基于小樣本數(shù)據(jù)的構(gòu)件疲勞破壞全壽命區(qū)S—N曲線

盛興旺，鄭緯奇，雷佶洲,2

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙　410075；2.中交城市軌道交通設(shè)計研究院有限公司，湖北 武漢　430056)

S—N曲線模型是描述在給定平均應(yīng)力、最小應(yīng)力或應(yīng)力比的情況下，最大應(yīng)力或應(yīng)力幅與疲勞壽命的關(guān)系，一般用于表征材料或構(gòu)件的疲勞性能[1]。目前，國內(nèi)外相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中采用的S—N曲線模型主要有以下4種：①單對數(shù)線性模型，即S—lgN模型，如圖1(a)所示，GB/T 24176—2009《金屬材料疲勞試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計方案與分析方法》[2]中采用了該模型，該模型主要適用于構(gòu)件疲勞破壞的中等壽命區(qū)；②雙對數(shù)線性模型，即lgS—lgN模型，如圖1(b)所示，JGJ/T 27—2014《鋼筋焊接接頭試驗方法標(biāo)準(zhǔn)》[3]中采用了該模型，該模型主要適用于構(gòu)件疲勞破壞的中等壽命區(qū)；③雙對數(shù)多折線模型，即lgS—lgN兩段或三段折線模型，如圖1(c)所示，BS—EN 1993-1-9-2005《Eurocode 3:Design of Steel Structures—Part 1—9:Fatigue》[4]中采用該模型，該模型用于構(gòu)件疲勞破壞的中、長壽命區(qū)；④三參數(shù)冪函數(shù)模型，即P—S—lgN模型，如圖1(d)所示，MIL-HDBK-5J《Metallic Materials and Elements for Aerospace Vehicle Structures》[5]中采用了該模型，該模型主要用于構(gòu)件疲勞破壞的中、長壽命區(qū)。其中，單對數(shù)線性模型和雙對數(shù)線性模型使用方便，概念清晰，求解簡單，但其不適用于構(gòu)件疲勞破壞的長壽命區(qū)；雙對數(shù)多折線模型和三參數(shù)冪函數(shù)模型雖適用于構(gòu)件疲勞破壞的中、長壽命區(qū)，但表達形式復(fù)雜，使用不便。本文擬結(jié)合各模型的優(yōu)點，建立適用于構(gòu)件疲勞破壞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線。

S—N曲線通常通過標(biāo)準(zhǔn)試件的疲勞試驗得到。目前，疲勞試驗存在多種試驗方法，在傳統(tǒng)的疲勞試驗中常采用成組試驗法，即在某一指定應(yīng)力(或應(yīng)變)水平下根據(jù)1組試樣的多個試驗結(jié)果測定構(gòu)件的疲勞壽命，由此得到構(gòu)件的S—N曲線。此法一般適用于構(gòu)件疲勞破壞的中、短壽命區(qū)，但所需試驗樣本較多，試驗成本高。為盡量降低試驗成本，本文以閃光對焊連接的直徑為16 mm的HRB400高強鋼筋為例，采用單點試驗法進行疲勞試驗，合理控制試驗樣本數(shù)量，研究在小樣本數(shù)據(jù)空間下能夠用于構(gòu)件疲勞破壞全壽命區(qū)的S—N曲線計算方法。

1　疲勞試驗及結(jié)果

圖1　S—N曲線模型

本文疲勞試驗采用閃光對焊連接的直徑16 mm的HRB400高強鋼筋作為標(biāo)準(zhǔn)試件(以下簡稱試件)，其試驗應(yīng)力比取為0.2，試驗加載的最大應(yīng)力為320 MPa，是HRB400高強鋼筋屈服強度的0.8倍。試驗過程中加載應(yīng)力依次降低，其中在試驗的加載高應(yīng)力區(qū)，加載應(yīng)力約按5%的幅度依次降低，在試驗的加載低應(yīng)力區(qū)(接近疲勞極限時)，為滿足升降法要求，加載應(yīng)力約按1%幅度進行升降[6]?？紤]到目前在我國現(xiàn)行規(guī)范[7]中大多只研究構(gòu)件的200萬次疲勞壽命，而在實際工程中部分構(gòu)件的疲勞壽命遠(yuǎn)高于此[8]，因此有必要對構(gòu)件的中、長疲勞壽命進行重點研究。在常規(guī)疲勞試驗中，一般規(guī)定在荷載作用107次時，試樣不出現(xiàn)疲勞破壞則認(rèn)為其可承受無限次荷載的循環(huán)作用[9]，為探索適用于疲勞破壞全壽命區(qū)的S—N曲線，本試驗的疲勞荷載循環(huán)次數(shù)達到107次。

試驗用試件由國家建筑鋼材質(zhì)量監(jiān)督檢驗中心進行統(tǒng)一取樣。閃光對焊由現(xiàn)場焊接工人按實際施工要求進行焊接，不對焊接接頭進行任何后續(xù)加工，疲勞試驗試件共計26根。試驗用高頻疲勞試驗機為GPS350高頻疲勞試驗機，如圖2所示。直徑16 mm的閃光對焊連接HRB400高強鋼筋標(biāo)準(zhǔn)試件的疲勞試驗結(jié)果匯總見表1。

圖2　高頻疲勞試驗系統(tǒng)

疲勞試驗過程中，當(dāng)試件在夾具內(nèi)或距離夾具末端小于一倍鋼筋直徑范圍內(nèi)發(fā)生斷裂時，該試驗結(jié)果視為無效[3]。疲勞試驗中有效試件25根，無效試件1根。試驗的成功率較高，試驗結(jié)果可靠，可用于試件疲勞破壞全壽命區(qū)S—N曲線的研究。

表1　疲勞試驗結(jié)果

2　適用于疲勞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線的確定

本文提出的適用于疲勞破壞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線，其疲勞破壞中、短壽命區(qū)的S—N曲線采用斜率較大的線段表示(以下簡稱“第1段折線”)；而疲勞破壞長壽命區(qū)的S—N曲線采用斜率較小的線段表示(以下簡稱“第2段折線”)。

2.1　雙對數(shù)雙折線S—N曲線的第1段折線

2.1.1疲勞試驗值的取舍

(1)

表2　t(n1)函數(shù)取值表

2.1.2基于一元線性回歸的S—N曲線第1段折線求解

本文適用于構(gòu)件疲勞破壞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線的第1段折線方程是基于一元線性回歸原理確定的，以應(yīng)力幅S為自變量，疲勞荷載循環(huán)次數(shù)N為因變量，即

x=a1+b1y

(2)

其中，y=lgS，x=lgN

式中：a1和b1為回歸參數(shù)。

(3)

其中，

從表1的疲勞試驗結(jié)果可以看出，編號為11的試件為首個疲勞荷載循環(huán)作用次數(shù)達到107次且未發(fā)生破壞的試件。由此，取該試件編號之前的試件(編號1—編號10)的試驗數(shù)據(jù)作為雙對數(shù)雙折線S—N曲線第1段折線的原始數(shù)據(jù)點，排除其中無效的試驗數(shù)據(jù)(在夾具內(nèi)或距離夾具末端小于1倍該鋼筋直徑范圍內(nèi)破壞的試件的試驗結(jié)果)后，采用改進的肖維奈準(zhǔn)則進行篩選?；谝辉€性回歸原理，建立一元線性回歸模型，得到：

x=14.94-3.98y

即lgN=14.94-3.98lgS

(4)

其中，相關(guān)系數(shù)R2=0.747。

2.2　雙對數(shù)雙折線S—N曲線的第2段折線

2.2.1基于升降法求解疲勞強度

當(dāng)利用升降法求解試樣的疲勞強度時，對被測各個試樣按照其試驗加載的最大應(yīng)力值由小到大順序排序，即S1≤S2≤…≤Sn3，相鄰應(yīng)力水平的失效與未失效試件組成升降法配對子。對疲勞強度的統(tǒng)計分析按正態(tài)分布估計參數(shù)，即

(5)

其中，

2.2.2基于三參數(shù)冪函數(shù)的S—N曲線第2段折線求解

在構(gòu)件的疲勞破壞中、長壽命區(qū)，由于其疲勞壽命和應(yīng)力幅已逐漸呈非線性關(guān)系，因此本文采用三參數(shù)冪函數(shù)模型以更能準(zhǔn)確地描述該特性，其模型為

N(S-S0)β=α

(6)

式中：S0為三參數(shù)冪函數(shù)模型中的擬合疲勞極限強度；α，β均為待定系數(shù)。

根據(jù)文獻[11]：對式(6)兩邊取對數(shù)得lgN+βlg(S-S0)=lgα， 取X=lgN，Y=lg(S-S0)，l=lgα,m=-β，則X=l+mY。由此變量X和Y之間呈線性關(guān)系，可以根據(jù)1組疲勞試驗數(shù)據(jù)(Ni,Si)，i=1,2,…,n，通過式X=lgN,Y=lg(S-S0)求得相應(yīng)的1組數(shù)據(jù)(Xi,Yi)，i=1,2,…,n，再由線性回歸分析確定出待定參數(shù)l，m和相關(guān)系數(shù)R2。由此可以確定三參數(shù)冪函數(shù)模型的曲線方程。曲線方程確定后，其上任一點的切線斜率即可得到，具體為對式(6)進行求導(dǎo)，經(jīng)過一系列化簡可得

(7)

首先，基于升降法得到標(biāo)準(zhǔn)試件對應(yīng)107次疲勞荷載循環(huán)作用的疲勞強度，本文將此值作為該類試件材料的疲勞極限強度。然后，根據(jù)其三參數(shù)冪函數(shù)S—N曲線方程，確定對應(yīng)107次疲勞荷載循環(huán)作用時的三參數(shù)常函數(shù)曲線方程上對應(yīng)點的切線斜率。由此知該直線斜率和直線過某一定點，則該直線方程唯一確定，此即為雙對數(shù)雙折線S—N曲線的第2段折線方程。

本文取編號1—編號10試件的試驗數(shù)據(jù)為確定雙對數(shù)雙折線S—N曲線第1段折線的原始數(shù)據(jù)，則其余試驗數(shù)據(jù)(編號11—編號26)為確定雙對數(shù)雙折線S—N曲線第2段折線的原始數(shù)據(jù)。由確定第2段折線的原始數(shù)據(jù)可知，有9個試樣發(fā)生疲勞破壞，7個試樣未發(fā)生疲勞破壞，用其中未發(fā)生破壞的試件試驗數(shù)據(jù)與各相鄰的發(fā)生疲勞破壞的試件試驗數(shù)據(jù)組成1對升降法配對子，共計組成8個配對子，見表3(表中相鄰的X和O組成1個配對子)。升降法共計6個應(yīng)力水平，S1=192 MPa，應(yīng)力臺階d=4 MPa。

表3　升降法配對表

注：X表示發(fā)生疲勞破壞，O表示未發(fā)生疲勞破壞，X*表示未參與計算。

x=77.02-31.73y

即lgN=77.02-31.73lgS

(8)

2.3　適用于疲勞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線方程

聯(lián)立上述雙對數(shù)雙折線S—N曲線的第1段折線方程式(4)和第2段折線方程式(8)，得到適用于疲勞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線，即為由式(4)和式(8)組成的分段函數(shù)，其分段點即為兩段折線方程的交點(x0,y0)。綜上，基于小樣本空間的適用于試件的全壽命區(qū)S—N曲線方程為

(9)

式中：N0=10x0

進而可得到

(10)

由式(10)得到的應(yīng)力比為0.2的試件全壽命區(qū)雙對數(shù)雙折線S—N曲線，如圖3所示。

圖3　雙對數(shù)雙折線S—N曲線

3　適用于疲勞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線可靠性分析

引入置信度和可靠度對上述雙對數(shù)雙折線S—N曲線進行分析。置信度是指總體參數(shù)值落在樣本統(tǒng)計值某一區(qū)間內(nèi)的概率[2]，本文用γ表示；可靠度(即存活率)是指1個零件(系統(tǒng))在規(guī)定的環(huán)境和工作條件下，在試驗標(biāo)準(zhǔn)期間完成用戶期望功能的概率[12]，本文用P表示。

3.1　第1段折線可靠性分析

大量研究表明[1-2,10]，疲勞壽命服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的表達式為

(11)

式中：μ為平均值，σ2為方差。

正態(tài)分布母體中樣本可靠度(存活率)P的表達式為

(12)

其中，xp=μ+upσ

式中：xp為對應(yīng)存活率P的百分位值，代表疲勞安全強度；up為與可靠度相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量，可參見正態(tài)分布函數(shù)表。

百分位值xp可由樣本的估計量確定

(13)

表4　標(biāo)準(zhǔn)差修正系數(shù)取值表

在給定置信度γ和可靠度P的條件下，與置信度相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量μγ和與可靠度相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量μp可分別由正態(tài)分布函數(shù)表查得，由此根據(jù)μγ和μp以及試驗觀測值數(shù)量n，可求出單側(cè)容限系數(shù)f，f的近似公式為[1]

(14)

(15)

3.2　第2段折線可靠性分析

(16)

3.3　雙對數(shù)雙折線S—N曲線可靠性分析

本文取可靠度P=97.7%，置信度γ=95%進行分析，其表示形式為P97.7γ95。則根據(jù)式(15)和式(16)可得具有P97.7γ95的適用于構(gòu)件疲勞破壞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線為

(17)

其中，N0,P97.7γ95=10x0,P97.7γ95。

上述雙對數(shù)雙折線S—N曲線第1段折線和第2段折線的交點為(x0,P97.7γ95,y0,P97.7γ95)，具體為

(18)

將式(18)代入式(17)，進而有

(19)

由式(19)得到P97.7γ95時應(yīng)力比為0.2、直徑為16 mm的閃光對焊連接HRB400高強鋼筋在全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線，如圖4所示。

圖4　考慮P97.7γ95時雙對數(shù)雙折線模型S—N曲線

4　結(jié)　語

本文結(jié)合常見S—N曲線的優(yōu)點，提出1種適用于構(gòu)件疲勞破壞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線，并研究在考慮置信度和可靠度時適用于構(gòu)件疲勞破壞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S—N曲線的求解方法。采用單點試驗法對閃光對焊連接的HRB400高強鋼筋試件進行高周疲勞試驗，得到系列小樣本試驗數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上，給出可疑試驗值的取舍方法，提出“改進的肖維奈準(zhǔn)則”并用于不同試驗條件下可疑試驗值的取舍判斷。在給定可靠度P=97.7%和置信度γ=95%的情況下，給出了應(yīng)力比為0.2、直徑為16 mm的閃光對焊連接的HRB400高強鋼筋試件的全壽命區(qū)雙對數(shù)雙折線S—N曲線。

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