探“源”引“流”

張永杰

[摘要]“源流式”高中數(shù)學(xué)教學(xué)是切合新教改，體現(xiàn)數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的高中數(shù)學(xué)教學(xué)方式的一種轉(zhuǎn)變，也促使高中數(shù)學(xué)本真價值的回歸?！霸戳魇健备咧袛?shù)學(xué)教學(xué)的根本意義是讓高中數(shù)學(xué)“返本歸源”。讓學(xué)生對數(shù)學(xué)“探本窮源”，進(jìn)而讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的“源”與“流”上整體、聯(lián)系、深刻地把握數(shù)學(xué)。

[關(guān)鍵詞]“源流式”教學(xué)；高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)生長

基于功利主義和對教學(xué)效率的片面追求。高中數(shù)學(xué)教學(xué)常常是“掐頭去尾燒中段”。由此異化成一種“截流式”教學(xué)?！敖亓魇健苯虒W(xué)具體表現(xiàn)為：教師對學(xué)生的機(jī)械灌輸。學(xué)生對知識的被動接受。這種方式很少讓學(xué)生有自主探究、自發(fā)交流、自能思考的機(jī)會?！霸戳魇健苯虒W(xué)與“截流式”教學(xué)截然不同。旨在讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行“再創(chuàng)造”（弗賴登塔爾語），經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識自然生長的過程。由此把握數(shù)學(xué)知識的由來和內(nèi)在本質(zhì)。

對“源流式”教學(xué)的深度解讀

任何事物都不是突然發(fā)生的。都有其漸進(jìn)演變的過程。也就是說都是有“源”和“流”的。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。我們同樣需要關(guān)注知識的“源”與“流”。關(guān)注知識的本質(zhì)。關(guān)注知識的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)。

首先是知識的“源”。所謂“源”。就是“根源”。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要能積極“返本歸源”。引領(lǐng)學(xué)生追問并探尋數(shù)學(xué)知識的“根源”。讓學(xué)生“飲水思源”“探本窮源”。具體而言。就是要善于追問數(shù)學(xué)知識的“生成之源”。關(guān)注數(shù)學(xué)知識的“生長之源”。把握數(shù)學(xué)知識的“生發(fā)之源”。

其次是知識的“流”。所謂“流”。即“流向”“流動”“流變”“流傳”等。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。教師要引領(lǐng)學(xué)生精準(zhǔn)地把握數(shù)學(xué)知識的流向。把握數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)。把握數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)。明晰每一個數(shù)學(xué)知識點“從哪里來、到哪里去”。要順流而下。讓學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識體驗、感知新知識的生成。

“源流式”教學(xué)的建構(gòu)路徑

高中數(shù)學(xué)實施“源流式”教學(xué)有兩個層面。即處理好知識的“源”與“流”。“源式”教學(xué)要求學(xué)生對數(shù)學(xué)知識不僅“知其然”。更“知其所以然”。要對知識的產(chǎn)生、發(fā)源地進(jìn)行回溯、探訪，進(jìn)而把握知識本質(zhì)、結(jié)構(gòu)，“以簡馭繁”；“流式”教學(xué)要求學(xué)生明晰每一個數(shù)學(xué)知識點背后的“上位知識”和“下位知識”。它“來自何處又去向何方”。它是以怎樣的方式和途徑“來去”的。要“既見樹木。又見森林”。

溯本求源——“源流式”教學(xué)之起點

“源流式”教學(xué)首先需要探尋數(shù)學(xué)知識之源、學(xué)生認(rèn)知之源，這是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之起點。也是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計之起點。因此。教師必須基于學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)。

1.探尋數(shù)學(xué)知識起點

高中數(shù)學(xué)知識幾乎都是“散裝”的。它略去了知識誕生的先后順序、認(rèn)知視角等?！霸戳魇健苯虒W(xué)即是要求數(shù)學(xué)教學(xué)要潛入數(shù)學(xué)知識的原點去、源頭去，去探尋知識的本質(zhì)和研究視角等。例如。教學(xué)“平面解析幾何初步”單元。該單元是在小學(xué)、初中學(xué)習(xí)幾何圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，但小學(xué)、初中都是采用幾何的方法進(jìn)行的研究。高中數(shù)學(xué)截然不同。它要求用代數(shù)的方法對圖形進(jìn)行量化研究。這是高中解析幾何的根本方法。這對于后面學(xué)習(xí)橢圓和雙曲線、拋物線等圖形。加深對圖形的量化刻畫至關(guān)重要。教學(xué)之前教師必須要有足夠的認(rèn)識。

2.把脈學(xué)生認(rèn)知起點

學(xué)生的認(rèn)知是螺旋建構(gòu)的。教學(xué)中教師要把脈學(xué)生的認(rèn)知起點。找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”。將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由“潛在發(fā)展區(qū)”導(dǎo)向“現(xiàn)實發(fā)展區(qū)”。例如。教學(xué)“等差數(shù)列”。筆者讓學(xué)生通過正反實例深刻理解“等差數(shù)列”中的“常數(shù)”的含義和作用。如a_n-a_n-1=4n-5，很多學(xué)生認(rèn)為這個等差數(shù)列中的公差是“4n-5”，其實當(dāng)n為正整數(shù)時，這個數(shù)列的公差不是等差而是“變差”。公差會伴隨n的變化而變化。如此。把脈學(xué)生的認(rèn)知起點。可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

3.激活教學(xué)設(shè)計起點

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。教師需要考量從何處預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)、規(guī)劃教學(xué)設(shè)計、謀劃學(xué)習(xí)過程。教學(xué)起點的設(shè)計是教學(xué)過程展開的基礎(chǔ)。教學(xué)的針對性、適切性與教學(xué)起點的設(shè)計息息相關(guān)。例如。教學(xué)“平面與平面平行的判斷”。筆者根據(jù)數(shù)學(xué)知識起點和學(xué)生認(rèn)知起點。將課時目標(biāo)進(jìn)行有效定位：掌握“平面和平面平行的判定定理”，能夠用圖形、文字、符號對定理進(jìn)行多元表征：理解定理。能夠自主歸納出“平面與平面平行”的判斷條件：能對以長方體、棱錐等為載體的面面平行問題進(jìn)行論證。形成學(xué)生空間問題平面化思想。

順流而下——“源流式”教學(xué)之過程

數(shù)學(xué)知識是相互關(guān)聯(lián)的整體結(jié)構(gòu)。教學(xué)中不僅需要回溯知識的“源”。更需要探尋知識的“流”。通過探尋“流”。引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟知識的內(nèi)核。把握知識的關(guān)聯(lián)。將各個知識點納入到主知識渠道之中。形成對知識的整體認(rèn)知。

1.“主任務(wù)”驅(qū)動?！按髥栴}”設(shè)定

“任務(wù)驅(qū)動”是建構(gòu)主義的教學(xué)法。即是讓學(xué)生圍繞一個中心任務(wù)展開自主的探究。這是“源流式”教學(xué)的激發(fā)機(jī)制，學(xué)生在這個過程中主動“查源、補(bǔ)漏、尋缺”。教師以“大問題”設(shè)定。激發(fā)學(xué)生的主動思維。提升學(xué)生的思維品質(zhì)。例如。教學(xué)“指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)關(guān)系”。筆者首先用“主任務(wù)”驅(qū)動：函數(shù)y=a^x和y=log_ax（a>0且a≠1）之間有什么內(nèi)在關(guān)系。然后筆者先用一組題誘導(dǎo)學(xué)生思考：嘗試計算函數(shù)y=2^x和y=log₂x的y的值。通過計算。學(xué)生得出了兩個函數(shù)值表。接著筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察并繪制圖像。用“大問題”設(shè)定：兩個函數(shù)之間有什么關(guān)系？同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？學(xué)生從具體到抽象，逐步建立起反函數(shù)的概念。反函數(shù)的原理、特性等數(shù)學(xué)知識是函數(shù)知識發(fā)展的必然流向。

2.“高觀點”統(tǒng)籌?！爸R點”集裝

“源流式”教學(xué)要求教師關(guān)注數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展和變化的過程，把握數(shù)學(xué)知識內(nèi)部小系統(tǒng)、知識間的大系統(tǒng)的屬種、層次、交叉關(guān)系。因此，教師需要用“高觀點”進(jìn)行統(tǒng)籌。對數(shù)學(xué)散裝的“知識點”進(jìn)行“整體集裝”。由此構(gòu)筑數(shù)學(xué)知識之體。例如。教學(xué)“直線與方程”單元，筆者將知識點整理如下：兩直線位置關(guān)系（兩條直線的交點坐標(biāo)、兩點間的距離、點到直線的距離、兩平行直線間的距離、兩直線垂直），這部分內(nèi)容在整個高中解析幾何中發(fā)揮著極其重要的作用。教學(xué)時必須讓學(xué)生秉持“高觀點”：方程的直線和直線的方程。因為整個解析幾何主要研究的就是兩個問題：曲線的方程和方程的曲線。用“高觀點”對“知識群”進(jìn)行集裝。對于學(xué)生建立解析幾何學(xué)習(xí)的根本框架有著十分重要的意義和價值。

3.“條線式”串聯(lián)?！靶蛄谢鄙L

盡管有一些相同類型的數(shù)學(xué)知識被分散在高中各年級的教材之中。其難度不一。但在其內(nèi)部卻存在著本質(zhì)關(guān)聯(lián)?！霸戳魇健苯虒W(xué)要求教師在教學(xué)過程中對同類知識、相關(guān)知識等進(jìn)行“條線式”串聯(lián)。以便讓知識獲得“序列化”生長。教學(xué)“二項式定理”，即（a+b）ⁿ展開式，筆者首先讓學(xué)生嘗試分析n=2，3，4時展開式的共同特征學(xué)生從（a+b）²=a²+2ab+b²出發(fā)，嘗試推導(dǎo)（a+b）³，（a+b）⁴的展開式。并且提出各自的猜想。覺得用遞推法得出各項系數(shù)有困難為此。筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試用組合知識解釋ab項的系數(shù)。于是學(xué)生根據(jù)多項式的乘法法則推導(dǎo)表示出了（a+b）³，（a+b）⁴的展開式，并形成了關(guān)于（a+b）ⁿ的展開式的猜想通過“條線式”串聯(lián)。最終形成了二項式展開式的通項：T_k+1=C^k_na^n-kb^k（0≤k≤n，n∈N^*）。實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的“序列化”生長

“源流式”教學(xué)洞察知識之根、結(jié)構(gòu)之眼，將數(shù)學(xué)知識“連成線、形成片、織成網(wǎng)”。學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)知識的生成、感知數(shù)學(xué)知識的延展方向。不斷形成新知識的“生長能級”。相信這樣，能使學(xué)生跟隨數(shù)學(xué)知識從源頭流出。感受數(shù)學(xué)知識的流淌。自然能形成對數(shù)學(xué)的真正理解和應(yīng)用。