初中教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

劉杰

數(shù)形結(jié)合的思想方法，就是把數(shù)、式與圖形結(jié)合起來(lái)，利用問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形解決實(shí)際問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想。如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中形成數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，形成數(shù)形結(jié)合的思想方法，從某種程度上來(lái)說(shuō)可以決定我們數(shù)學(xué)教學(xué)的成敗。

一、數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的思想方法

“數(shù)形結(jié)合思想就是從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（即以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（即以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想”。數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是“就是將抽象的語(yǔ)言和直觀的圖形（幾何性質(zhì)）結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化”。在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合方法所表現(xiàn)出來(lái)的思路上的靈活、過(guò)程上的簡(jiǎn)便、方法上的多樣化是一目了然的。

初中是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)萌發(fā)及形成的初期，在各年級(jí)各階段，適當(dāng)?shù)貪B透、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)學(xué)生的形象思維與抽象思維的形成、融合，以及對(duì)學(xué)生的邏輯思維的深化都有著重要的意義；同時(shí)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，深入淺出地、直觀地揭示知識(shí)的內(nèi)涵，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象生動(dòng)、直觀具體，使學(xué)生感到易學(xué)、樂(lè)學(xué)，激發(fā)其求知欲也都有重要意義。因此，數(shù)形結(jié)合解題方法是初中生應(yīng)掌握的一種重要思想方法，因而我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)工作中，必須認(rèn)真細(xì)致地運(yùn)用和落實(shí)數(shù)形結(jié)合的思想方法，以逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和形象思維能力。

二、“數(shù)缺形，不直觀；形缺數(shù)。難入微”

可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，就是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，它是指把代數(shù)的精確刻畫與幾何的形象直觀相統(tǒng)一，將抽象思維與形象直觀相結(jié)合的一種思想方法。它能讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例如右圖，寬為50cm的長(zhǎng)方形形圖案由10個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成，其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為（ ）。

分析：根據(jù)圖中蘊(yùn)含的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的數(shù)量關(guān)系，可列出長(zhǎng)與寬關(guān)系的二元一次方程組，進(jìn)而求出每一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬和面積。

解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，

幾何圖形在數(shù)學(xué)中所具有的最大的優(yōu)勢(shì)就是直觀易懂，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”思想時(shí)，就更偏好于“以形助數(shù)”的方法，利用幾何圖形解決相關(guān)不易求解的代數(shù)問(wèn)題。幾何圖形直觀的運(yùn)用于代數(shù)中主要體現(xiàn)在幾個(gè)方面：①利用相關(guān)的幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：完全平方公式與平方差公式；②利用數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，進(jìn)而幫助求解相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，或者簡(jiǎn)化相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算。

三、逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的意識(shí)。提高解決問(wèn)題的能力

每個(gè)學(xué)生在日常生活中都具有一定的圖形知識(shí)，如繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度，溫度計(jì)與其上面的溫度，我們每天走過(guò)的路線可以看作是一條直線，教室里每個(gè)學(xué)生的坐位等。數(shù)學(xué)源于生活，合理利用生活中數(shù)學(xué)資源，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，利用教材提供的每一個(gè)機(jī)會(huì)，把握好滲透的契機(jī)。如數(shù)與數(shù)軸，一對(duì)有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標(biāo)系，一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖像，二元一次方程組的解與一次函數(shù)圖像之間的關(guān)系，一元二次方程與二次函數(shù)圖像的關(guān)系等，都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好機(jī)會(huì)。

如教學(xué)七年級(jí)數(shù)學(xué)有理數(shù)和八年級(jí)實(shí)數(shù)這些內(nèi)容時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)進(jìn)行教學(xué)會(huì)取得可喜的教學(xué)效果。直線是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)也有無(wú)數(shù)個(gè)，因?yàn)樗鼈兊倪@個(gè)共陛所以用直線上無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)來(lái)表示實(shí)數(shù)，這時(shí)就把一條直線規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度，把這條直線就叫做數(shù)軸。建立了數(shù)與直線上的點(diǎn)的結(jié)合。即：數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，每個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的點(diǎn)，建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此讓學(xué)生進(jìn)一步理解了相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義。建立數(shù)軸后及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸來(lái)進(jìn)行有理數(shù)的比較大小，學(xué)生通過(guò)觀察、分析、歸納總結(jié)得出結(jié)論：通常規(guī)定右邊為正方向時(shí)，在數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，右邊的總大于左邊的，正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)。讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用。為下面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想奠定基礎(chǔ)。

結(jié)合探索規(guī)律和生活中的實(shí)際問(wèn)題，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，并能在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候注意一些基本原則，如是由形確定數(shù)還是由數(shù)確定形，在探索規(guī)律的過(guò)程中應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進(jìn)行，從而歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論。

四、學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想，化抽象為具體，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂數(shù)形結(jié)合就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

數(shù)形結(jié)合的結(jié)合思想主要體現(xiàn)在以下幾種：①用方程、不等式或函數(shù)解決有關(guān)幾何量的問(wèn)題；②用幾何圖形或函數(shù)圖像解決有關(guān)方程或函數(shù)的問(wèn)題；③解決一些與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問(wèn)題；④以圖像形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問(wèn)題。

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用往往能使一些復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了，將抽象的數(shù)學(xué)形象化。另一方面在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

數(shù)形結(jié)合的思想在教學(xué)中的應(yīng)用，一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺(jué)的啟示。另一方面，將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開辟了一條重要的途徑。

數(shù)形結(jié)合的思想是一種高層次的思維活動(dòng)，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的一種創(chuàng)造性思維?！坝^察、歸納、猜想”型探索性問(wèn)題，使學(xué)生以“數(shù)學(xué)家”的角色，置身于猜想、發(fā)現(xiàn)的情境之中，這類問(wèn)題對(duì)開拓思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和探索能力大有裨益。