一種基于Duffing方程微弱信號(hào)檢測(cè)的盲域消除方法

趙 波， 趙志宏， 楊紹普

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,河北 石家莊 050043)

一種基于Duffing方程微弱信號(hào)檢測(cè)的盲域消除方法

趙 波， 趙志宏， 楊紹普

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,河北 石家莊 050043)

目前微弱信號(hào)的檢測(cè)大多適用于特定頻率的信號(hào)，效率低，而且忽略了待測(cè)信號(hào)初始相位對(duì)檢測(cè)效果的影響，存在盲域，精度低等缺點(diǎn)。針對(duì)這種情況，提出了一種高效率、高精度的盲域消除法和變尺度法結(jié)合的新方法。即使用一組確定的參數(shù)，在分析初始相位對(duì)檢測(cè)效果的影響下，構(gòu)造檢測(cè)方程組，來檢測(cè)未知的微弱信號(hào)。通過實(shí)例驗(yàn)證，相比以前的檢測(cè)方法，此方法的檢測(cè)精度更高，且簡(jiǎn)潔高效。

Duffing方程；盲域消除；微弱信號(hào)

0 引言

針對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)，傳統(tǒng)的方法以時(shí)域和頻域分析為主，例如小波分析和頻譜分析[1-4]等方法，要求信號(hào)有較高的信噪比，且需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，來消除噪聲，局限性很大。雖然消噪可以減少噪聲的干擾，但是在消噪的同時(shí)，也會(huì)損失有用的微弱信號(hào)。隨著非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展和混沌理論研究的深入[5-7]，人們開始利用混沌方法來檢測(cè)微弱信號(hào)。盡早發(fā)現(xiàn)機(jī)械設(shè)備的故障，可以避免重大事故的發(fā)生。機(jī)械設(shè)備早期的故障信號(hào)是非常微弱的，因此有效地檢測(cè)出微弱的故障信號(hào)具有非常重要的意義。不同的設(shè)備具有不同的特征頻率。齒輪和軸承是多數(shù)機(jī)械設(shè)備的重要組成零件，也是故障的多發(fā)區(qū)。齒輪的振動(dòng)頻率和齒數(shù)、轉(zhuǎn)速和重疊系數(shù)有關(guān)，出現(xiàn)故障時(shí)會(huì)產(chǎn)生新的頻率成分，這些都稱為齒輪的特征頻率。早期故障頻率相對(duì)于其它的特征頻率是非常微弱的，因此若是能夠從振動(dòng)信號(hào)中檢測(cè)出微弱的具有特征頻率的故障信號(hào)，就可以診斷出機(jī)械設(shè)備的故障[8]。由于混沌系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的極其敏感性和對(duì)噪聲的免疫性，文獻(xiàn)[9]利用典型的Duffing混沌方程，說明了混沌系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)的原理，文獻(xiàn)[10]研究了混沌對(duì)微弱信號(hào)的放大原理，并通過數(shù)值仿真和電路模擬，驗(yàn)證了微弱信號(hào)非線性放大的優(yōu)越性。文獻(xiàn)[11]更進(jìn)一步地研究了混沌振子在檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí)的可靠性。文獻(xiàn)[12]分析了噪聲對(duì)基于Duffing方程弱信號(hào)檢測(cè)的影響，說明了混沌振子對(duì)噪聲的免疫性。文獻(xiàn)[13]研究了耦合振子對(duì)微弱周期信號(hào)的敏感性和對(duì)噪聲的免疫力。文獻(xiàn)[14]研究了混沌吸引子某方面的特征量，具有量化微弱故障信號(hào)的優(yōu)越性。因混沌系統(tǒng)對(duì)待測(cè)信號(hào)的信噪比要求比較低[11]，這種混沌檢測(cè)方法相對(duì)傳統(tǒng)的檢測(cè)方法，具有不失真和高精度的優(yōu)點(diǎn)。因此利用此方法檢測(cè)微弱信號(hào)具有重要意義。但是，由于混沌系統(tǒng)對(duì)初始值的敏感性[15]，使得系統(tǒng)只能檢測(cè)特定頻率的信號(hào)。若檢測(cè)未知頻率的信號(hào)，需要通過改變方程的參數(shù)來進(jìn)行檢測(cè)。但混沌系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的變化非常敏感，改變參數(shù)會(huì)增加很大的工作量，效率低下。另外由于攝動(dòng)信號(hào)初始相位的影響，信號(hào)檢測(cè)存在盲域。針對(duì)目前檢測(cè)方法效率低、精度低的缺點(diǎn)，提出了一種新的基于Duffing微弱信號(hào)檢測(cè)的盲域消除方法，即構(gòu)造出檢測(cè)方程組，只需改變一個(gè)參數(shù)來檢測(cè)未知頻率的微弱信號(hào)。相比傳統(tǒng)方法，此方法的檢測(cè)范圍大，而且沒有檢測(cè)盲區(qū)，另外通過數(shù)值仿真，分析了驅(qū)動(dòng)信號(hào)初始相位對(duì)閾值的影響，可通過改變驅(qū)動(dòng)信號(hào)的幅值來消除這種影響，使檢測(cè)精度更高。

1 待測(cè)信號(hào)初始相位對(duì)檢測(cè)的影響

典型的Duffing方程具有如下形式

(1)

式中，k為阻尼比；-x+x3為非線性恢復(fù)力項(xiàng)；Adcos(t)驅(qū)動(dòng)信號(hào)；s(t)為檢測(cè)的微弱信號(hào)；n(t)為噪聲信號(hào)。作為典型的混沌方程，Duffing方程具有對(duì)初始條件的敏感性，這可以等價(jià)于對(duì)方程驅(qū)動(dòng)信號(hào)的幅值A(chǔ)d的敏感性。由于非線性恢復(fù)力項(xiàng)的存在，Duffing方程有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，通過系統(tǒng)相圖的改變來判斷待測(cè)的微弱信號(hào)是否存在。

目前檢測(cè)的微弱信號(hào)都是假設(shè)未知信號(hào)相位為零的情況下，實(shí)際生活中幾乎沒有這種理想的信號(hào)，所以此方法存在誤差，因此有必要研究待測(cè)信號(hào)的初始相位對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)的影響。

1.1 在不考慮驅(qū)動(dòng)信號(hào)初始相位時(shí)的檢測(cè)效果

假設(shè)系統(tǒng)的阻尼K=0.5，則臨界幅值A(chǔ)d=0.825，攝動(dòng)信號(hào)幅值為0.8，驅(qū)動(dòng)信號(hào)的初始相位為α，待測(cè)信號(hào)有初始相位φ，待測(cè)信號(hào)幅值h=0.06，其中α，φ∈[-π,π]，則Duffing方程(2)具有如下形式

(2)

如果僅分析φ對(duì)檢測(cè)性能的影響，可以假設(shè)α=0，對(duì)Duffing方程(2)右端的兩項(xiàng)進(jìn)行簡(jiǎn)化得到

(3)

式中，θ=arctan[hsinφ/(0.8+hcosφ)]。

式(3)可以看做是初始方程的驅(qū)動(dòng)項(xiàng)，攝動(dòng)項(xiàng)的初相為θ，在不考慮θ的情況下，對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行分析。對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)的臨界幅值幾乎沒有任何的影響，只是影響軌跡解的初始位置，因此可以不予考慮。對(duì)檢測(cè)效果產(chǎn)生的影響可以進(jìn)一步表示

(4)

若滿足方程(4)則系統(tǒng)相圖發(fā)生相變，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性由混沌向大尺度周期轉(zhuǎn)變，即可以證明與驅(qū)動(dòng)信號(hào)具有相同頻率的微弱信號(hào)的存在。反之系統(tǒng)相圖沒有發(fā)生轉(zhuǎn)變，則就檢測(cè)不到待測(cè)的微弱信號(hào)。若假設(shè)待測(cè)信號(hào)的幅值h=0.06,因?yàn)?.8+0.06>Ad=0.825理論上講是可以檢測(cè)到的。簡(jiǎn)化方程(4)可以得到

(5)

帶入具體數(shù)值可得，當(dāng)-67.314°<φ<67.314°這能夠使Duffing方程從混沌向大尺度周期狀態(tài)轉(zhuǎn)化，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)φ=67.314°時(shí)，檢測(cè)的相圖如圖1所示，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。當(dāng)φ=67°時(shí)，相圖如圖2所示，系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài)。結(jié)果表明實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與理論結(jié)果相差不大。為了使檢測(cè)結(jié)果更加精確縮小φ的取值范圍-67°<φ<67°，即認(rèn)為待測(cè)信號(hào)的初相位與攝動(dòng)信號(hào)的初相位的相位差在此范圍內(nèi)時(shí)，待測(cè)信號(hào)可以被檢測(cè)出來。當(dāng)h>0.06時(shí)，由式(5)可知φ的取值范圍也要增大，顯然-60°<φ<60°的取值范圍，同樣滿足h>0.06的幅值所有情況。

圖1 φ=67.413°時(shí)的相圖

圖2 φ=67°時(shí)的相圖

1.2 考慮驅(qū)動(dòng)信號(hào)初始相位對(duì)檢測(cè)效果的影響

下面就α≠0的影響進(jìn)行分析。為了不失一般性，將Duffing方程等號(hào)右邊的兩項(xiàng)化為

(6)

根據(jù)仿真結(jié)果做圖4?？梢钥吹剑S著初相的不同，由方程(6)的分析可知，檢測(cè)系統(tǒng)臨界閾值會(huì)有一定程度的改變。當(dāng)α=0或α=π時(shí)，由仿真可知系統(tǒng)的閾值稍微有些改變，但是與α取其它值時(shí)相比，變化相對(duì)很小，這與上文的分析結(jié)果一致，所以當(dāng)α=0或α=π時(shí)，系統(tǒng)閾值變化最小，系統(tǒng)的檢測(cè)精度最高。

圖3 Duffing方程的Simulink仿真模型

圖4 初相和閾值的關(guān)系

2 盲域消除法

從式(4)可知，實(shí)際情況中φ∈[-π,π]，而當(dāng)幅值h≥0.06的待測(cè)信號(hào)，只有φ∈[-π/3,π/3]能夠被檢測(cè)出來，也就是說滿足這一幅值條件的待測(cè)信號(hào)，被檢測(cè)出來的概率只有33.3%，顯然誤差太大，有66.7%的概率檢測(cè)不出來[16]。為了消除這種影響，就將方程(2)變?yōu)?/p>

(7)

(8)

通過式(7)可知，可以通過改變攝動(dòng)信號(hào)初相α使φ-α處于可檢測(cè)區(qū)域，則未知信號(hào)可以被檢測(cè)出來。即通過改變?chǔ)恋闹?，使待測(cè)信號(hào)的初始相位位于檢測(cè)區(qū)域，來達(dá)到消除盲域的目的。在方程(2)中取α=π/2則φ-α∈[-π/3,π/3]，即φ∈[-π/6,5π/6]。同樣在方程(7)中取α=π/2，則可以得到φ-α∈[-π,-2π/3]∪[2π/3,π]，即φ∈[-5π/6，-π/6]。

從上面的分析可知，當(dāng)檢測(cè)幅值h≥0.06的待測(cè)信號(hào)時(shí)，可以分別使α=0，α=π/2分別代入到方程(2)、(7)中得到4個(gè)方程，這4個(gè)方程覆蓋的范圍為[-π，π]的整個(gè)區(qū)間，因此只要有一個(gè)方程的相圖發(fā)生改變，即可認(rèn)為有待測(cè)的信號(hào)。所以，可以構(gòu)建一個(gè)方程組來達(dá)到消除檢測(cè)盲域，進(jìn)而檢測(cè)未知頻率的微弱信號(hào)。

3 實(shí)例驗(yàn)證

通過分析可知，在檢測(cè)未知頻率的待測(cè)信號(hào)時(shí)，可以將盲域消除法和變尺度法[17]進(jìn)行結(jié)合，并通過構(gòu)造檢測(cè)方程組，消除傳統(tǒng)方法檢測(cè)未知信號(hào)時(shí)的缺點(diǎn)。下面通過實(shí)例來驗(yàn)證此方法的可行性。

假設(shè)未知信號(hào)s(t)=0.002cos(5t+80°)，在傳統(tǒng)方法中不考慮驅(qū)動(dòng)信號(hào)的初始相位對(duì)檢測(cè)閾值的影響，其構(gòu)造的檢測(cè)方程組為

利用式(9)檢測(cè)待測(cè)信號(hào)，利用變尺度系數(shù)法，重點(diǎn)是對(duì)比待測(cè)信號(hào)初始相位對(duì)檢測(cè)效果的影響，因此利用文獻(xiàn)[16]的方法直接采用變尺度系數(shù)R=5，其方程檢測(cè)相圖分別對(duì)應(yīng)圖5、圖6、圖7、圖8所示。

圖5 方程(9a)的相圖

圖6 方程(9b)的相圖

圖7 方程(9c)的相圖

圖8 方程(9d)的相圖

考慮到攝動(dòng)信號(hào)初相對(duì)閾值的影響，當(dāng)α=0時(shí)，F(xiàn)d=0.826；當(dāng)α=π/2時(shí)，F(xiàn)d=0.827。所以構(gòu)造方程組時(shí)，當(dāng)α取不同的值時(shí)，驅(qū)動(dòng)信號(hào)的幅值也應(yīng)相應(yīng)的改變，這樣可以在一定程度上消除初相對(duì)檢測(cè)效果的影響，其檢測(cè)方程組為

圖9、圖10、圖11、圖12分別對(duì)應(yīng)式(10)的4個(gè)相圖。由相圖的變化可知，利用式(10)檢測(cè)時(shí)，信號(hào)可以被檢測(cè)出來。理論上利用式(9)也可以檢測(cè)出來，但是，由于式(9)中沒有考慮到驅(qū)動(dòng)信號(hào)初始相位對(duì)檢測(cè)閾值的影響，所以沒有檢測(cè)出待測(cè)信號(hào)。因此相比傳統(tǒng)方法，新方法檢測(cè)準(zhǔn)確度更高。

圖9 方程(10a)的相圖

圖10 方程(10b)的相圖

圖11 方程(10c)的相圖

圖12 方程(10d)的相圖

4 結(jié)論

經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證，利用Duffing方程可以很好檢測(cè)出微弱的未知信號(hào)。通過盲域消除法和變尺度法的結(jié)合，構(gòu)造新的檢測(cè)方程組，利用新的檢測(cè)方程組和傳統(tǒng)的檢測(cè)方程組對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)新的檢測(cè)方程組比傳統(tǒng)的檢測(cè)方法準(zhǔn)確度更高。此方法只需通過改變變尺度系數(shù)就可以達(dá)到只改變一個(gè)參數(shù)來檢測(cè)方程的高效率檢測(cè)方法，另外利用方程初始相位的改變，來達(dá)到消除檢測(cè)盲域，相比傳統(tǒng)的檢測(cè)方法，既高效又準(zhǔn)確。但是此方法忽略了噪聲對(duì)檢測(cè)效果的影響，有待進(jìn)一步研究。

[1]周小勇,葉銀忠. 小波分析在故障診斷中的應(yīng)用[J]. 控制工程,2006(1):70-73.

[2] Wang X Y, Fu Z K. A wavelet-based image denoising using least squares support vector machine[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2010, 23(6): 862-871.

[3] Hassani H, Xu Z, Zhigljavsky A. Singular spectrum analysis based on the perturbation theory[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2011, 12(5): 2752-2766.

[4] 孫英俠,李亞利,寧宇鵬. 頻譜分析原理及頻譜分析儀使用技巧[J]. 國外電子測(cè)量技術(shù),2014(7):76-80.

[5] 陳予恕,曹登慶,吳志強(qiáng). 非線性動(dòng)力學(xué)理論及其在機(jī)械系統(tǒng)中應(yīng)用的若干進(jìn)展[J]. 宇航學(xué)報(bào),2007(4):794-804.

[6] 王俊國,周建中,付波,等.基于Duffing振子的微弱信號(hào)混沌檢測(cè)[J]. 電子器件,2007(4):1380-1383.

[7] Metzger M A. Applications of nonlinear dynamical systems theory in developmental psychology: Motor and cognitive development[J]. Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, 1997, 1(1): 55-68.

[8]孟濤, 廖明夫. 齒輪與滾動(dòng)軸承故障的振動(dòng)分析與診斷 [D]. 西安: 西北工業(yè)大學(xué), 2003.

[9] 朱斌. 基于混沌理論的微弱信號(hào)檢測(cè)[J]. 電子科技,2010(2):65-67.

[10] 趙文禮,夏煒,劉鵬,等. 基于混沌理論的微弱信號(hào)放大原理與方法研究[J]. 物理學(xué)報(bào),2010(5):2962-2970.

[11] 謝濤,魏學(xué)業(yè). 混沌振子在微弱信號(hào)檢測(cè)中的可靠性研究[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào),2008(6):1265-1269.

[12] 兀旦暉,李秦君,楊萍. 噪聲對(duì)基于Duffing方程弱信號(hào)檢測(cè)的影響研究[J]. 計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制,2010(1):61-63.

[13] 王曉東, 楊紹普, 趙志宏. Duffing 振子和 Van der Pol 振子耦合的動(dòng)力學(xué)行為分析[J]. 石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2015, 28(4): 53-57.

[14] 顧曉輝, 劉永強(qiáng), 楊紹普, 等. 基于混沌吸引子特征量的滾動(dòng)軸承故障診斷[J]. 石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2015，28(1): 91-95.

[15] 梁坤,宋立新. 利用混沌理論進(jìn)行微弱信號(hào)測(cè)量系統(tǒng)的參數(shù)分析[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào),2007，12(4):66-69+73.

[16] 牛德智,陳長興,班斐,等.Duffing振子微弱信號(hào)檢測(cè)盲區(qū)消除及檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造[J]. 物理學(xué)報(bào),2015,06:71-83.

[17] 賴志慧,冷永剛,孫建橋,等.基于Duffing振子的變尺度微弱特征信號(hào)檢測(cè)方法研究[J]. 物理學(xué)報(bào),2012(5):60-68.

A Kind of Weak Signal Detection of the Method Based on

Duffing Equation to Eliminate Blind Domain

Zhao Bo, Zhao Zhihong, Yang Shaopu

(School of Mechanical Engineering,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043,China)

Presently, the detection of weak signals is only applicable to the specific frequency of the signal, and moreover, the effect of the initial phase of the measured signals is ignored. This method has low detection efficiency and has a blind area. In view of this situation, this paper uses a new method of combination of blind area elimination method and variable scale method which is of high precision and high efficiency. Based on the analysis of the influence of the initial phase on testing effect, a set of definite parameters are used and detecting equations are structured to detect the unknown weak signal. Verified by examples,this detection method is more accurate, more simple and more efficient than before.

Duffing equation;eliminate blind domain;weak signal

2016-04-15 責(zé)任編輯:車軒玉

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2017.01.11

河北省研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(yc2016003)

趙波(1991-), 男,碩士研究生,主要從事故障診斷的研究。E-mail: 386547260@qq.com

O415.5

A

2095-0373(2017)01-0058-06

趙波，趙志宏，楊紹普.一種基于Duffing方程微弱信號(hào)檢測(cè)的盲域消除方法[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017,30(1):58-63.