基于能量法的成橋階段高墩計(jì)算長度系數(shù)分析

元德壬，鐘 明

（1.廣西河百高速公路有限公司,廣西 南寧 530021;2.西安中交土木科技有限公司,陜西 西安 710075）

基于能量法的成橋階段高墩計(jì)算長度系數(shù)分析

元德壬1，鐘 明2

（1.廣西河百高速公路有限公司,廣西 南寧 530021;2.西安中交土木科技有限公司,陜西 西安 710075）

高墩在成橋階段墩頂邊界條件介于鉸接和固結(jié)之間，其計(jì)算長度系數(shù)往往難以取定。現(xiàn)通過構(gòu)造成橋階段高墩的形函數(shù)，利用能量法求解剛性地基高橋墩成橋階段的失穩(wěn)力臨界力，又通過歐拉公式求得其計(jì)算長度系數(shù)，并結(jié)合算例采用有限方法和能量法進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比分析兩者計(jì)算結(jié)果。結(jié)果表明：在計(jì)算高墩計(jì)算長度時(shí)，需計(jì)入墩頂非理想邊界的影響。此外，所推能量法公式計(jì)算結(jié)果同有限元程序接近，具有較高精度，可供設(shè)計(jì)參考使用。

成橋階段；高墩；計(jì)算長度系數(shù)；能量法

0 引言

由構(gòu)件偏心受壓構(gòu)件承載能力計(jì)算公式可知，計(jì)算長度系數(shù)k是影響結(jié)構(gòu)承載力的重要因素。但它僅給出了理想邊界條件下的構(gòu)件計(jì)算長度。事實(shí)上，工程中邊界條件是非理想的。尤其是在確定成橋階段下的高橋墩計(jì)算長度時(shí)，墩頂邊界條件介于鉸接與固結(jié)之間，這給設(shè)計(jì)計(jì)算帶來了困難。

目前，計(jì)算高墩計(jì)算長度系數(shù)k的主要方法是通過對(duì)高墩進(jìn)行穩(wěn)定分析求解穩(wěn)定臨界力，然后利用歐拉公式反算得到k值。如何通過高墩穩(wěn)定分析求解穩(wěn)定臨界力，白青俠[1]和趙明華[2]、[3]分析了高墩在施工階段穩(wěn)定性并給出了臨界失穩(wěn)力；郭梅[4]和劉進(jìn)[5][6]基于彈性歐拉理論探討了高墩大跨度連續(xù)剛構(gòu)橋穩(wěn)定性，分析了橋墩截面形式對(duì)穩(wěn)定性的影響；程翔云[7]、[8]研究了支座剛度對(duì)高墩頂部約束剛度的影響，給出了墩頂抗推剛度的計(jì)算方法。目前，高墩穩(wěn)定性研究限于墩頂自由和墩頂固結(jié)兩種極端狀況。對(duì)于一般高墩在成橋階段時(shí)其邊界約束受到支座和上部結(jié)構(gòu)影響，墩頂水平位移與轉(zhuǎn)角受到約束，其剛度并非無限大，介于固結(jié)和鉸接之間。設(shè)計(jì)人員在選取成橋階段下的高墩計(jì)算長度系數(shù)時(shí)往往采用經(jīng)驗(yàn)值。因此，如何計(jì)算非理想邊界條件下高墩計(jì)算長度系數(shù)具有實(shí)際意義。

本文通過構(gòu)造成橋階段高墩的形函數(shù)，利用能量法求解剛性地基高橋墩成橋階段的失穩(wěn)力臨界力，并求得其計(jì)算長度系數(shù)，且結(jié)合算例采用有限方法和能量法進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比分析了兩者計(jì)算結(jié)果。

1 結(jié)構(gòu)勢能泛函

選取成橋階段高墩力學(xué)模型如圖1所示。設(shè)墩高等截面為l，墩頂作用一豎向力P，墩身容重為g。為了便于研究墩頂彈性約束條件下的計(jì)算長度，在計(jì)算圖式中，假定基礎(chǔ)為剛性地基，墩底嵌固于承臺(tái)上，這樣可使形函數(shù)的構(gòu)造得到簡化。此外，墩頂用平動(dòng)彈簧、轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模擬支座和主梁對(duì)墩的約束，不考慮豎向變位對(duì)墩的影響。于是結(jié)構(gòu)的總勢能的泛函為：

式中：Kθ為墩頂轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度；Kh為墩頂平動(dòng)彈簧剛度；y(x)為高墩的形函數(shù)。

2 形函數(shù)的構(gòu)造

目前，關(guān)于圖1力學(xué)模型的形函數(shù)未有研究，給能量法表示橋墩的形變能造成困難，故需要對(duì)其形函數(shù)進(jìn)行分析。考慮到圖1力學(xué)模型中墩的變形介于以下兩種變形之間：其一為墩頂固端約束情況下的變形；其二為墩頂自由情況下的變形。因此可以組合系數(shù)來表達(dá)(或組合)此類復(fù)雜邊界條件下的形函數(shù)，由此可以假定墩身位移形函數(shù)為：

圖1 計(jì)算模型簡圖

式中：C1、C2為組合系數(shù)，由橋墩的變形可知兩者必不同時(shí)為零；φ（x）、η（x）分別為兩端固結(jié)，一端固結(jié)一端自由的墩身位移形函數(shù)，其表達(dá)式為：

3 變分法求解

對(duì)式（2）求導(dǎo)可得式（9）、式（10）：

將式（2）、式（9）和式（10）代入總勢能方程（1）并整理得：

方程組有非零解，故C1，C2的行列式值為零：

式（12）的展開式即為Pcr的二次代數(shù)方程，可求出兩個(gè)根，其中的最小根即為臨界荷載，繼而可由歐拉公式解出計(jì)算長度。

為了方便計(jì)算，利用VC將式（12）編制成計(jì)算程序。同時(shí)，為驗(yàn)證程序，將墩頂約束剛度置為0，表示墩頂為自由邊界，程序計(jì)算結(jié)果為1.992 5，由04規(guī)范規(guī)定的理論計(jì)算長度系數(shù)為2，偏差為0.38%；若將墩頂轉(zhuǎn)動(dòng)剛度置為無窮大，本文計(jì)算結(jié)果為0.993 4，其理論計(jì)算長度系數(shù)為1，偏差為0.65%。由此可見，由式（12）的計(jì)算精度滿足要求?？捎迷摮绦蛴?jì)算剛性地基下墩頂彈性約束時(shí)橋墩計(jì)算長度值。

4 算例分析

某橋墩高30 m，圓形獨(dú)柱實(shí)心墩，墩徑2 m，墩身采用C35混凝土?，F(xiàn)假定成橋階段，墩底為固結(jié)，通過計(jì)算[7]得到墩頂抗推剛度1 020 kN/m，墩頂轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為4 987 kN/m。

現(xiàn)分別利用有限元程序與能量法計(jì)算公式計(jì)算出該橋墩的臨界荷載，再利用歐拉公式，反算出墩的計(jì)算長度系數(shù)。采用有限元軟件 Midas Civil2010建立橋墩模型，墩底采用一般支承，所有方向均固結(jié)，墩頂采用一般彈性支承（6×6耦合彈性支承），對(duì)模型進(jìn)行屈曲分析計(jì)算，將其計(jì)算結(jié)果列于表1，對(duì)比分析兩者計(jì)算結(jié)果。有限元與能量法計(jì)算結(jié)果介于1和2之間，這說了實(shí)際邊界下的計(jì)算長度系數(shù)與理想邊界條件相差較大。此外，有限元與能量法計(jì)算結(jié)果相差很小，僅為0.21%。這說明能量法假定的形函數(shù)具有足夠的精度來模擬墩身變形形狀，能量法計(jì)算結(jié)果可靠。

為了進(jìn)一步分析對(duì)能量法對(duì)不同高度橋墩計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文對(duì)相同邊界條件下高度由30～70 m的高墩計(jì)算長度系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，其有限元模型見圖2所示，其計(jì)算結(jié)果列于表1。墩高與計(jì)算長度系數(shù)的關(guān)系曲線和誤差變化曲線見圖3所示。

由圖3和表1，高墩在邊界條件相同的情況下，隨著墩高的增加其計(jì)算長度系數(shù)在減小。在墩高為70 m，k值減小至1，可認(rèn)為此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度對(duì)70 m高墩為無窮大。在墩高一定時(shí)，采用有限程序和能量法公式計(jì)算得到的高墩計(jì)算長度系數(shù)相差很小。從而，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所得公式的準(zhǔn)確性。

表1 成橋階段下30 m、40 m、50 m、60 m和70 m高墩的計(jì)算長度系數(shù)表

圖3 30 m、40 m、50 m、60 m和70 m高墩的計(jì)算長度系數(shù)曲線圖

5 結(jié) 論

（1）本文用能量法解決了成橋階段墩頂非理想邊界條件下穩(wěn)定臨界力的求解問題，并通過歐拉公式得到了高墩的計(jì)算長度系數(shù)。在構(gòu)造位移函數(shù)能較好地模擬橋墩的變形，由此所推導(dǎo)的能量法計(jì)算公式，概念明確，簡單易行。

（2）通過算例分析可知計(jì)算高墩計(jì)算長度時(shí)，須計(jì)入墩頂非理想邊界條件的影響。

（3）本文所推能量法公式計(jì)算結(jié)果同有限元程序接近，精度較高，對(duì)公路橋梁常見高橋墩具有普遍適用性，可供設(shè)計(jì)參考使用。

[1]白青俠，宋一凡.高橋墩幾何非線性分析的能量法[J].西安公路交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，21(2):53-55.

[2]趙明華，劉恩，汪優(yōu).樁柱式高橋墩樁基穩(wěn)定性分析[J].公路交通科技,2008,25(7):95-99.

[3]趙明華，王杜鵑，楊明輝.高墩-群樁體系臨界荷載計(jì)算[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，（08）.

[4]郭梅.高墩大跨度連續(xù)剛構(gòu)橋穩(wěn)定性分析[J].西安公路交通大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，19(3):31-38.

[5]劉進(jìn).高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋橋墩穩(wěn)定性分析[J].鐵道建筑,2006, 4(10):13-15.

[6]劉進(jìn).高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋橋墩穩(wěn)定性和靜力分析[D].長沙：湖南大學(xué)，2004.

[7]程翔云.樁柱式高橋墩幾何非線性效應(yīng)分析的迭代法[J].公路，2003，（19）:60-64.

[8]程翔云.高橋墩設(shè)計(jì)計(jì)算中的兩個(gè)問題[J].重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào), 2000，（06）:6-10.

U443.22

B

1009-7716（2017）03-0075-03

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2017.03.022

2016-11-08

元德壬（1979-），男，廣西岑溪人，碩士，工程師，從事公路工程建設(shè)管理工作。