數(shù)學(xué)建模過程中的抽象化原則

吳青

數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，而我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的，也是為了能夠靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決生活中的實(shí)際問題。但事實(shí)上，我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活實(shí)踐之間還存在著一段距離，因?yàn)槲覀冊(cè)跀?shù)學(xué)課堂上所呈現(xiàn)的問題，都不是生活問題的本來面目，而是經(jīng)過一定抽象和概括的數(shù)學(xué)問題，幾乎沒有或者只有很少的無關(guān)干擾信息，所以學(xué)生解決這些問題時(shí)，能夠比較方便地找到所需信息，并順利求解。但是，真正的生活問題含有大量的無關(guān)信息，帶有更多的直觀、形象性，甚至看起來與數(shù)學(xué)似乎沒有絲毫聯(lián)系，此時(shí)就需要我們能夠敏銳地捕捉其中的數(shù)學(xué)信息，將其抽象為數(shù)學(xué)問題，并使之得到解決，這就是數(shù)學(xué)建模的過程。數(shù)學(xué)模型就是對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析、簡(jiǎn)化、抽象后所得出的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它是使用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式以及數(shù)量關(guān)系對(duì)實(shí)際問題簡(jiǎn)化的、本質(zhì)的描述。

在數(shù)學(xué)建模過程中，比較關(guān)鍵的一點(diǎn)就是需要對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析、簡(jiǎn)化，并經(jīng)過一定的抽象，從而得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于具體的生活問題，我們需要根據(jù)不同的實(shí)際情況來進(jìn)行適當(dāng)?shù)某橄蟆Ｏ旅婢鸵蕴K教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“用數(shù)對(duì)確定位置”一課為例，來談?wù)剶?shù)學(xué)建模過程中的抽象化。

一、直覺性

我們?cè)诜治錾顔栴}時(shí)，可以依據(jù)自己的直覺進(jìn)行抽象，其中包括人們默認(rèn)的一些方法和原則。

比如在這節(jié)課的一開始，讓學(xué)生進(jìn)行“心有靈犀猜猜猜”的游戲，出示一排小動(dòng)物，老師指定其中一個(gè)小動(dòng)物的位置（比如小兔）并告訴一位學(xué)生，然后讓他用一個(gè)手勢(shì)告訴其他學(xué)生這個(gè)小動(dòng)物的位置，但是不能說話，看誰能理解他所做出的手勢(shì)，準(zhǔn)確找到這個(gè)小動(dòng)物。這位學(xué)生用手勢(shì)做出了一個(gè)數(shù)字“4”，意思很明確，表示第4個(gè)，幾乎所有的孩子都能明白，是從左往右的第4個(gè)。接下來再出示6×6的小動(dòng)物方陣，同樣指定其中一個(gè)小動(dòng)物并告訴一位學(xué)生，這時(shí)他用兩只手分別做出了4和3的數(shù)字，可是下面的學(xué)生卻出現(xiàn)了不同的理解，得到了好幾個(gè)不同的位置。

在這個(gè)片段中，面對(duì)一排動(dòng)物和一個(gè)動(dòng)物方陣這樣的生活情境，學(xué)生都選擇將小動(dòng)物的位置抽象成一個(gè)或兩個(gè)數(shù)字，這種抽象是自發(fā)的，是在無法用言語表達(dá)時(shí)學(xué)生的直覺。這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的游戲讓學(xué)生在無形之中經(jīng)歷了形象問題抽象化的過程，初步感悟到數(shù)學(xué)建模的思想。而學(xué)生在依據(jù)自己的直覺進(jìn)行抽象時(shí)，都遵循了自己的生活習(xí)慣。當(dāng)只有一排小動(dòng)物時(shí)，我們一般都會(huì)從左往右看，從左往右數(shù)，所以作出的手勢(shì)4就表示從左往右數(shù)第4個(gè)。而當(dāng)小動(dòng)物排成一個(gè)方陣時(shí)，有的學(xué)生類比為一頁書上的漢字，我們?cè)诳磿鴷r(shí)，總是從上往下看，從左往右看，因此，作出的手勢(shì)4和3，其實(shí)表示從上往下第4行，從左往右第3個(gè)，有的學(xué)生類比成排隊(duì)做操，我們會(huì)先數(shù)是第幾列，再數(shù)這一列的第幾個(gè)。因此就出現(xiàn)了不同的理解。

不管是哪一種直覺想法，都是學(xué)生在嘗試著將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，這就是數(shù)學(xué)建模的開始。所以，我們?cè)谟龅缴顔栴}時(shí)，首先可以考慮依據(jù)學(xué)生的直覺，依據(jù)自己的生活習(xí)慣來進(jìn)行抽象。

二、統(tǒng)一性

因?yàn)槊總€(gè)人的生活習(xí)慣不同，直覺思維不同，所以每個(gè)人依據(jù)自己的直覺抽象出來的模型可能與別人并不相同，在與別人交流時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些困難和錯(cuò)誤。但是，數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它應(yīng)該有固定的形態(tài)，應(yīng)該能被所有人理解和接受，而不會(huì)產(chǎn)生歧義。所以，在生活問題抽象的過程中，還必須要注意統(tǒng)一性原則，以便于交流、便于推廣。

比如在這節(jié)課上，針對(duì)剛才第二次猜小動(dòng)物位置時(shí)出現(xiàn)的幾種情況，分別讓學(xué)生說說自己是怎么想的，有的是先行后列，有的是先列后行，有的是從上往下，有的則是從下往上……正是由于大家對(duì)兩個(gè)數(shù)字有著不同的理解，所以得到了不同的位置。接下來，教師讓同桌兩人先商量一下，然后再進(jìn)行游戲，一人比劃，另一人猜，這時(shí)候同桌的兩人都能猜對(duì)。詢問緣由，原來是兩個(gè)人相互之間已經(jīng)約定了一個(gè)規(guī)則，按照規(guī)則來猜，當(dāng)然都能猜對(duì)位置。這比第一次抽象的程度更高，思維的要求也更高。這時(shí)候抽象成的數(shù)學(xué)模型，在兩個(gè)人之間就沒有歧義，是他們共同認(rèn)可的。再進(jìn)一步，怎樣才能讓全班同學(xué)都能一下子就猜對(duì)呢？很簡(jiǎn)單，只要在全班范圍內(nèi)統(tǒng)一一個(gè)規(guī)則，就可以了。

這次抽象，是在個(gè)人直覺抽象的基礎(chǔ)上，在和同伴交流的過程中，為了統(tǒng)一規(guī)則而進(jìn)行的抽象，經(jīng)過這樣的抽象所得出的數(shù)學(xué)模型，就能夠被大家所接受。數(shù)學(xué)家用數(shù)對(duì)來表示位置，也正是規(guī)定了一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)則，這樣大家就能明白一個(gè)數(shù)對(duì)所表示的位置。

三、簡(jiǎn)化性

數(shù)學(xué)是追求簡(jiǎn)約的科學(xué)，力圖用最簡(jiǎn)潔的文字或符號(hào)，來表示復(fù)雜的實(shí)際內(nèi)容。在將實(shí)際問題進(jìn)行抽象時(shí)，同樣需要考慮簡(jiǎn)化性原則。

在這節(jié)課上，為了讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)家所制定的數(shù)對(duì)的規(guī)則，接下來教師出示了教室的座位圖。在教室里，老師站在講臺(tái)的位置觀察下面的學(xué)生，就是按照第幾組第幾個(gè)的方法進(jìn)行描述的，也就是先數(shù)列后數(shù)行。數(shù)學(xué)家們所確定的原則，正和教室里的座位圖一致，所以接下來將教室里的每一位同學(xué)都抽象成一個(gè)圓點(diǎn)，將座位圖抽象成點(diǎn)陣圖，這樣學(xué)生就能理解，為什么數(shù)學(xué)家制定的規(guī)則是先列后行，從前往后數(shù)（在圖上也就是從下往上數(shù)）。

將座位圖抽象成點(diǎn)陣圖，具體的生活場(chǎng)景抽象成了數(shù)學(xué)元素，保持不變的是它們的規(guī)則，但是更加簡(jiǎn)潔了。我們?cè)趯⑸顔栴}進(jìn)行抽象時(shí)，同樣也可以采用這樣的簡(jiǎn)化性原則，去除那些無關(guān)緊要的因素，保留最主要、最根本的內(nèi)容，從而將生活問題所要表達(dá)的內(nèi)容抽象成數(shù)學(xué)問題表達(dá)出來。

接下來，針對(duì)“第4列第3行”這樣的數(shù)對(duì)表述方式，又一次進(jìn)行了簡(jiǎn)化。教師告訴大家，這個(gè)小動(dòng)物方陣中，有些小動(dòng)物將要參加接下來的動(dòng)物運(yùn)動(dòng)會(huì)，你們趕快把它們的位置記錄下來，可不能記錯(cuò)了。于是教師開始報(bào)一串?dāng)?shù)對(duì)，開始的時(shí)候速度很慢，學(xué)生還能把每一個(gè)字都記錄下來，但是接下來報(bào)的速度越來越快，根本就來不及記錄。但是有許多同學(xué)把這些小動(dòng)物的位置準(zhǔn)確地記錄了下來，原來他們都自覺地采用了簡(jiǎn)化原則，只是把表示列和行的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄下來。

教師用這種方法，“逼著”學(xué)生完成了數(shù)學(xué)建模道路上的又一次抽象化。確實(shí)，數(shù)學(xué)家們也是把列和行的兩個(gè)數(shù)據(jù)保留下來組成一個(gè)數(shù)對(duì)，其他那些無關(guān)緊要的文字都不需要了，因?yàn)榇蠹叶贾朗恰跋攘泻笮小?，所以順序上不?huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的理解。至于用小括號(hào)將兩個(gè)數(shù)括起來，則是形式上的表達(dá)方式，為了不和其他數(shù)學(xué)符號(hào)混淆而已，沒有特別的含義。

從這兩個(gè)片斷中可以看出，在把生活問題抽象成數(shù)學(xué)模型時(shí)，簡(jiǎn)化是一個(gè)很不錯(cuò)的方法，可以使抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)潔，更加符合數(shù)學(xué)模型的要求。

四、對(duì)抽象之后的再抽象

數(shù)學(xué)模型是高度抽象的，有時(shí)候一個(gè)模型中可能會(huì)包括許多具體的模型，所以我們?cè)趯?duì)生活問題抽象得出數(shù)學(xué)模型之后，要及時(shí)回顧反思，將其上升到一個(gè)新的高度，更加抽象概括地表達(dá)出來。

在課堂上，抽象出數(shù)對(duì)的模型后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧生活中有哪些地方也用到了類似的表達(dá)方式，結(jié)果發(fā)現(xiàn)飛機(jī)票、國(guó)際象棋棋盤、地球經(jīng)緯線等也是用兩個(gè)數(shù)據(jù)來確定位置。在對(duì)這些具體模型進(jìn)行對(duì)比分析之后，有學(xué)生認(rèn)為，這些方法都是根據(jù)兩條不同的直線相交于一點(diǎn)來確定位置的。這樣，就把這些數(shù)學(xué)模型的共性揭示出來了，由此我們就可以抽象出更為一般的數(shù)學(xué)模型。

接下來教師和學(xué)生又一起回顧分析了一維隊(duì)列和二維點(diǎn)陣中確定位置的方法，發(fā)現(xiàn)在一維隊(duì)列中只用一個(gè)數(shù)據(jù)就可以確定位置，而二維點(diǎn)陣中需要用兩個(gè)數(shù)據(jù)來確定位置，那么在魔方這樣的三維空間中，要確定某一個(gè)小方塊的位置，需要幾個(gè)數(shù)據(jù)呢？通過這樣的反思分析，數(shù)對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型又經(jīng)過了進(jìn)一步的抽象，從而向更一般的數(shù)學(xué)模型發(fā)展。

從上面的分析可以看出，“用數(shù)對(duì)確定位置”這一課在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過程中，經(jīng)歷了四次不同水平的抽象，由低到高逐步展開，層層推進(jìn)，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模過程中抽象化的不同要求。

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]