對(duì)重尾分布及現(xiàn)象的探討

葉南吉

摘 要 在現(xiàn)實(shí)生活中，重尾現(xiàn)象隨處可見(jiàn)。本文針對(duì)重尾的概念、現(xiàn)象及一些風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方法如VaR、EVT進(jìn)行了介紹，希望可以引起人們對(duì)極端損失的關(guān)注和更深入的研究。

關(guān)鍵詞 尾部分布；重尾現(xiàn)象；風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度VaR

一、重尾的概念及現(xiàn)象

1.何為重尾

重尾也稱長(zhǎng)尾、肥尾。概率統(tǒng)計(jì)中，重尾分布是一種機(jī)率分布的模型，其特點(diǎn)是尾部比指數(shù)分布還要厚。在金融領(lǐng)域，我們通常以投資證券的收益作為橫坐標(biāo)研究收益的概率分布，因而右邊尾部（損失）的分布會(huì)比較受到重視，但左邊尾部比較厚，或是兩邊尾部都很厚的狀況，也會(huì)被認(rèn)為是一種重尾分布。

2.重尾現(xiàn)象

自然界中的重尾現(xiàn)象表現(xiàn)在少量個(gè)體占用大量資源，比如空氣中氮?dú)馀c氧氣的比例約為78：21；人腦中水與其他物質(zhì)之比例大概是80：20……。

在金融市場(chǎng)上，重尾帶來(lái)的災(zāi)難性后果也無(wú)處不在。它暗喻著客觀世界的極端波動(dòng)性，指那些發(fā)生概率雖低，但一旦發(fā)生就會(huì)產(chǎn)生毀滅性沖擊的事件，像颶風(fēng)、火災(zāi)、重大車(chē)禍等。放眼歷史，2011年3月11日發(fā)生在日本的里氏9級(jí)大地震導(dǎo)致日經(jīng)指數(shù)在一周內(nèi)下跌12.85%；同年7月23日，甬溫線動(dòng)車(chē)追尾事件導(dǎo)致了次日滬市暴跌82.04點(diǎn)；最令人難忘的應(yīng)該是08年美國(guó)次貸危機(jī)，其輻射范圍之廣，影響之惡劣令人唏噓。凡次種種，都在告誡各個(gè)部門(mén)企業(yè)乃至國(guó)家加強(qiáng)對(duì)未知事物的風(fēng)險(xiǎn)管理。

二、重尾分布在概率論中的解釋

在概率論中，取正值的連續(xù)隨機(jī)變量的k階原點(diǎn)矩定義為 ，這個(gè)積分結(jié)果依賴于密度函數(shù)f（x）和k，當(dāng)然也可能積分不存在，如果在x很大時(shí)密度函數(shù)也很大，就有可能會(huì)導(dǎo)致積分不收斂。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量，如果任意的正數(shù)階原點(diǎn)矩存在，那么說(shuō)明分布的尾部很輕，而正數(shù)階矩存在最高階數(shù)（或不存在正數(shù)階矩），則說(shuō)明分布的尾部很厚。

19世紀(jì)末期，意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家維弗雷多·帕累托認(rèn)為，貧與富的存在，既是經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，也有政治原因。帕累托在研究英國(guó)人的收入分配問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)，絕大部分社會(huì)財(cái)富最終總會(huì)流向少數(shù)人群；他還發(fā)現(xiàn)，某一部分人口占總?cè)丝诘谋壤c這一部分人所擁有的財(cái)富的份額具有比較確定的計(jì)量經(jīng)濟(jì)關(guān)系。進(jìn)一步的研究證實(shí)，這種不平衡模式可以重復(fù)出現(xiàn)，甚至可以預(yù)測(cè)。經(jīng)濟(jì)學(xué)把這一社會(huì)財(cái)富的分布狀態(tài)，稱為“帕累托分布”。Pareto型隨機(jī)變量屬于常見(jiàn)的重尾分布族，包括Pareto分布、Burr分布和Frechet分布等，定義如下：

尖峰厚尾是我們經(jīng)常遇到的一種分布狀態(tài)，偏度和峰度都是描述分布形狀的特征數(shù)。偏度對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的三階矩，是描述分布偏離對(duì)稱性程度的一個(gè)特征數(shù)；而峰度則對(duì)應(yīng)著四階矩，是相對(duì)于正態(tài)分布而言的超出量。對(duì)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布而言，它的偏度skew=0，峰度kurtosis=3，因此當(dāng)我們說(shuō)一個(gè)分布有厚尾時(shí)也就表明它的峰度值大于3。如下圖很好地對(duì)比了正態(tài)分布與一個(gè)尖峰厚尾分布。

三、衡量尾部風(fēng)險(xiǎn)常用方法

1.VaR的優(yōu)缺點(diǎn)分析

在金融領(lǐng)域中，金融機(jī)構(gòu)常常用在險(xiǎn)價(jià)值（value at risk ， VaR）來(lái)度量市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)程度，VaR（V）是兩個(gè)參數(shù)（時(shí)間展望期N和置信度X%）的函數(shù)，可以表達(dá)成：我有X%的把握，在今后的N天內(nèi)損失不會(huì)超過(guò)V。這看似是一個(gè)非常有效的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方式，但它并不是一個(gè)一致的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方式，因?yàn)樗⒉荒軡M足風(fēng)險(xiǎn)的次可加性，即兩個(gè)投資組合的VaR之和大于將兩者合并之后組成的新的投資組合的VaR。而次可加性是任何一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量必須滿足的重要性質(zhì)，它刻畫(huà)了現(xiàn)代投資組合理論中的風(fēng)險(xiǎn)分散化原則，是資產(chǎn)組合決策問(wèn)題的一個(gè)基本條件。如下圖中兩者都表示投資組合價(jià)值變化概率分布，且圖二為圖一的變形，我們可以觀察到，盡管VaR值相同，但圖二的潛在損失明顯大于圖一，直接使用VaR判斷很可能使得交易員選擇圖二中分布特性的投資組合，帶來(lái)更高的風(fēng)險(xiǎn)。

2.VaR基礎(chǔ)上的改進(jìn)

基于傳統(tǒng)方法在估計(jì)VaR時(shí)存在的缺陷，近年發(fā)展起來(lái)了極值理論（EVT），該理論只對(duì)資產(chǎn)收益的尾部數(shù)據(jù)進(jìn)行分析而不考慮整體回報(bào)率，從而能更加直接地描述小概率的極端數(shù)據(jù)并進(jìn)行模擬，考慮到了現(xiàn)實(shí)中可能發(fā)生的極端風(fēng)險(xiǎn)又可以規(guī)避一定的模型誤差，對(duì)傳統(tǒng)VaR的不足作出了一定的完善。

四、結(jié)論與展望

證券資產(chǎn)投資收益、保險(xiǎn)索賠及許多人類(lèi)行為都表現(xiàn)出重尾特征，如何準(zhǔn)確估計(jì)重尾指數(shù)一直是我們研究的重點(diǎn)。人們總是對(duì)資產(chǎn)收益率的大起大落的情況更為關(guān)注，如股票的暴漲和暴跌就表現(xiàn)在股票極端收益率上，而這些都是由收益率分布的尾部特征所決定。又如對(duì)保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)，對(duì)可能發(fā)生的極端事件而導(dǎo)致的巨額索賠需要進(jìn)行大量數(shù)據(jù)的分析整理，去準(zhǔn)確合理地定出保費(fèi)，便于有效管理風(fēng)險(xiǎn)。因此，每一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)管理者都需要做好對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)的防范及對(duì)沖，在充滿不確定性的未知世界中把握住自己前進(jìn)的方向。

參考文獻(xiàn)：

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