厚尾隨機波動率模型的貝葉斯參數(shù)估計及實證研究

黃文禮+張睿軒

摘要針對現(xiàn)有時間序列模型難以刻畫參數(shù)漸變性的問題，對厚尾隨機波動（SV）模型的參數(shù)估計方法進行了推廣，采用基于貝葉斯的MCMC方法，選取2013年5月～2016年6月這一經(jīng)歷多輪震蕩的上證指數(shù)作為實證分析對象，構造了基于Gibbs抽樣的MCMC過程進行仿真分析.結果顯示，以卡方分布作為厚尾參數(shù)的先驗分布能夠有效地描述數(shù)據(jù)波動的厚尾特征，并且能得到較高精度的參數(shù)估計結果.結果表明，厚尾SV模型能有效反映出我國股市尖峰厚尾和波動長期記憶性的特征.

關鍵詞SV模型 ；貝葉斯估計；MCMC方法

中圖分類號O218.8文獻標識碼A

1引言

波動性是金融市場最為重要的特征之一，關于有價證券的收益率波動一直是金融學研究的熱點.為了對波動率進行估計，學者們進行過廣泛而深入的探索，其中最具代表性的兩類模型分別是Engel[1]提出的自回歸條件異方差（ARCH）類模型和Taylor[2]提出的隨機波動率（SV）模型.但ARCH類模型中條件方差的估計值與過去擾動項直接相關，因此當存在異常觀測值時，模型估計出的波動序列不是很穩(wěn)定.而SV模型假定時變方差是一類不可觀測的隨機過程，因此其估計的波動序列比ARCH類模型更加穩(wěn)定.對此，Shephard[3]通過對比兩類模型，發(fā)現(xiàn)SV模型比ARCH模型能更好地描述金融數(shù)據(jù)的特性，特別是對2個模型的預測的均方誤差的比較發(fā)現(xiàn)，SV模型比ARCH模型具有更好的預測能力，尤其是對長期波動性的預測[4].

但是，由于SV模型自身的復雜性，模型的似然函數(shù)解析式與無條件矩的解析形式往往難以獲得，無法進行極大似然估計，故如何對SV模型進行參數(shù)估計就是一個具有現(xiàn)實意義的問題.對此，Metropolis提出了馬爾科夫蒙特卡洛（MCMC）方法，Hasting[5]在此基礎上提出了MetropolisHasting算法，Geman[5]提出了Gibbs抽樣，這兩種算法因其靈活性和計算機技術的發(fā)展，使得針對復雜模型及其后驗分布的精確估計成為可能.除了MCMC方法，國外學者對SV模型的估計方法進行了大量研究，并取得了豐富的成果：Harvey[5]等人的偽極大似然估計，Anderson，Chung[5]的有效矩估計， Dimitrakopoulos Stefano[6]針對時變參數(shù)SV（TVPSV）模型提出的一種半?yún)?shù)貝葉斯估計方法，Milan Mrázek[7]等人基于非線性最小二乘法對分數(shù)維SV模型參數(shù)估計精確度的校準.在眾多估計方法中，蒙特卡羅隨機模擬相對于其他方法，效率較高，易于編程實現(xiàn).本文即選用基于貝葉斯的MCMC方法對SV模型進行參數(shù)估計.

由于許多金融時間序列的無條件分布與標準正態(tài)分布相比，會呈現(xiàn)出較大的峰度和更厚的尾部，因此為了將基本的SV模型擴展到較一般的形式，經(jīng)過學者們多年的研究，SV類模型已經(jīng)發(fā)展出了離散和連續(xù)兩類的眾多擴展模型.比如，Geweke[7]對模型進行貝葉斯分析時提出了厚尾SV模型，即將標準SV模型中觀測方程的隨機誤差項設定為具有厚尾特征的概率分布如t分布、GED分布等，從而可以更好地描述金融時間序列的尖峰厚尾特征.Bredit[8]針對金融波動序列的長記憶性提出了長記憶隨機波動模型（LMSV），Chib[5]將跳躍過程引入到了SV模型中，提出了跳躍SV模型，并提供了一種快速有效的估計模型參數(shù)的MCMC算法，以此來解決如何反映金融市場中的突發(fā)事件和較大波動的問題.

經(jīng)濟數(shù)學第 34卷第1期

黃文禮等：厚尾隨機波動率模型的貝葉斯參數(shù)估計及實證研究

近年來，國內學者對SV模型進行了大量研討，這其中包括：劉鳳芹和吳喜之[9]利用一種改進的MCMC方法估計了SV模型，并對上證指數(shù)進行了波動性分析；朱慧明[10]在研究滬深300股指期貨數(shù)據(jù)時，考慮到期貨市場與現(xiàn)貨市場之間存在雙向波動溢出效應以及仿真交易與實盤交易在期貨與現(xiàn)貨聯(lián)動性、交易策略等方面存在的差異，建立了一個多變量厚尾SV模型，并借助MCMC方法實現(xiàn)了模型的參數(shù)估計.于冉春[11]分別選用標準SV模型和厚尾SV模型對美國標普500指數(shù)進行了實證分析，得出厚尾SV模型更能夠準確描述標普指數(shù)波動具有長期記憶性的特征.而吳鑫育、馬超群[12]等以上證指數(shù)和深證成指為例，提出極大似然方法估計了4種不同收益率分布假定的SV模型，通過比較認為具有偏學生t分布假定的SVSKt模型能夠更好地描述中國股票市場的波動性.在研究中發(fā)現(xiàn)，我國股市呈現(xiàn)出許多不同于傳統(tǒng)研究中波動的典型特征，比如反杠桿效應，即股票價格運行未來價格波動呈現(xiàn)正相關關系，特別是2015下半年和2016年年初，整個股市出現(xiàn)了罕見的大幅波動.而對于具有以上新型特征的中國股市，有關厚尾SV模型是否還能有效刻畫出我國資本市場波動性的相關研究還相對缺乏.本文考慮到金融時間序列普遍存在的尖峰厚尾性，為了驗證SV模型對現(xiàn)階段我國股市的擬合效果，擬進行基于MCMC仿真的厚尾SV模型的貝葉斯參數(shù)估計，研究以上證綜指為代表的金融時間序列的波動特征.

2厚尾SV模型結構

重復以上步驟進行N次迭代，直到Markov鏈達到平穩(wěn)狀態(tài).在Gibbs抽樣的初始階段，參數(shù)的初始值設定對隨機數(shù)的生產(chǎn)有較大的影響，此時Markov鏈是非平穩(wěn)的，所以在估計模型參數(shù)時，通常去掉最初的M個非隨機數(shù)，對剩下的NM個抽樣數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)的后驗分布統(tǒng)計推斷.

4估計結果和分析

4.1樣本數(shù)據(jù)和統(tǒng)計特征

2015年開始，中國股市再次表現(xiàn)強勁，然而受多種因素影響，上證綜指又從2015年6月的5 300多點跌至2016年5月的2 800多點，期間又經(jīng)歷了2016年年初的熔斷機制事件，短短一年多時間，中國股市就經(jīng)歷了史無前例的大牛市和超級熊市，股票價格波動劇烈，這表明我國股市還存在非常多的問題.因此本文使用的數(shù)據(jù)包括2013年5月～2016年6月的上證指數(shù)歷史收盤價，樣本容量為752，涵蓋了本輪牛市之前、期間、之后的數(shù)據(jù)，以分析中國股市的波動特征.收益率的計算本文均采用對數(shù)收益率方法，并繪制出對數(shù)收益率的時序圖和直方圖，見圖1.同時，利用QQ圖對上證指數(shù)的統(tǒng)計特征進行分析（見圖2）.

通過分析，發(fā)現(xiàn)上證指數(shù)實際數(shù)據(jù)的峰度比正態(tài)分布數(shù)據(jù)的峰度要高，腰部較瘦，尾部較厚，并且直方圖并不是完全對稱的，而是略有偏斜.從Q-Q圖中可以很明顯的看出上證指數(shù)和指數(shù)的收益率分布在收益和損失兩端均偏離直線，因而表現(xiàn)出明顯的厚尾特征，也就是出現(xiàn)異常值的頻率比正態(tài)分布的要高.因此再次驗證了中國股市尖峰厚尾特性.

4.2參數(shù)估計結果和分析

本文使用MCMC仿真方法對厚尾SV模型進行貝葉斯參數(shù)估計，首先對每個參數(shù)進行 1 000次迭代，進行退火，以保證參數(shù)的收斂性.然后舍棄原來的迭代，再進行10 000次的迭代對模型進行模擬仿真的過程.圖3給出了厚尾SV模型參數(shù)相應的后驗分布密度函數(shù)仿真結果，參數(shù)估計結果見表1.

由圖3可知，對于厚尾SV模型的參數(shù)，其后驗分布密度圖基本上是對稱的，說明這些參數(shù)的貝葉斯估計值與真實值非常接近，誤差很小.但是對于參數(shù)τ，其后驗密度函數(shù)都呈現(xiàn)出右偏趨勢，說明這些參數(shù)的樣本中存在一些偏大的異常點，使得它們的貝葉斯估計值比真實值要大，因此參數(shù)τ可能會被高估.同樣得，參數(shù)φ的后驗密度函數(shù)呈偏左趨勢，說明參數(shù)中存在一些偏小的異常點，使得它們的貝葉斯估計值比真實值要小，故參數(shù)φ可能會被低估.

雖然厚尾SV模型的某些參數(shù)的貝葉斯估計值可能會偏高或偏低，但是整體看來，模型各個參數(shù)的后驗分布密度都具有非常明顯的單峰特征，說明利用后驗均值對模型參數(shù)進行估計的誤差是非常小的.因此，綜合對厚尾SV模型參數(shù)的樣本軌跡圖以及后驗分布密度圖的分析可知：對厚尾SV模型參數(shù)進行貝葉斯估計是合理的，并且估計結果是有效的.

結合模型參數(shù)的貝葉斯估計情況，首先可以看出SVT模型參數(shù)的估計結果是比較精確的，各參數(shù)的MCMC誤差相對于標準差都要小很多，再一次驗證了對厚尾SV模型參數(shù)進行貝葉斯估計的合理性.并且在程序運行的時間也較短，表明算法的精確度和效率是比較好的.同時可以得到以下結論：厚尾SV模型的厚尾成分參數(shù)ω估計值為16.1，且MC誤差為0.239 7，表明上證綜指的收益率不服從正態(tài)分布，具有明顯的厚尾特征，此結論與前面對QQ圖的分析結果是一致的；厚尾SV模型的波動持續(xù)性值φ為0.860 4，這說明上證指數(shù)具有較為明顯的波動持續(xù)性，這也與在實際生活中的感受相吻合：樣本數(shù)據(jù)涵蓋了2013年～2016年的上證指數(shù)收益率，期間整個資本市場經(jīng)歷了多輪較大起伏的波動，且一個大的波動之后往往跟著另一個波動.SVT模型在模擬波動持續(xù)性這一波動特點上的具有良好的擬合效果.

5總結

本文針對厚尾SV模型進行了貝葉斯分析，分析了模型的結構特征，對模型的參數(shù)進行了貝葉斯統(tǒng)計推斷，設計了模型參數(shù)估計的Gibbs的抽樣算法.在對中國股市的波動性進行實證研究時，選取了近一輪股市波動前中后三個不同階段的數(shù)據(jù)，以更加全面地了解我國股市的波動特征，并以此為例來檢驗厚尾SV模型在新興資本市場當中的擬合效果.結合對上證指數(shù)的統(tǒng)計分析以及MCMC抽樣方法中參數(shù)的樣本軌跡收斂性，本文認為，在股市經(jīng)歷較大幅度波動時，厚尾SV模型仍然能夠比較準確地描述中國股市的波動性特征.

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