關(guān)于吉氏習(xí)題集第752題解法的討論

王 素 娟

(閩南理工學(xué)院，福建 石獅 362700)

?

關(guān)于吉氏習(xí)題集第752題解法的討論

王 素 娟

(閩南理工學(xué)院，福建 石獅 362700)

摘要：文章指出了《Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解》一書中第752題在論證中出現(xiàn)的不完善之處，給出了一種新的第752題證明方法，此方法過程完整，簡約明白，易為數(shù)學(xué)分析學(xué)子所接受。

關(guān)鍵詞：連續(xù)；有界；數(shù)列；極限

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.02.030

近年來，東南大學(xué)出版社出版了好幾套吉米多維奇《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》的題解，如毛磊等[1]編著的《Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集全解》，滕加俊[2]主編的《Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選精解》，鄭琴等[3]主編的《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選詳解》。除了鄭琴等人的題解未選第752題外，其他兩書對第752題給出了兩種不同的證法，而且這兩種證法被沿用至今。經(jīng)仔細審視，筆者認為這兩種證法有一些疏漏，應(yīng)予以修補。

現(xiàn)將書中第752題的兩個證法抄錄如下，并加以討論。對于原文中的兩處小問題，筆者直接將其錯誤備注在該行的后面。

原題假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(x0,+∞)是連續(xù)的并且有界，證明對任何一個數(shù)T，能求得序列xn→+∞，使得

(1)

f(T+R)-f(R)>M，

f(2T+R)-f(T+R)>M，

f(nT+R)-f[(n-1)T+R]>M，從而f(nT+R)>(n-1)M+f(R)(注1：此式中的(n-1)應(yīng)改為n)。這與f(x)在(x0,+∞)上有界相矛盾，因此，故存在序列xn→+∞使得

(注2：式中l(wèi)im下方x→+∞應(yīng)改為n→+∞)。

討論1

(1)因為f(x)有界，所以A不會等于+∞；

(2)應(yīng)給出f(x+T)-f(x)<0情況的結(jié)論；

(3)應(yīng)續(xù)補在T<0情況下的論證。

f(x0+2T)-f(x0+T)≥ε1，

f(x0+3T)-f(x0+2T)≥ε1，

f(x0+nT)-f[x0+(n-1)T]≥ε1，

從而f(x0+nT)≥(n-1)ε1+f(x0+T)。這與f(x)在(x0,+∞)內(nèi)有界相矛盾，故必存在自然數(shù)k1，使得|g(k1)|<ε1。

取x1=x0+k1T，則|f(x1+T)-f(x1)|<ε1。然后，取自然數(shù)p2>k1+1，通過考慮g(p2),g(p2+1),…，仿照上面的證明，可得k2>k1+1，使得|g(k2)|<ε2。

討論2

(1)如同證法一，證者仍沒有論證T<0的情況。再者說來，如果T<0，則x0+yT

(2)應(yīng)論證g(y)在(x0,+∞)有無窮個零點和g(1),g(2),g(3),g(4),…都小于零的情況；

(3)在構(gòu)造解的序列時，用了無窮多次反證法。有限次反證法的作用已有共識，至于無窮多次反證法的作用，目前還沒有定論，所以無窮多次反證法最好不用；

(4)在論證過程中一直致力于構(gòu)造解的序列xn=x0+knT(n→∞)，但用原題所提出的“求得序列xn→+∞”這一標準衡量，顯得有些抽象迷離，是求而未得。

下面給出一個新的證法。

證明首先討論T>0的情況。

(i)f(x+T)-f(x)不存在零點時。

因為f(x+T)-f(x)不存在零點，那么恒有f(x+T)-f(x)>0或者f(x+T)-f(x)<0，即f(x+T)>f(x)或f(x+T)

當f(x+T)>f(x)時有

f(x)

f(x+kT)<…，

取自然數(shù)m，使得mT>x0，則由上式得

f(mT)

于是得單調(diào)遞增數(shù)列

(2)

(3)

即為所求。

類似地可以證明當f(x+T)

(ii)f(x+T)-f(x)存在零點且零點有上界的情況。

(iii)f(x+T)-f(x)存在零點且零點無界的情況。

(4)

(5)

討論3根據(jù)此證明，對證法一進行必要的補充和修改，使得證法一能夠成為一個完整的反證法。但按原題“求得序列xn→+∞”的要求，證法一是達不到的，它只能證明這種數(shù)列存在而已，故即使“完整”也不“究竟”。

參考文獻:

[1] 毛磊, 滕興虎, 寇冰煜, 等.Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集全解[M]. 1版. 南京: 東南大學(xué)出版社, 2014: 368-370.

[2] 滕加俊. Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選精解[M]. 2版. 南京: 東南大學(xué)出版社, 2015: 66-67.

[3] 鄭琴, 超穎, 張瑰, 等. 吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選詳解(上冊)[M]. 1版. 南京: 東南大學(xué)出版社, 2011.

DiscussionontheSolutionstotheExercise752inJi’sProblemSet

WANGSu-juan

(MinnanUniversityofScienceandTechnology,Shishi,Fujian362700,China)

Abstract:Itshowsouttheimperfectionsoftheexercise752inthebook“Б.П.JimmyDovichimathematicalanalysisproblemset”,andthengivesoutanewsolutiontotheexercise752.Thissolutioniscompleteandbrief,andwillbeenjoyedbythescholarsofmathematicalanalysis.

Keywords:continuous;bounded;sequence;limit

* 收稿日期：2015-10-31

作者簡介：王素娟，女，福建仙游人，碩士，閩南理工學(xué)院講師，研究方向為圖論。E-mail: 63889375@qq.com

中圖分類號：O171

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2016)02-0124-02

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016-06-08 12:57網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160608.1257.030.html