(hào)的相位差，但是其相位差估計(jì)性能受信號(hào)非整周期采樣影響較大。為抑制信號(hào)的非整周期采樣對(duì)互相關(guān)法的影響，數(shù)據(jù)延拓式相關(guān)法[9](Data Extension-based Correlation Method, DECM)通過對(duì)兩路正弦信號(hào)進(jìn)行數(shù)據(jù)延拓，使數(shù)據(jù)延拓信號(hào)接近整周期采樣，然后利用互相關(guān)法獲得相位差估計(jì)值。該方法有效抑制了信號(hào)非整周期采樣的影響，但是由于該方法仍需通過兩路正弦信號(hào)時(shí)延為零的自相關(guān)信號(hào)計(jì)算相位差，所以其抗噪性能較差。為提高相位差估計(jì)方法的抗噪性能，Hilbert變換法[10-12](Hilbert Transform, HT)通過對(duì)兩路正弦信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換，得到解析信號(hào)，通過解析信號(hào)時(shí)延為零的互相關(guān)信號(hào)獲得信號(hào)的相位差。該方法原理簡單，但是受Hilbert變換端點(diǎn)效應(yīng)和互相關(guān)信號(hào)有效信息利用不充分的影響，相位差估計(jì)精度有待進(jìn)一步提高。

針對(duì)信號(hào)非整周期采樣導(dǎo)致相位差估計(jì)精度較差的問題，為改善相位差估計(jì)方法的抗噪性能，提高相位差的估計(jì)精度，提出一種非整周期采樣信號(hào)相位差估計(jì)的相頻匹配方法。該方法通過信號(hào)頻率估計(jì)值確定分段Hilbert變換的最優(yōu)矩形窗窗函數(shù)長度，通過分段Hilbert變換抑制正弦信號(hào)非整周期采樣對(duì)Hilbert變換的影響；為提高方法的抗噪性能，基于相頻匹配原理，利用互相關(guān)信號(hào)和自相關(guān)信號(hào)的相頻匹配獲得兩路正弦信號(hào)的相位差。

1 相頻匹配方法

1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

設(shè)有兩路信號(hào)為

(1)

式中，sx(n)=Acos(ωn+θ1),sy(n)=Bcos(ωn+θ2),為便于敘述，本文將sx(n)和sy(n)稱為兩路正弦信號(hào)。ω、N分別為兩路信號(hào)的圓周頻率和信號(hào)長度，A和B分別為兩路信號(hào)的幅值，θ1和θ2分別為兩路信號(hào)的初相位，z1(n)和z2(n)分別為兩路正弦信號(hào)的噪聲。

為抑制信號(hào)非整周期采樣對(duì)相位差估計(jì)的影響，提高相位差估計(jì)精度，提出一種非整周期采樣信號(hào)相位差估計(jì)的相頻匹配方法，方法的基本思想如圖1所示。首先，對(duì)兩路正弦信號(hào)進(jìn)行分段Hilbert變換，抑制正弦信號(hào)非整周期采樣對(duì)Hilbert變換的影響。其次，對(duì)解析信號(hào)進(jìn)行互相關(guān)和時(shí)域平均，獲得互相關(guān)信號(hào)。然后，對(duì)解析信號(hào)進(jìn)行自相關(guān)和時(shí)域平均，獲得自相關(guān)信號(hào)，實(shí)現(xiàn)自相關(guān)信號(hào)和互相關(guān)信號(hào)的頻率匹配。最后，對(duì)互相關(guān)信號(hào)和自相關(guān)信號(hào)進(jìn)行互相關(guān)，得到互相關(guān)函數(shù)，利用互相關(guān)函數(shù)相位的加權(quán)平均獲得兩路正弦信號(hào)的相位差。

圖1 方法原理圖Fig.1 Main idea of the proposed method

為有效抑制信號(hào)非整周期采樣對(duì)正弦信號(hào)Hilbert變換的影響，根據(jù)信號(hào)頻率估計(jì)值計(jì)算最優(yōu)矩形窗窗函數(shù)長度，通過對(duì)信號(hào)加矩形窗進(jìn)行分段，并對(duì)分段信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換，抑制正弦信號(hào)Hilbert變換的端點(diǎn)效應(yīng)，為提高相位差估計(jì)精度創(chuàng)造有利條件。當(dāng)分段信號(hào)為整周期采樣信號(hào)時(shí)，其Hilbert變換不存在端點(diǎn)效應(yīng)，為無失真信號(hào)。

證明：

利用DFT計(jì)算采樣信號(hào)s(n)=Acos(ωn+θ)的解析信號(hào)的步驟為：

對(duì)s(n)做DFT，得：

(2)

令

(3)

對(duì)Z(k)做逆DFT，得：

(4)

當(dāng)k=k1(k為整數(shù))時(shí)，式可以化簡為

(6)

為了使兩路正弦信號(hào)接近整周期采樣，通過計(jì)算矩形窗窗函數(shù)長度對(duì)信號(hào)進(jìn)行分段，最優(yōu)窗長度L0應(yīng)滿足式(7)。

δL0=min{δL}

(7)

(8)

分別將兩路正弦信號(hào)分成兩個(gè)長度均為L0的分段信號(hào)xm和ym(m=1,2)，如式(9)、(10)所示。

(9)

(10)

對(duì)分段信號(hào)xm和ym進(jìn)行Hilbert變換，獲得對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)xmh和ymh。

為獲得兩路正弦信號(hào)的相位差，對(duì)xmh和ymh進(jìn)行互相關(guān)，得互相關(guān)信號(hào)為

(11)

互相關(guān)信號(hào)的期望值為

(12)

由式可知，分段信號(hào)的互相關(guān)信號(hào)rxy1和rxy2具有相同的初相位和頻率。因此，為提高互相關(guān)信號(hào)的信噪比，對(duì)rxy1和rxy2進(jìn)行時(shí)域平均，獲得互相關(guān)信號(hào)rxy為

(13)

式中k=0,1,…,L0-1。

互相關(guān)信號(hào)rxy(k)的期望值為

(14)

由式(14)可知：零序號(hào)(k=0)互相關(guān)信號(hào)及其以外(k>0)互相關(guān)信號(hào)的相位均含有相位差信息，充分利用零序號(hào)以外互相關(guān)信號(hào)能夠有效改善方法的抗噪性能，有助于提高相位差的估計(jì)精度。為消除互相關(guān)信號(hào)未知頻率對(duì)相位差估計(jì)的影響，對(duì)xmh和ymh進(jìn)行自相關(guān)和時(shí)域平均，得到xmh和ymh的自相關(guān)信號(hào)rss為

(15)

自相關(guān)信號(hào)的期望值為

(16)

式中：k=1,2…，L0-1，并取rss(0)=1。

由式(16)可知：自相關(guān)信號(hào)的頻率與互相關(guān)信號(hào)頻率相同，即自相關(guān)信號(hào)與互相關(guān)信號(hào)頻率匹配，而且自相關(guān)信號(hào)具有確定的初相位——零初相位。

根據(jù)式(14)和(16)可得：

angle(rxy(k))=

angle(rss(k))+Δθ=anglerss(k)+θ2+θ1

(17)

由式(17)可知，當(dāng)自相關(guān)信號(hào)的補(bǔ)償相位Δθ等于兩路正弦信號(hào)的相位差時(shí)，相位補(bǔ)償后的自相關(guān)信號(hào)與互相關(guān)信號(hào)相位匹配。因此，為獲得兩路正弦信號(hào)的相位差，對(duì)互相關(guān)信號(hào)rxy和自相關(guān)信號(hào)rss進(jìn)行互相關(guān)，獲得互相關(guān)函數(shù)，利用互相關(guān)函數(shù)相位的加權(quán)平均獲得兩路正弦信號(hào)的相位差為

(18)

由上述分析可知，本文方法基本流程為：①計(jì)算信號(hào)的頻率估計(jì)值ω1；②利用式(7)～(10)對(duì)兩路正弦信號(hào)進(jìn)行分段，獲得分段信號(hào)xm和ym，并對(duì)xm和ym進(jìn)行Hilbert變換獲得解析信號(hào)xmh和ymh；③利用式(13)計(jì)算xmh和ymh的互相關(guān)信號(hào)rxy；④利用式(15)計(jì)算xmh和ymh的自相關(guān)信號(hào)rss；⑤利用式(18)計(jì)算相位差估計(jì)值Δθ。

圖2 正弦信號(hào)Hilbert誤差圖Fig.2 Error of sinusoidal signals’ Hilbert transform

由圖2可知：正弦信號(hào)的傳統(tǒng)Hilbert變換與理論值存在一定的誤差，尤其是在靠近信號(hào)兩端時(shí)，誤差明顯增大。本文提出的正弦信號(hào)分段Hilbert變換更接近正弦信號(hào)Hilbert變換理論值，說明分段Hilbert變換有效抑制了信號(hào)非整周期采樣對(duì)Hilbert變換的影響。因此，正弦信號(hào)的分段Hilbert變換能夠從信號(hào)源頭上為提高信號(hào)的相位差估計(jì)精度創(chuàng)造有利條件。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 不同信噪比條件下的仿真實(shí)驗(yàn)

圖3 不同信噪比條件下的相位差估計(jì)誤差Fig.3 MSE of phase difference estimation versus SNRs

2.2 不同信號(hào)長度條件下的仿真實(shí)驗(yàn)

圖4 不同信號(hào)長度條件下的相位差估計(jì)誤差Fig.4 MSE of phase difference estimation versus N

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知：受信號(hào)非整周期采樣的影響，互相關(guān)法和Hilbert變換法的相位差估計(jì)誤差呈周期衰減振蕩趨勢：HT方法相位差估計(jì)誤差的振蕩周期約為2π/ω，且當(dāng)信號(hào)頻率Νω/(2π)≈m(m為整數(shù))，即采樣信號(hào)接近整周期采樣時(shí)，Hilbert變換方法的相位差估計(jì)誤差較小。由于互相關(guān)法的互相關(guān)信號(hào)誤差項(xiàng)為倍頻信號(hào)的累加和，所以其相位差估計(jì)誤差的振蕩周期約為π/ω，為Hilbert變換方法相位差估計(jì)誤差的振蕩周期的一半。本文方法和數(shù)據(jù)延拓式相關(guān)法的相位差估計(jì)精度隨著信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)的增加不斷提高，幾乎不受信號(hào)非整周期采樣的影響，且本文方法的相位差估計(jì)精度明顯好于數(shù)據(jù)延拓式相關(guān)法的相位差估計(jì)精度。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法對(duì)提高科氏流量計(jì)計(jì)量精度的實(shí)際貢獻(xiàn)，利用課題組自制的科氏流量計(jì)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行流量測量實(shí)驗(yàn)。選用的科氏流量計(jì)為RHEONIK科氏流量計(jì)，其變送器型號(hào)為RHE08型，流量計(jì)振動(dòng)信號(hào)的頻率約為146 Hz，采樣頻率為10 kHz，信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為2 000，質(zhì)量流量測量范圍為1.0～13 kg/min，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 不同流量條件下的時(shí)間差估計(jì)值Tab.1 Estimated time delays under different flow rates

由表1可知，本文方法的時(shí)間差估計(jì)值更接近于時(shí)間差理論值，優(yōu)于互相關(guān)法、Hilbert變換法和數(shù)據(jù)延拓式相關(guān)法，尤其是互相關(guān)法和數(shù)據(jù)延拓式相關(guān)法，說明本文方法能夠有助于改善相位差估計(jì)精度，提高科氏流量計(jì)的計(jì)量精度。

4 結(jié)論

為提高非整周期采樣條件下的相位差估計(jì)精度，本文提出了一種非整周期采樣信號(hào)相位差估計(jì)的相頻匹配方法。該方法通過分段Hilbert變換有效抑制了Hilbert變換的端點(diǎn)效應(yīng)，克服了信號(hào)非整周期采樣對(duì)相位差估計(jì)的影響；通過互相關(guān)信號(hào)和自相關(guān)信號(hào)獲得互相關(guān)函數(shù)，利用互相關(guān)函數(shù)的相位加權(quán)平均改善了相位差估計(jì)的抗噪性能，提高了相位差估計(jì)精度。仿真實(shí)驗(yàn)和科氏流量計(jì)流量測量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)越性和有效性。

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Phase and frequency matching based phase difference estimation method for non-integer periods sampling signals

TU Yaqing1， SHEN Yanlin1,2， SHEN Ting’ao1， CHEN Baoxin1

(1.Department of Information Engineering，Logistical Engineering University，Chongqing 401311，China;2.Military Traffic and Transportation Department, Logistics College of CAPF, Tianjin 300000，China)

To improve the precision and anti-interference performance of phase difference estimation for non-integer periods sampling signals, a phase and frequency matching based phase difference estimation method was proposed. The phase difference estimation was obtained by means of the segmented Hilbert transform to suppress the effect of non-integer periods sampling sinusoidal signals on the Hilbert transform. The simulation results demonstrate that compared with the methods of cross-correlation, Hilbert transform and data extension-based correlation, the proposed method has better phase difference estimation performance for non-integer periods sampling signals in terms of its estimation precision and anti-interference performance. Its phase difference estimation errors are closer to Cramer-Rao lower bound (CRLB). The measurement experiments on the flow rates of Coriolis mass flowmeter validate the effectiveness of the proposed method.

phase difference estimation; phase and frequency matching; non-integer periods sampling; segmented Hilbert transform

國家自然科學(xué)金(61271449；61302175)；重慶市自然科學(xué)基金(CSTC2015jcyjBX0017)；重慶市研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CYB14100)

2015-08-21 修改稿收到日期： 2016-01-31

涂亞慶 男，博士，教授，1963年生

沈艷林 男，博士生，1987年生

TM933.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.06.002