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    函數(shù)與方程的思想在高中數(shù)學中的應(yīng)用

    2017-04-08 13:09陳少婉
    廣東教育·高中 2017年1期
    關(guān)鍵詞:零點平面例題

    陳少婉

    函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學的基本思想之一,是通過建立函數(shù)或方程,運用函數(shù)的圖像、性質(zhì)等去分析問題,解決問題;更重要的是產(chǎn)生函數(shù)或方程的方法,能上升到思想高度主動思考問題.運用函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化解決零點問題、構(gòu)建函數(shù)解決不等關(guān)系問題與最值問題、利用方程的思想解決消參求值問題以及切點弦問題等等,是近年高考的熱點和重難點.下面舉例說明函數(shù)與方程的思想在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用.

    一、零點問題中的函數(shù)與方程思想

    函數(shù)的零點問題是近幾年高考題的高頻考點和重難點.許多函數(shù)問題要用方程的知識與方法來支持;許多方程的問題,需要用函數(shù)的知識與方法去解決.函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉,方程問題的函數(shù)視角就是利用函數(shù)的圖像、性質(zhì)來研究方程的根及范圍問題.

    1.1.與函數(shù)的零點或方程的根或函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題

    例題1.1.(1)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當x∈[-1,1]時,f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=|lgx|的圖像的交點共有( )

    A. 10個 B. 9個 C. 8個 D. 1個

    綜上所述,原方程有4個實根.

    點評:函數(shù)零點問題的解題思路主要有兩個方向,一是算出來,即利用方程求根,運用方程的思想求解,二是畫出來,即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸的交點問題或者兩個函數(shù)圖像的交點問題,運用函數(shù)的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想求解.在解題過程中,函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化.本題根據(jù)分段函數(shù)不同區(qū)間的特征,綜合運用解方程、構(gòu)造函數(shù),討論單調(diào)性等方法求解.

    1.2求參數(shù)的值或取值范圍問題

    例題1.2. 已知函數(shù)f(x)=|x2-1|,g(x)=x2+ax+2,x∈R,若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)+2在(0,2)上有兩個零點x1,x2求實數(shù)a的取值范圍.

    點評:運用函數(shù)的思想轉(zhuǎn)化零點問題,構(gòu)造的函數(shù)不同,解法也不同,但用到的思想方法是相同的,在解題中要注意函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化.

    1.3.借助零點,考查導數(shù)探究函數(shù)的性質(zhì)

    例題1.3. 設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

    (Ⅰ)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)的零點的個數(shù);

    值范圍,體現(xiàn)了函數(shù)的思想.解題時要注意自變量c的取值范圍,即函數(shù)定義域的確定.

    三、立體幾何中的函數(shù)方程思想

    函數(shù)方程思想不僅在代數(shù)解題中發(fā)揮著重要的作用,而且在立體幾何中也有著巧妙的應(yīng)用.在立體幾何的動點問題、最值問題和逆向問題中,通常要運用函數(shù)與方程的思想求解.

    3.1利用函數(shù)的圖像及性質(zhì)解決立幾中動點的軌跡問題

    例題3.1. 如圖,動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上. 過點P作垂直于平面BB1D1D的直線,與正方體表面相交于M,N. 設(shè)BP=x,MN=y,則函數(shù)y=f(x)的圖像大致是( )

    點評:本題是一道立體幾何與函數(shù)圖像相結(jié)合的題目,主要考查了函數(shù)圖像的變化.由于題目中給出了自變量和因變量,如能求出函數(shù)解析式,問題即可獲解.因此,可根據(jù)幾何體的特征和條件分析兩個變量的變化情況,通過M,N,P作底面的垂線作出M,N在平面ABCD內(nèi)的正投影,保持其長度不變,從而把空間問題平面化,建立一次函數(shù)模型.

    3.2利用方程的思想解立體幾何逆向題

    例題3.2. 如圖,已知四棱臺ABCDA1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,點P,Q分別在棱DD1,BC上.

    (1)若P是DD1的中點,證明:AB1⊥PQ;

    (2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角PQDA的余弦值為,求四面體ADPQ的體積.

    解析:由題設(shè)知,AA1,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則相關(guān)各點的坐標為A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6.

    點評:本題是一道立體幾何逆向題.通過設(shè)定變量m,λ利用二面角PQDA的余弦值為以及PQ∥平面ABB1A1的條件建立等量關(guān)系,求出變量m,λ的值,體現(xiàn)了方程的思想.

    3.3運用函數(shù)的思想解決立幾中的最值問題

    例題3.3. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.

    (1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;

    (2)點Q是線段BP上的動點,當直線CQ與DP所成角最小時,求線段BQ的長.

    解析:以{,,}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則各點的坐標為B(1,

    總之,作為高中數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容,數(shù)學思想與數(shù)學方法屬于教學中的重點,也是學生學習過程中的難點.通過思想與方法的學習能夠真正理解數(shù)學的價值和意義.函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學的基本思想方法之一,也是高考的重中之中,是掌握許多數(shù)學知識的基礎(chǔ). 運用函數(shù)與方程的思想方法去解題,才舉一反三,融會貫通,才能俯瞰題目,達到“一覽眾山小”的境界.函數(shù)與方程思想的運用在高中數(shù)學中無處不在,在解題中應(yīng)注意體會,歸納總結(jié),形成方法和能力.

    責任編輯 徐國堅

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