中考中有關(guān)“鑲嵌”的幾個(gè)問題的探究

王濤

在近幾年的中考題目中，出現(xiàn)了部分涉及《鑲嵌》的內(nèi)容，現(xiàn)行課本中涉及的內(nèi)容不是太多，結(jié)合“探索用哪些正多邊形鑲嵌（密鋪）地面？”從正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形、正六邊形、正八邊形等中的一種或幾種圖形的拼接、鑲嵌中，結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)這部分內(nèi)容從兩方面做了闡述，希望對(duì)同行有所助益。

中考“鑲嵌”問題難點(diǎn)考點(diǎn)一、重難點(diǎn)分析

中考題目往往結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，比如，由用地板磚鋪地引入鑲嵌問題，后提問：為什么這樣的地磚可以進(jìn)行平面鑲嵌？引發(fā)考生的思索，結(jié)合“哪幾種多邊形可以平面鑲嵌”來切入考點(diǎn)。

筆者翻閱了前幾年的教材，課本設(shè)計(jì)了有關(guān)《鑲嵌》的一節(jié)課題學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教材通過提出：哪兩種正多邊形可以平面鑲嵌？設(shè)問層層遞進(jìn)，不斷引發(fā)學(xué)生探究欲望，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而引領(lǐng)學(xué)生完成課題的學(xué)習(xí)。因此，這部分內(nèi)容的重點(diǎn)是經(jīng)歷平面鑲嵌條件的探究過程，難點(diǎn)是用兩種正多邊形進(jìn)行的平面鑲嵌。

二、考點(diǎn)分析

從近幾年的中考題目來看，這類題目多數(shù)出現(xiàn)在選擇題或者填空題中，有時(shí)候也會(huì)以閱讀理解的形式出現(xiàn)。在解題時(shí)要把握好以下兩點(diǎn)：

一類：同一種多邊形密鋪

解題方法：在用同一種正多邊形平鋪時(shí)，若正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為m°，則用此正多邊形實(shí)現(xiàn)平鋪的條件是360m為整數(shù)，且此整數(shù)恰為該正多邊形的個(gè)數(shù)。

例1.用正三角形能密鋪嗎？試說明理由。

解析：能，理由：

∵正三角形的每一個(gè)內(nèi)角都是60°，而36060=60，

∴6個(gè)正三角形圍繞在一點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)密鋪。

例2.用正五邊形可以密鋪嗎？試說明理由。

解析：不能，理由：

∵正五角形的內(nèi)角和為（5-2）×180°=540°，每一個(gè)內(nèi)角都是540°5=108°，而108°的整數(shù)倍得不到360°。

∴正五邊不能實(shí)現(xiàn)密鋪。

我練習(xí)，我收獲：

1.能夠?qū)崿F(xiàn)密鋪的正多邊形是（）

A.正方形B.正五邊形C.正七邊形D.正八邊形

2.某人到瓷磚商店去購(gòu)買一種能實(shí)現(xiàn)密鋪的瓷磚，不可能是（）

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

二類：運(yùn)用幾種多邊形密鋪

解題方法：若要用多種多邊形無縫平鋪或鑲嵌（密鋪），則各個(gè)多邊形相拼，內(nèi)角和應(yīng)為360°，且邊長(zhǎng)相等。

例3.用正方形和正八邊形能實(shí)現(xiàn)密鋪嗎？說明理由。

分析：本題應(yīng)該分別計(jì)算正方形和正八邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后利用多個(gè)正多邊形密鋪的條件進(jìn)行判斷。

解：能，理由：

∵正八邊形的內(nèi)角和為（8-2）×180°=1080°，每一個(gè)內(nèi)角為1080°8=135°，正方形的每個(gè)內(nèi)角為900。因此有135°×2+90°=360°.

∴能實(shí)現(xiàn)密鋪。

總之，解決好這類題目，關(guān)鍵是要分清用幾種圖形密鋪，除了上面的兩條外，如果是只用一種圖形的話，那只有正三角形、正方形和正六邊形三種圖形；如果用多種圖形的話，特別要注意單獨(dú)可以密鋪的，結(jié)合時(shí)有可能不能密鋪，相反，有些圖形，單獨(dú)不能密鋪，而結(jié)合后卻能夠?qū)崿F(xiàn)密鋪。還要說明的是，對(duì)于單獨(dú)的圖形，除了同樣的正三角形、正方形和正六邊形能實(shí)現(xiàn)密鋪外，任意同樣的三角形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形也能實(shí)現(xiàn)密鋪，主要還要用到平移、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，這里不再贅述。

我練習(xí)，我收獲：

3.一副美麗的圖案，在某個(gè)定點(diǎn)處由三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正多邊形密鋪而成，其中有兩個(gè)是正八邊形，那么另一個(gè)是（）

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

4.已知一個(gè)正多邊形的相鄰的內(nèi)角和外角的差為140°，問這個(gè)多邊形能否單獨(dú)鑲嵌？如果不能，請(qǐng)說明理由。

答案：1.A2.C3.B

4.解：設(shè)這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為x度，則和它相鄰的內(nèi)角為（x+140）度，所以有x+（x+140）=180，解得x=20，所以內(nèi)角的度數(shù)是160°。

∵360160=2.25∴這個(gè)正多邊形不能密鋪。