小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)注意三個(gè)問(wèn)題

朱貴璽

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)際上是依據(jù)學(xué)生的年齡和思維特點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境抽象出直觀數(shù)學(xué)模型，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解釋、驗(yàn)證一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而體會(huì)模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值和作用，感悟一些解決問(wèn)題的策略和思想方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和解決日常生活中的問(wèn)題，形成靈活、合理的數(shù)學(xué)思維方式，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐和反思，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中要做到以下幾點(diǎn)。

一、準(zhǔn)確把握學(xué)生數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更多地依靠生活經(jīng)驗(yàn)與幾何直觀。因此在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，應(yīng)該以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和思維特點(diǎn)為基礎(chǔ)，準(zhǔn)確定位、科學(xué)設(shè)計(jì)，從數(shù)學(xué)的角度引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出直觀模型，為學(xué)生深入開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1.問(wèn)題設(shè)計(jì)有科學(xué)性

小學(xué)階段實(shí)施數(shù)學(xué)建模教學(xué)，首先要解決的是問(wèn)題設(shè)計(jì)。因?yàn)橐粋€(gè)好的問(wèn)題，可以喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在觀察操作、合作交流、歸納反思中不斷碰撞出思維的火花，重組自己的認(rèn)知機(jī)構(gòu)，形成新的知識(shí)體系。建模教學(xué)中的問(wèn)題設(shè)計(jì)要滿足以下要求：現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境是學(xué)生熟悉或者經(jīng)歷過(guò)的，問(wèn)題中的數(shù)學(xué)信息比較清晰，能夠喚醒學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，問(wèn)題應(yīng)是學(xué)生感興趣的新問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程具有開(kāi)放性，問(wèn)題對(duì)學(xué)生有一定的吸引力。如蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“數(shù)字與信息”一課，先從生活中一些常見(jiàn)的數(shù)字編碼入手（固定電話號(hào)碼、門牌號(hào)及火車車次等），讓學(xué)生初步感受數(shù)字編碼在生活中的原型。接著以自己及家庭成員的身份證為問(wèn)題設(shè)計(jì)的開(kāi)始，讓學(xué)生在觀察比較中認(rèn)識(shí)身份證數(shù)字編碼的基本情況。然后以為全班同學(xué)設(shè)計(jì)編號(hào)為模型應(yīng)用，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型的實(shí)際價(jià)值。最后，讓學(xué)生進(jìn)一步回顧整個(gè)建模教學(xué)的過(guò)程，總結(jié)數(shù)字編碼表達(dá)信息的好處，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的興趣和意識(shí)。

2.情境選擇要合理化

小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)還要解決問(wèn)題情境合理化引入的問(wèn)題。因?yàn)樾W(xué)階段的一些知識(shí)，受小學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的限制，不能直接用數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯說(shuō)明，只好利用一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題引入和說(shuō)明。在實(shí)際教學(xué)中，需要教師準(zhǔn)確利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，合理地設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去探究、解決問(wèn)題的興趣。如蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課，一位教師在教學(xué)中是這樣的引入：“已知7-5=2，7-7=0，那么7-9=？”由于教師在引入過(guò)程中創(chuàng)設(shè)的是購(gòu)物付錢的情境，所以很多學(xué)生最后得出了“欠2”的結(jié)論，這時(shí)教師適度揭示本課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)的模型逐漸過(guò)渡到數(shù)學(xué)直觀模型。這樣的問(wèn)題情境不僅簡(jiǎn)練，而且激發(fā)了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣。

3.知識(shí)定位要多樣化

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)主要有以下三種情況：一是純屬數(shù)學(xué)內(nèi)部的規(guī)定，不需要從生活原型引入；二是先從現(xiàn)實(shí)原型引入，然后從數(shù)學(xué)內(nèi)部揭示知識(shí)建構(gòu)的整個(gè)過(guò)程；三是先在數(shù)學(xué)范圍內(nèi)討論，然后應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中。我們?cè)诮＝虒W(xué)的開(kāi)始就要先對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行定位，根據(jù)不同的情況具體內(nèi)容具體處理，避免一刀切、模式化，流于形式，出現(xiàn)異化。如蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)“正反比例”的概念，在教學(xué)之前，應(yīng)該定位它的呈現(xiàn)方式。因?yàn)樗且淮魏瘮?shù)、負(fù)一次函數(shù)的特例，我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中，應(yīng)該選擇第二種呈現(xiàn)方式，從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題問(wèn)題情境入手。又如蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“混合運(yùn)算”一課，整數(shù)四則混合運(yùn)算的順序是“先算乘、除，再算加、減”。對(duì)此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該有這樣的教學(xué)定位：今后教學(xué)中還要引進(jìn)括號(hào)，因?yàn)橛幸恍?shí)際問(wèn)題，需要“先加、減，后乘、除”，所以應(yīng)該選擇第一種呈現(xiàn)方式。再如蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)和倍數(shù)”一課，如果從現(xiàn)實(shí)原型引入，就會(huì)增加學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，只能先在數(shù)學(xué)范圍內(nèi)研究和討論，從中發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)，然后利用這些特點(diǎn)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。這樣的教學(xué)定位更符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)踐中會(huì)產(chǎn)生較好的教學(xué)效果。

二、精心組織學(xué)生數(shù)學(xué)建模的過(guò)程

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模教學(xué)，需要教師通過(guò)一些數(shù)學(xué)化的訓(xùn)練策略，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境進(jìn)行抽象概括，總結(jié)歸納出它的數(shù)學(xué)直觀模型，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)明、表達(dá)、解釋數(shù)學(xué)模型的價(jià)值和意義。在這一過(guò)程中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用結(jié)構(gòu)化、系列化、一般化的思維方式推理和抽象，進(jìn)而選擇正確的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能加以靈活應(yīng)用。

1.學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)化的眼光觀察

所謂數(shù)學(xué)化的眼光，主要是指教師引導(dǎo)學(xué)生從眾多的問(wèn)題信息中，準(zhǔn)確地捕捉具有建模意義的、可操作的數(shù)學(xué)信息，并能夠利用學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維。這種數(shù)學(xué)化其實(shí)就是一種數(shù)學(xué)直觀思維，是建立在細(xì)致的數(shù)學(xué)觀察基礎(chǔ)上的一種基本思維方式，它是學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模不可或缺的能力基礎(chǔ)，需要在日常教學(xué)中根據(jù)級(jí)段的不同有意識(shí)地逐步培養(yǎng)。如在四年級(jí)學(xué)習(xí)了“垂直和平行”以后，讓學(xué)生觀察教室中的四個(gè)墻角，分別有幾條垂線？幾條平行線？學(xué)生在觀察完一個(gè)墻角的基礎(chǔ)后，對(duì)比發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)墻角中還有垂線和平行線，繼續(xù)深入觀察，發(fā)現(xiàn)相對(duì)的兩個(gè)墻角也有平行情況出現(xiàn)。在觀察對(duì)比的基礎(chǔ)上學(xué)生思維空間由兩維到三維逐漸拓展，這里數(shù)學(xué)化的觀察體現(xiàn)的漓淋盡致。

2.學(xué)會(huì)用結(jié)構(gòu)化的思維進(jìn)行訓(xùn)練

所謂結(jié)構(gòu)化的思維，主要是指學(xué)生在建模教學(xué)中能夠從現(xiàn)實(shí)原型抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并且能夠掌握數(shù)量關(guān)系的主干，形成以簡(jiǎn)馭繁的思路，在實(shí)際教學(xué)中往往會(huì)產(chǎn)生“舉一反三”的效果。比如在“列方程解決問(wèn)題”的教學(xué)中，可以先出示基本題“學(xué)生栽樹(shù)，前5天每天栽125棵，后3天每天栽95棵。一共栽了多少棵？”學(xué)生解答完畢后，教師提出改編要求：請(qǐng)改編成求已知條件的問(wèn)題。學(xué)生對(duì)于基本題中原來(lái)的條件和問(wèn)題進(jìn)行了充分的分析，發(fā)現(xiàn)無(wú)論怎樣變化，基本題的數(shù)量關(guān)系就好比是大樹(shù)的主干，是學(xué)生改編成列方程解決問(wèn)題的根本。最后，教師在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出本題的數(shù)量關(guān)系：五個(gè)不同的實(shí)際問(wèn)題具有結(jié)構(gòu)性的內(nèi)在聯(lián)系，它們的數(shù)量關(guān)系（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）都是“兩積之和”。

3.學(xué)會(huì)用系列化的思維進(jìn)行拓展

所謂系列化的思維，主要是指學(xué)生在建模教學(xué)中能夠?qū)σ呀?jīng)抽象出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變式，讓學(xué)生通過(guò)比較每種情況之間的聯(lián)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)模型概念的認(rèn)知，形成網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成一定的數(shù)學(xué)思想方法。比如蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)“間隔排列”一課，在學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)間隔排列的一般規(guī)律（植樹(shù)問(wèn)題的模型）后，教師提出問(wèn)題：“把□與○一個(gè)隔一個(gè)地排成一行，如果□有6個(gè)，○最少需要多少個(gè)？最多需要多少個(gè)？”通過(guò)擺一擺、畫(huà)一畫(huà)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)模型的其他變式：（1）兩端物體如果都是□，則○有6-1=5（個(gè)）；（2）兩端物體不同，如果分別是□與○，則○有6個(gè)。至此，教師沒(méi)有停止，而是繼續(xù)提問(wèn)：如果把○放在前面呢？可能會(huì)出現(xiàn)哪些情況？學(xué)生拿出學(xué)具拼一拼、擺一擺，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵，最后教師幫助學(xué)生梳理總結(jié)一下數(shù)學(xué)模型的各種情況。這樣的教學(xué)可以最大限度地整合各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成問(wèn)題鏈，形成系列化的思維拓展資源，幫助學(xué)生建構(gòu)自己的知識(shí)體系。

4.學(xué)會(huì)用一般化的思維進(jìn)行概括

所謂一般化的思維，主要指學(xué)生在建模教學(xué)中能夠從一個(gè)問(wèn)題的解決，總結(jié)概括出一類問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型，并且能夠進(jìn)行推廣應(yīng)用。這是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直忽視和欠缺的一個(gè)問(wèn)題。究其根源，主要是我們常常低估小學(xué)生的潛能，對(duì)于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)認(rèn)識(shí)不到位，所以在很多需要我們進(jìn)行一般化教學(xué)處理的時(shí)候，大部分教師往往選擇放棄。其實(shí)，一般化的教學(xué)處理往往能夠讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。比如蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“用字母表示數(shù)”的練習(xí)課，教師出示情境圖：每個(gè)足球a元，5個(gè)足球一共（ ）元？學(xué)生得出5a元后，教師將情境圖去掉，你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)5a還可以表示什么嗎？大部分學(xué)生能夠結(jié)合自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，用具體的數(shù)量說(shuō)明問(wèn)題。最后，教師組織學(xué)生總結(jié)出這樣的數(shù)量關(guān)系就是“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”。在一般化教學(xué)理念的指引下，我們可以進(jìn)一步推廣：還可以找到類似的數(shù)量關(guān)系嗎？你能用一個(gè)具體的式子表示嗎？學(xué)生很快就可以說(shuō)出“總量=每份量×份數(shù)”“工作總量=功效×?xí)r間”等。實(shí)踐表明，這樣的教學(xué)處理，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)，也有助于學(xué)生初步形成模型思想。

三、優(yōu)化促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

學(xué)生建模學(xué)習(xí)的落腳點(diǎn)最終要回到應(yīng)用中，所以，在建模教學(xué)中必須重視學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題求解的應(yīng)用，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成一些解決問(wèn)題的基本策略，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值。

1.在應(yīng)用過(guò)程中注重培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中常用的語(yǔ)言表現(xiàn)形式主要有文字、符號(hào)、圖形三種。隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)以及學(xué)段的升高，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)文字語(yǔ)言逐漸減少，符號(hào)語(yǔ)言增多的趨勢(shì)。因此，在建模應(yīng)用的過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中嘗試用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)、解釋數(shù)學(xué)模型，從而初步培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。在低年級(jí)解決問(wèn)題的教學(xué)中，我們主要讓學(xué)生列一步計(jì)算或者兩步計(jì)算的算式來(lái)解決問(wèn)題，而在中年級(jí)解決問(wèn)題的教學(xué)中，學(xué)生就可以在分步列式計(jì)算的基礎(chǔ)上嘗試列綜合算式解決問(wèn)題，到高年級(jí)解決問(wèn)題的教學(xué)中，則主要讓學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系式直接列綜合算式或者方程解決問(wèn)題。

2.在應(yīng)用過(guò)程中注意培養(yǎng)學(xué)生的方程、函數(shù)思想

3.在應(yīng)用過(guò)程中注意培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力

小學(xué)階段學(xué)生的思維特點(diǎn)以直觀形象思維為主，輔以抽象邏輯思維。所以在應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)該重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生能夠在數(shù)形結(jié)合中體會(huì)模型思想的內(nèi)涵和外延。如六年級(jí)學(xué)生在“數(shù)與形”一課認(rèn)識(shí)三角形數(shù)和正方形數(shù)以后，教師設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)：到苗族旅游參加長(zhǎng)桌宴，1張桌子可以坐6人，兩張桌子可以坐10人，3張桌子可以坐14人。照這樣計(jì)算，如果旅游團(tuán)有50個(gè)人，需要擺多少?gòu)堊雷樱?/p>

思考之后，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)：如果增加1張桌，可多坐4人?？墒情L(zhǎng)桌張數(shù)與人數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系卻比較難找。教師適時(shí)組織學(xué)生列表，數(shù)形結(jié)合后，學(xué)生就可以找出數(shù)量關(guān)系以及各種變式：總?cè)藬?shù)=長(zhǎng)桌張數(shù)×4+2，長(zhǎng)桌張數(shù)=（總?cè)藬?shù)一2）÷4等。由此可見(jiàn)幾何直觀能力在學(xué)生建模應(yīng)用過(guò)程中有著巨大的作用，應(yīng)該被一線教師重視并加以實(shí)踐和應(yīng)用。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模教學(xué)目前依然處在探索階段，我們應(yīng)該激活小學(xué)生的建模潛能，為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)搭建平臺(tái)，促進(jìn)其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的全面提升。

參考文獻(xiàn)

[1] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之八——模型思想（上）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（11）.

[2] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之八——模型思想（下）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（12）.

[3] 王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]