一種新的區(qū)間二型模糊集排序方法

周 林 濤， 李 洪 興

( 大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024 )

一種新的區(qū)間二型模糊集排序方法

周 林 濤， 李 洪 興*

( 大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024 )

區(qū)間二型模糊集排序是模糊決策領(lǐng)域中的一個(gè)重要內(nèi)容，然而文獻(xiàn)中排序方法在某些情形下無法區(qū)分區(qū)間二型模糊集的排序順序．針對(duì)這一問題，給出了一種新的基于模糊集內(nèi)心的排序方法，依據(jù)排序值的大小來確定區(qū)間二型模糊集的排序順序．與已有排序方法相比較，所給方法能夠有效區(qū)分區(qū)間二型模糊集的排序順序．

區(qū)間二型模糊集；模糊集內(nèi)心；排序方法

0 引 言

作為一型模糊集的擴(kuò)展[1]，二型模糊集的隸屬度為區(qū)間[0,1]上的一型模糊集．二型模糊集隸屬度上多出的一維使得它在表示模糊性時(shí)，具有了比一型模糊集更多的靈活性[2]．因此，有關(guān)二型模糊集的研究越來越受到人們的重視[3-4]．二型模糊集已經(jīng)被大量地應(yīng)用到人工智能、控制工程、優(yōu)化與決策等各個(gè)領(lǐng)域[5-7]．

然而，計(jì)算的復(fù)雜性制約了二型模糊集在更多實(shí)際問題中的應(yīng)用．為了解決這個(gè)瓶頸問題，很多研究者對(duì)涉及二型模糊集的規(guī)則約簡(jiǎn)、表示方法等問題進(jìn)行了大量的研究[3-4,8-9]．Zhou等[8]提出了一種構(gòu)造簡(jiǎn)約二型模糊系統(tǒng)的規(guī)則約簡(jiǎn)方法，并給出了4條衡量二型模糊規(guī)則貢獻(xiàn)大小的評(píng)價(jià)指標(biāo)．隨后，Zhou等[9]還給出了一個(gè)新的二型模糊有序加權(quán)平均算子，并用該算子來聚合基于二型模糊集的決策變量及偏好信息．Mendel等[3]則提出了區(qū)間二型模糊集的概念，它將二型模糊集的隸屬函數(shù)定義為區(qū)間值函數(shù)，簡(jiǎn)化了二型模糊集的表示，從而使計(jì)算變得簡(jiǎn)單．因此，區(qū)間二型模糊集在理論研究和計(jì)算方面具有了其他高階模糊集所不可比擬的優(yōu)勢(shì)[4]．在模糊決策等應(yīng)用問題中，經(jīng)常會(huì)用到區(qū)間二型模糊集的排序，因而產(chǎn)生了大量的區(qū)間二型模糊集排序方法[10-19]，如 Chen和Lee提出了基于可能度的梯形區(qū)間二型模糊集排序方法[10]，并給出了梯形區(qū)間二型模糊集的運(yùn)算規(guī)則．Hu等[14]則對(duì)Chen 和 Lee的方法進(jìn)行改進(jìn)，給出了基于可能度的梯形區(qū)間二型模糊集排序新方法．Wang等將期望值法解模糊化方法推廣到區(qū)間二型模糊集，給出了基于期望值的區(qū)間二型模糊集排序方法[15]．Ghorabaee等將三角模糊數(shù)重心法解模糊化方法推廣到區(qū)間二型模糊集，給出了基于模糊集重心的區(qū)間二型模糊集排序方法[17]．然而，在某些情況下，上述排序方法無法區(qū)分區(qū)間二型模糊集的排序順序．因此，對(duì)區(qū)間二型模糊集的排序方法進(jìn)行研究仍然有必要．

本文首先重新定義梯形區(qū)間二型模糊集的運(yùn)算規(guī)則，克服Chen和Lee所給定義[10]中存在的不足．然后，給出一種基于模糊集內(nèi)心的梯形區(qū)間二型模糊集排序方法．最后，將本文方法同文獻(xiàn)中方法進(jìn)行比較，以驗(yàn)證本文方法的實(shí)用性．

1 基本概念

Mendel等[3]最先給出區(qū)間二型模糊集的概念，隨后Chen和 Lee在應(yīng)用中給出了區(qū)間二型模糊集的運(yùn)算定義[10]．

其中Jx?[0,1]．

其中Jx?[0,1]．

(1)

圖1 梯形區(qū)間二型模糊集

在區(qū)間二型模糊集的排序方法中,常利用表示上隸屬函數(shù)和下隸屬函數(shù)的一型模糊集來確定其排序順序．如在文獻(xiàn)[10]中,Chen 和 Lee將基于可能度的一型模糊集排序方法推廣到區(qū)間二型模糊集, 給出了基于可能度的區(qū)間二型模糊集排序方法，依據(jù)區(qū)間二型模糊集的排序值大小來確定排序順序．

其中

2 區(qū)間二型模糊集的運(yùn)算

Chen和Lee給出了區(qū)間二型模糊集的運(yùn)算規(guī)則，然而該運(yùn)算規(guī)則忽略了區(qū)間頂點(diǎn)隸屬度的作用，并且隸屬函數(shù)的定義域取值必須為正值．結(jié)合直覺模糊集定義[20-22]，本文重新定義梯形區(qū)間二型模糊集的運(yùn)算，以改進(jìn)原有定義中存在的不足．

其中k∈R+．

顯然，相比Chen 和 Lee在文獻(xiàn)[10]中所給的運(yùn)算規(guī)則，本文在定義梯形區(qū)間二型模糊集的運(yùn)算時(shí)，考慮了隸屬值Hi(AT)，i∈{1,2}，T∈{U,L}對(duì)運(yùn)算的影響，并且克服了隸屬函數(shù)在定義域內(nèi)取值必須非負(fù)的不足．

3 基于模糊集內(nèi)心的排序方法

三角形內(nèi)心具有唯一性，且到三角形三邊距離相等，基于此特性，Rouhparvar[23]給出了基于三角模糊數(shù)內(nèi)心的解模糊化方法，并驗(yàn)證了用解模糊化值來確定模糊集排序順序的合理性和有效性．結(jié)合三角模糊數(shù)內(nèi)心法解模糊化方法，本文給出基于模糊集內(nèi)心的梯形區(qū)間二型模糊集排序方法．

(2)

(3)

(4)

圖2 三角模糊集

圖3 梯形模糊集

(5)

實(shí)驗(yàn)組機(jī)械通氣時(shí)間(7.47±3.34)天和呼吸機(jī)相關(guān)性肺炎發(fā)生率(4.00%)均顯著低于對(duì)照組(12.31±4.47)天和(22.00%),P<0.01,差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。結(jié)果見表1。

(6)

(7)

在排序區(qū)間二型模糊集時(shí)，依據(jù)排序值的大小來確定其排序順序．當(dāng)排序值相等時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)區(qū)間二型模糊集等價(jià)．

4 數(shù)值分析

Bortolan和Degani在文獻(xiàn)[24]中給出了13個(gè)具有代表性的模糊集，這13個(gè)模糊集常用來檢驗(yàn)各種排序方法的效果，如表1所示．

表1 13個(gè)模糊集

按照文獻(xiàn)和本文所給的排序方法計(jì)算表1中的13個(gè)模糊集，所得計(jì)算結(jié)果如表2所示．

表2 不同方法的排序結(jié)果

4.1 計(jì)算結(jié)果比較

(1)根據(jù)表2中Set1的比較結(jié)果可知，文獻(xiàn)[10,17-18]和本文方法的排序結(jié)果一致；

(2)根據(jù)表2中Set2～Set6、Set8、Set9和Set11的比較結(jié)果可以看出，文獻(xiàn)[10,13-14,16-18]和本文方法的排序結(jié)果一致；

(3)根據(jù)表2中Set7的比較結(jié)果可以看出，只有本文和文獻(xiàn)[16]中的方法能區(qū)分兩個(gè)模糊集的排序順序；

(4)根據(jù)表2中Set10的比較結(jié)果可知，文獻(xiàn)[10,13,16-18]和本文方法的排序結(jié)果一致；

(5)根據(jù)表2中Set12的比較結(jié)果可知，文獻(xiàn)[10,14,16]和本文方法的排序結(jié)果一致，文獻(xiàn)[13,17-18]不能區(qū)分兩個(gè)模糊集的大??；

(6)根據(jù)表2中Set13的比較結(jié)果可知，文獻(xiàn)[13,17-18]和本文方法的排序結(jié)果一致．

4.2 排序方法比較

將本文方法與文獻(xiàn)[10-18]中的排序方法相比較可以發(fā)現(xiàn)：

(1)除了文獻(xiàn)[15]以外，只有本文方法在運(yùn)算中考慮了模糊集的區(qū)間頂點(diǎn)隸屬度，從而保留了更多的計(jì)算信息．

(2)本文方法不僅能夠區(qū)分模糊集的大小，而且比大多數(shù)排序方法要簡(jiǎn)便．

在算法的復(fù)雜性對(duì)比中，常以空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度來衡量一種計(jì)算方法的優(yōu)劣．假設(shè)以時(shí)間復(fù)雜度作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，要確定一組n個(gè)模糊集的排序順序，用計(jì)算中出現(xiàn)乘法運(yùn)算的次數(shù)來表示算法復(fù)雜度，對(duì)比幾種排序方法的算法復(fù)雜度：

①在文獻(xiàn)[10]中，計(jì)算一個(gè)模糊集的排序值需要進(jìn)行2(n-1)次乘法運(yùn)算，共有n個(gè)模糊集，確定全部排序時(shí)運(yùn)行乘法的次數(shù)T′n=2n(n-1)+4n+1，因此時(shí)間復(fù)雜度為O(n2)；

②在文獻(xiàn)[14]中，確定一個(gè)模糊集的排序值需要計(jì)算n次乘法，排序n個(gè)模糊集需要運(yùn)行的乘法次數(shù)T″n=n2，因此時(shí)間復(fù)雜度為O(n2)；

③在文獻(xiàn)[17]中，計(jì)算n個(gè)模糊集的排序值共需要進(jìn)行的乘法次數(shù)T?n=12n2，因此時(shí)間復(fù)雜度也為O(n2)；

④在文獻(xiàn)[18]中，采用概率分布函數(shù)法計(jì)算模糊集的排序值，需要進(jìn)行積分運(yùn)算；

⑤在文獻(xiàn)[13,16]和本文方法中，計(jì)算一個(gè)區(qū)間二型模糊集的符號(hào)距離、自適應(yīng)二維優(yōu)勢(shì)度以及內(nèi)心時(shí)，需要進(jìn)行K次乘法運(yùn)算(K為常數(shù))，共有n個(gè)模糊集排序，共需要進(jìn)行Kn次乘法運(yùn)算，因此時(shí)間復(fù)雜度均為O(n)．

可見本文方法的時(shí)間復(fù)雜度要比大多數(shù)排序方法的時(shí)間復(fù)雜度低，計(jì)算更簡(jiǎn)便．

(3)在某些情形下，其他一些排序方法失效，不能區(qū)分兩個(gè)模糊集的排序順序，而本文方法卻仍然能夠區(qū)分，如Set7和Set12的排序．

5 結(jié) 語(yǔ)

本文定義了梯形區(qū)間二型模糊集的運(yùn)算，并基于模糊集內(nèi)心給出了一種新的梯形區(qū)間二型模糊集排序方法．文中在定義梯形區(qū)間二型模糊集運(yùn)算規(guī)則時(shí)，考慮了區(qū)間頂點(diǎn)隸屬度對(duì)計(jì)算的影響，保留了更多的模糊性，減少了因計(jì)算而造成的信息丟失．結(jié)合三角模糊數(shù)內(nèi)心法解模糊化方法，給出了基于模糊集內(nèi)心的梯形區(qū)間二型模糊集排序方法．以經(jīng)典的13個(gè)模糊集為例，將本文方法與其他排序方法做對(duì)比分析，結(jié)果表明，文中所給的區(qū)間二型模糊集排序方法較大多數(shù)排序方法簡(jiǎn)便、有效，而且能區(qū)分其他排序方法不能區(qū)分的區(qū)間二型模糊集．對(duì)區(qū)間二型模糊集排序方法進(jìn)行研究，促進(jìn)了其在實(shí)際問題中的應(yīng)用，一個(gè)準(zhǔn)確、有效的排序方法在實(shí)際應(yīng)用中是必要的．

[1] ZADEH L A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning [J]. Information Sciences, 1975, 8:199-249.

[2] WU Dongrui, MENDEL J M. Aggregation using the linguistic weighted average and interval type-2 fuzzy sets [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2007, 15(6):1145-1161.

[3] MENDEL J M, JOHN R I, LIU Feilong. Interval type-2 fuzzy logic systems made simple [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2006, 14(6):808-821.

[4] MENDEL J M. General type-2 fuzzy logic systems made simple:A tutorial [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2014, 22(5):1162-1182.

[5] GANJEFAR S, SOLGI Y. A Lyapunov stable type-2 fuzzy wavelet network controller design for a bilateral teleoperation system [J]. Information Sciences, 2015, 311:1-17.

[6] ZHOU Shangming, CHICLANA F, JOHN R I,etal. Type-1 OWA operators for aggregating uncertain information with uncertain weights induced by type-2 linguistic quantifiers [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2008, 159(24):3281-3296.

[7] CHICLANA F, ZHOU Shangming. Type-reduction of general type-2 fuzzy sets:The type-1 OWA approach [J]. International Journal of Intelligent Systems, 2013, 28(5):505-522.

[8] ZHOU Shangming, GARIBALDI J M, JOHN R I,etal. On constructing parsimonious type-2 fuzzy logic systems via influential rule selection [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2009, 17(3):654-667.

[9] ZHOU Shangming, JOHN R I, CHICLANA F,etal. On aggregating uncertain information by type-2 OWA operators for soft decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems, 2010, 25(6):540-558.

[10] CHEN Shyiming, LEE Liwei. Fuzzy multiple attributes group decision-making based on the ranking values and the arithmetic operations of interval type-2 fuzzy sets [J]. Expert Systems with Applications, 2010, 37(1):824-833.

[11] CHEN Shyiming, LEE Liwei. Fuzzy multiple attributes group decision-making based on the interval type-2 TOPSIS method [J]. Expert Systems with Applications, 2010, 37(4):2790-2798.

[12] CHEN Shyiming, YANG Mingwey, LEE Liwei,etal. Fuzzy multiple attributes group decision-making based on ranking interval type-2 fuzzy sets [J]. Expert Systems with Applications, 2012, 39(5):5295-5308.

[13] CHEN Tingyu. A linear assignment method for multiple-criteria decision analysis with interval type-2 fuzzy sets [J]. Applied Soft Computing Journal, 2013, 13(5):2735-2748.

[14] HU Junhua, ZHANG Yan, CHEN Xiaohong,etal. Multi-criteria decision making method based on possibility degree of interval type-2 fuzzy number [J]. Knowledge-Based Systems, 2013, 43:21-29.

[15] WANG Jianqiang, YU Sumin, WANG Jing,etal. An interval type-2 fuzzy number based approach for multi-criteria group decision-making problems [J]. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 2015, 23(4):565-588.

[16] CHANG Jingrong, CHENG Chinghsue, KUO Chenyi. Conceptual procedure for ranking fuzzy numbers based on adaptive two-dimensions dominance [J]. Soft Computing, 2006, 10(2):94-103.

[17] GHORABAEE M K, AMIRI M, SADAGHIANI J S,etal. Multiple criteria group decision-making for supplier selection based on COPRAS method with interval type-2 fuzzy sets [J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014, 75(5):1115-1130.

[18] LEE E S, LI R J. Comparison of fuzzy numbers based on the probability measure of fuzzy events [J]. Computers & Mathematics with Applications, 1988, 15(10):887-896.

[19] 李榮鈞. 模糊決策的基礎(chǔ)——模糊集比較與排序[J]. 控制與決策, 2003, 18(2):221-224.

LI Rongjun. Basis of fuzzy decision — Comparison and ranking of fuzzy sets [J]. Control and Decision, 2003, 18(2):221-224. (in Chinese)

[20] WANG Jianqiang, NIE Rongrong, ZHANG Hongyu,etal. New operators on triangular intuitionistic fuzzy numbers and their applications in system fault analysis [J]. Information Sciences, 2013, 251:79-95.

[21] WANG Jianqiang, NIE Rongrong, ZHANG Hongyu,etal. Intuitionistic fuzzy multi-criteria decision-making method based on evidential reasoning [J]. Applied Soft Computing Journal, 2013, 13(4):1823-1831.

[22] 張英俊,馬培軍,蘇小紅,等. 屬性權(quán)重不確定條件下的區(qū)間直覺模糊多屬性決策[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2012, 38(2):220-228.

ZHANG Yingjun, MA Peijun, SU Xiaohong,etal. Multi-attribute decision making with uncertain attribute weight information in the framework of interval-valued intuitionistic fuzzy set [J]. Acta Automatica Sinica, 2012, 38(2):220-228. (in Chinese)

[23] ROUHPARVAR H. A new definition for defuzzification of generalized fuzzy numbers and its application [J]. Applied Soft Computing Journal, 2015, 30:577-584.

[24] BORTOLAN G, DEGANI R. A review of some methods for ranking fuzzy subsets [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1985, 15(1):1-19.

A new ranking method of interval type-2 fuzzy sets

ZHOU Lintao, LI Hongxing*

( School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

The ranking for interval type-2 fuzzy sets is one of the most critical issues in the fuzzy decision-making domain. The existing methods, however,cannot distinguish the ranking order of interval type-2 fuzzy sets in some cases.To solve this problem, a new ranking method of interval type-2 fuzzy sets is proposed based on incentre point of fuzzy sets; and then, a ranking order is defined according to the ranking value. Compared with the existing methods, the proposed method can effectively distinguish the ranking order of interval type-2 fuzzy sets.

interval type-2 fuzzy sets; incentre point of fuzzy sets; ranking method

2016-08-30；

2017-01-10．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374118).

周林濤(1981-)，男，博士生，E-mail:zltao@foxmail.com；李洪興*(1953-)，男，教授，E-mail:lihx@dlut.edu.cn.

1000-8608(2017)02-0195-07

O159

A

10.7511/dllgxb201702013