反射光線沿原路返回兩平面鏡夾角個(gè)數(shù)分析

王偉民 辛存良

（1.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 阜陽 236652；2.山東省陽谷縣西湖中學(xué)，山東 聊城 252311）

從一道幾何光學(xué)題目說起：

例1.如圖1所示，平面鏡OM與ON的夾角為θ，一條平行于平面鏡ON的光線AB經(jīng)過兩個(gè)平面鏡的多次反射后，能夠沿著原來的光路返回，則兩面鏡子之間的夾角θ不可能是

圖1

（A）30°. （B）20°. （C）10°. （D）1°.

分析：如圖2所示，我們作出光線經(jīng)兩個(gè)平面鏡多次反射的光路圖——圖2中作出了3次反射的情形，看下可否通過這3次反射相關(guān)線條之間的角度關(guān)系，來總結(jié)從開始到最終每次反射后反射光線與平面鏡夾角的變化規(guī)律.由于圖2中兩平面鏡的夾角比較大（作圖時(shí)兩個(gè)平面鏡間的夾角設(shè)置很小時(shí)，兩平面鏡之間的區(qū)域較為狹窄，作多次反射的光路圖不方便），所以，光線在兩個(gè)平面鏡內(nèi)經(jīng)過為數(shù)不多的幾次反射后，最后可視為射線的反射光線可能就不再與平面鏡相交了.當(dāng)然，如果兩個(gè)平面鏡的夾角足夠小，開始的入射光線與平面鏡的夾角也足夠小，那么，當(dāng)入射光線射向其中的一個(gè)平面鏡時(shí)，理論上我們可以作出任意多次數(shù)反射的光路圖.

圖2

由光的反射定律“反射角等于入射角”可知，每次反射時(shí)，反射光線和對應(yīng)的入射光線與鏡面的夾角相等，結(jié)合“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”這一規(guī)律（三角形內(nèi)角和定理的推論）可知，圖2中，光線第1次沿平行于平面鏡ON的方向射向平面鏡上的B點(diǎn)發(fā)生反射時(shí)，反射光線BC與鏡面OM的夾角為θ，接下來，光線BC射向平面鏡ON并發(fā)生第2次反射時(shí)，對應(yīng)的反射光線CD與平面鏡ON的夾角為2θ，再次射向平面鏡OM上的D點(diǎn)發(fā)生第3次反射時(shí)，反射光線DE與平面鏡OM的夾角為3θ，……，根據(jù)這一變化規(guī)律將問題推廣至一般情形，便可總結(jié)出下面的結(jié)論——在對應(yīng)反射光線與入射點(diǎn)右側(cè)平面鏡的夾角不大于直角時(shí)，從第一次反射算起，光線發(fā)生第n次反射時(shí)，反射光線與過對應(yīng)入射點(diǎn)的平面鏡的夾角為nθ.

解析：要使平行于平面鏡ON的光線AB經(jīng)過兩個(gè)平面鏡的多次反射后，能夠沿著原來的光路返回，從開始入射考慮，隨著反射次數(shù)遞增，對應(yīng)反射光線與平面鏡夾角逐漸增大的過程中，必須滿足某次入射光線是沿著垂直于平面鏡方向入射，這次反射對應(yīng)的反射光線與平面鏡的夾角為90°.不妨設(shè)這次反射是第n次反射，由上述分析可知nθ=90°，因?yàn)閚是正整數(shù)，所以，兩平面鏡夾角θ必須為90的因數(shù)，而例1給出的4個(gè)選項(xiàng)對應(yīng)的度數(shù)，（A）、（C）、（D）選項(xiàng)對應(yīng)的角度，都能夠去整除90°，都滿足要求，只有（B）選項(xiàng)對應(yīng)的度數(shù)20°不能整除90°，所以，本題的正確選項(xiàng)是（B）.

對例1而言，入射光線沿平行于一個(gè)平面鏡的方向射入，經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射后，最終的反射光線是沿原路返回的，不用說這條反射光線是沿著平行于其中一個(gè)平面鏡的方向射出，我們不禁要問，入射光線平行于平面鏡，最終的反射光線也平行于其中一個(gè)平面鏡的“特殊”光學(xué)現(xiàn)象，只有光線沿原路返回這唯一的情形嗎？

例2.兩個(gè)相交平面鏡鏡面相對，夾角為θ，在兩鏡面之間垂直于兩鏡面的平面內(nèi)，一條光線沿著與某平面鏡平行的方向射向另一個(gè)平面鏡，經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射后，最終恰好沿著與一個(gè)平面鏡平行的方向射出，若θ的度數(shù)為整數(shù)，則滿足條件的θ的個(gè)數(shù)為

（A）12. （B）14. （C）16. （D）18.

分析：能夠發(fā)現(xiàn)，例1給出的物理情形滿足例2所給問題的要求——光線沿平行于一個(gè)平面鏡的方向入射，經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射之后沿原路返回，最終的反射光線一定平行于其中的一個(gè)平面鏡，但是這一情形并非滿足例2所給問題的所有情形.還有一種情形是光線經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射之后，最終的反射光線不沿原路返回但卻仍然與其中一個(gè)平面鏡平行的情況.如圖3所示，光線AB沿平行于平面鏡ON的方向射向平面鏡OM上的B點(diǎn)，由例1所給問題的分析可知，從剛開始入射算起隨著反射次數(shù)的遞增，反射光線與平面鏡所夾的銳角也依次遞增，圖3所示情形中，如果兩個(gè)平面鏡上連續(xù)兩次反射的入射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離恰好相等，不妨設(shè)這相鄰兩次反射的入射點(diǎn)分別為E和F（即圖3中OE=OF），則有∠OEF=∠OFE，由于對稱，光線EF射向平面鏡OM發(fā)生反射，之后經(jīng)兩個(gè)平面鏡多次反射的光路圖跟之前光沿A-B-C-D-E路徑的光路圖關(guān)于∠MON的平分線對稱，因此，最終的反射光線必然沿平行于平面鏡ON的方向射出（圖3中未畫出與入射光線EF對應(yīng)的后續(xù)多次反射的光路圖）.

圖3

解析：最終的反射光線沿原路返回時(shí)，光線在兩個(gè)平面鏡之間反射次數(shù)n與兩個(gè)平面鏡的夾角θ滿足等式nθ=90°，所以，θ的度數(shù)應(yīng)該是90的約數(shù)，而90的約數(shù)有12個(gè)，所以，對應(yīng)的角θ的度數(shù)也有12個(gè)，分別是1°，2°，3°，5°，6°，9°，10°，15°，18°，30°，45°，90°.

當(dāng)最終的反射光線不是沿原路返回但又平行于其中的一個(gè)平面鏡時(shí)，對應(yīng)光路圖的前半部分如圖3所示，完整光路圖如圖4所示.圖4中，設(shè)OE=OF，并設(shè)反射角∠OEF=nθ，則∠MFE=nθ，故有180°-nθ=nθ，所以180°=（2n+1）θ，2n+1為奇數(shù)，θ度數(shù)為整數(shù)，而180的奇數(shù)約數(shù)（除1外）有5個(gè)，分別是3，5，9，15和45，所以，對應(yīng)的θ的度數(shù)也為5個(gè)，分別是60°，36°，20°，12°，2°，由于2°與光線沿原路返回時(shí)得出的角度情形重復(fù)了，所以，滿足條件的θ的總數(shù)應(yīng)為16個(gè)，即本題的正確選項(xiàng)為選項(xiàng)（C）.

圖4

對例2給出的問題而言，如果兩個(gè)平面鏡的夾角度數(shù)不受“是整數(shù)”這一條件的制約，假如夾角可以是任意度數(shù)的話，那么，入射光線沿平行于一個(gè)平面鏡的方向射入，經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射，最終的反射光線沿平行于其中的一個(gè)平面鏡射出對應(yīng)的兩個(gè)平面鏡夾角的度數(shù)，不再是有限的幾個(gè)，而是有無數(shù)個(gè).當(dāng)然，跟例2所給的條件對比，如果兩個(gè)平面鏡夾角度數(shù)的限制條件改變，那么，問題的答案也會隨之變化.

例3.兩個(gè)相交平面鏡鏡面相對，夾角為θ，在兩鏡面之間垂直于兩鏡面的平面內(nèi)，一條光線沿著與某平面鏡平行的方向射向另一個(gè)平面鏡，經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射后，最終的反射光線恰好沿原路返回，若θ的度數(shù)為0.02°的整數(shù)倍，則滿足條件的θ的個(gè)數(shù)為

（A）12. （B）24. （C）36. （D）48.

分析：能夠發(fā)現(xiàn)，與例2相比，例3僅僅是將其中的一個(gè)限制條件“若θ的度數(shù)為整數(shù)”更改為“若θ的度數(shù)為0.02°的整數(shù)倍”，其他條件沒有任何的變化，所以，例3的解題思路和方法與例2相同.

解析：當(dāng)入射光線經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射之后，最終的反射光線沿原路返回時(shí)，由以上分析可知，光線在兩個(gè)平面鏡之間總的反射次數(shù)n與兩個(gè)平面鏡夾角θ之間的關(guān)系式為nθ=90°，因?yàn)棣鹊亩葦?shù)為0.02°的整數(shù)倍，所以，可設(shè)θ=0.02°k（k為正整數(shù)），則有n0.02°k=90°，所以nk=4500，將4500分解質(zhì)因數(shù)得4500=22×32×53，由“因數(shù)個(gè)數(shù)定理”可得，4500的因數(shù)的個(gè)數(shù)等于分解質(zhì)因數(shù)表達(dá)式中各質(zhì)因數(shù)指數(shù)與1的和的乘積，大小為（2+1）（2+1）（3+1）=36，所以，本題的正確選項(xiàng)為（C）.

兩個(gè)鏡面相對的相交平面鏡，在垂直于兩個(gè)鏡面的平面內(nèi)，光線沿平行于一個(gè)鏡面的方向射向另一個(gè)平面鏡，經(jīng)過兩個(gè)平面鏡的多次反射，如果最終的反射光線是沿原路返回，那么，對兩個(gè)平面鏡夾角度數(shù)取值的限制條件不同，滿足反射條件的兩個(gè)平面鏡夾角的個(gè)數(shù)也不盡相同.根據(jù)不同的限制條件，利用三角形內(nèi)角和定理的推論、因數(shù)個(gè)數(shù)定理等數(shù)學(xué)知識并結(jié)合光的反射定律，可以確定滿足條件的兩個(gè)平面鏡夾角度數(shù)的個(gè)數(shù).