并聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的統(tǒng)計(jì)分析

徐曉嶺，王蓉華，顧蓓青

(1.上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620； 2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】

并聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的統(tǒng)計(jì)分析

徐曉嶺1，王蓉華2，顧蓓青1

(1.上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620； 2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

給出了并聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型，修正了原有的基本假定，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了相應(yīng)的似然函數(shù)，在全樣本、定時截尾樣本場合下研究了參數(shù)的極大似然估計(jì)，并通過Monte-Carlo模擬算例驗(yàn)證方法的可行性。

并聯(lián)系統(tǒng)；屏蔽數(shù)據(jù)；似然函數(shù)；極大似然估計(jì)

在可靠性分析中，人們往往通過分析系統(tǒng)的壽命數(shù)據(jù)來估計(jì)該系統(tǒng)中各組成單元壽命分布中的未知參數(shù)。系統(tǒng)壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)包括兩個方面，一是失效時間，二是失效原因。理想狀態(tài)下，系統(tǒng)的壽命數(shù)據(jù)應(yīng)該包括系統(tǒng)失效的具體時間以及由哪個單元失效導(dǎo)致整個系統(tǒng)失效的信息。但大多數(shù)時候，導(dǎo)致系統(tǒng)失效的那個單元并不能夠被準(zhǔn)確識別出來，人們僅能夠把導(dǎo)致系統(tǒng)失效的原因歸結(jié)為某些單元所組成的一個集合，系統(tǒng)真正失效的原因被屏蔽掉了。在現(xiàn)實(shí)生活中，由于故障診斷和故障檢測所需的費(fèi)用昂貴，特別是在現(xiàn)代系統(tǒng)中越來越多地采用模塊化設(shè)計(jì)，引起系統(tǒng)失效的確切單元通常都是未知的。在計(jì)算機(jī)或集成電路等進(jìn)行系統(tǒng)可靠性研究時，也會遇到相類似的屏蔽問題。導(dǎo)致屏蔽發(fā)生的原因很多，如：經(jīng)費(fèi)的不足、時間的限制、記錄的錯誤，診斷工具的缺乏及由某些單元失效所帶來的一些破壞性的后果等。這使得屏蔽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析成為近年來研究的熱點(diǎn)問題之一，許多學(xué)者做了很好的工作，并取得了一系列的研究成果，在此不一一列舉。值得指出的是國際上屏蔽數(shù)據(jù)參數(shù)的估計(jì)問題最早是由Usher和Hodgson于1988年在文獻(xiàn)[1]中首次提出來的，在給出幾個基本假定基礎(chǔ)上研究其統(tǒng)計(jì)分析方法，其中最為關(guān)鍵的假定可表述為“屏蔽的發(fā)生與失效原因及時間無關(guān)(即獨(dú)立)”，也有學(xué)者稱為對稱性假定。在此以后的眾多研究成果無論是串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)還是混聯(lián)系統(tǒng)都是建立在這一基礎(chǔ)之上的。就并聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析而言，國外的文獻(xiàn)見[2-6]，國內(nèi)的文獻(xiàn)見[7-11]。

本文給出了并聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型，修正了原有的基本假定，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了相應(yīng)的似然函數(shù)，在全樣本、定時截尾樣本場合下研究了參數(shù)的極大似然估計(jì)，通過Monte-Carlo模擬算例說明方法的可行性。

1 并聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的基本假定

基本假定1：系統(tǒng)由J(≥1)個獨(dú)立單元并聯(lián)而成。

基本假定2：將n個同樣的系統(tǒng)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到時間τ為止，此時共有r個系統(tǒng)失效。(即所謂的定時截尾壽命試驗(yàn))

基本假定3：屏蔽的發(fā)生與失效原因及時間相關(guān)，當(dāng)屏蔽發(fā)生時，其對應(yīng)的失效原因單元(即造成系統(tǒng)失效的單元)被屏蔽的概率(簡稱屏蔽概率)為該單元在此時的可靠度，而與失效單元集中的其他單元無關(guān)。

值得指出的是以前文獻(xiàn)中的基本假定3表述為“屏蔽的發(fā)生與失效原因及時間無關(guān)(即獨(dú)立)”，其即為通常所言的對稱性假定，失效原因是指明確由于具體某個單元失效而導(dǎo)致系統(tǒng)失效。該假定即指所有單元的屏蔽概率相同。但這與實(shí)際情況很不一致。因?yàn)獒槍Σ⒙?lián)通常來說可靠性高的單元其失效概率自然會比較小，被屏蔽的失效原因是可靠性高的單元的概率相對也比較高。在此假定屏蔽概率是該單元此時的可靠度，可靠性越高，失效概率越小，其屏蔽概率也越大。這比較符合實(shí)際情況。

2 并聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的似然函數(shù)

考慮n個并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，每一個系統(tǒng)有J個單元。記Tij表示第i個系統(tǒng)的第j個單元的壽命，是一隨機(jī)變量。其觀察值記為tij，i=1,2,…,n,j=1,2,…,J.于是可得到第i個系統(tǒng)的壽命Ti為：Ti=max(Ti1,Ti2,…,TiJ)，其觀察值記為ti,i=1,2,…,n。記Si為引起系統(tǒng)i失效的單元集合，si為Si的實(shí)現(xiàn)。于是，觀察的數(shù)據(jù)data包括(t1,s1),(t2,s2),…,(tn,sn).如果集合si只含有一個元素或由單個元素組成，則表明引起系統(tǒng)i失效的單元是確知的。如果集合si中的元素不只一個，則說明引起系統(tǒng)i失效的單元壽命數(shù)據(jù)被屏蔽掉了。

就系統(tǒng)i而言，分兩種情形，情形一：si中的元素只有一個；情形二：si中的元素不只一個。

情形一：si中的元素只有一個

P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)

而P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)表示系統(tǒng)i的第j個單元在時刻ti失效，其他J-1個單元(除第j個單元)的壽命小于ti，即

P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

情形二：si中的元素不只一個，此時，系統(tǒng)i發(fā)生了屏蔽。

P(ti≤Ti≤ti+dti,Si=si)=

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)

而當(dāng)j?si時，

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=0

由此：

P(ti≤Ti≤ti+dti,Si=si)=

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)

當(dāng)j∈si，稱P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)為系統(tǒng)i在失效時刻ti時失效原因單元j被屏蔽的概率，簡稱屏蔽概率。

注意到，屏蔽概率還可寫為：

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

考慮到系統(tǒng)i屏蔽發(fā)生，其觀察數(shù)據(jù)為(ti,si),j∈si，于是可以認(rèn)為有：

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)+

而P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)表示系統(tǒng)i的第j個單元在時刻ti失效，其他J-1個單元(除第j個單元)的壽命小于ti，即：

P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

當(dāng)j∈si且si中的元素不只一個時，即有屏蔽發(fā)生的情形下，由假定3′知：當(dāng)屏蔽發(fā)生時，其對應(yīng)的失效單元的屏蔽概率為該單元在此時的可靠度，而與失效單元集中的其他單元無關(guān)。于是有

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

綜上

P(ti≤Ti≤ti+dti,Si=si)=

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

1) 全樣本場合下的似然函數(shù)

假設(shè)將n個并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，不妨設(shè)在觀察的數(shù)據(jù)(t1,s1),(t2,s2),…,(tn,sn)中，前k個系統(tǒng)沒有屏蔽發(fā)生，即si,i=1,2,…,k中的元素只有一個，而后n-k個系統(tǒng)有屏蔽發(fā)生，即si,i=1,2,…,k中的元素不只一個。于是似然函數(shù)為

2) 定時截尾場合下的似然函數(shù)

如果系統(tǒng)由兩個單元并聯(lián)而成，即J=2。失效的原因可歸結(jié)為三類：s1={1}，s2={2}，s12={1,2}。現(xiàn)考慮將n個由兩個單元并聯(lián)而成的系統(tǒng)進(jìn)行定時截尾壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到時間τ為止，此時共有r個系統(tǒng)失效。在這r個失效系統(tǒng)中，屬s1類的有r1個，其失效時間不妨設(shè)為t1,t2,…,tr1；屬s2類的有r2個，其失效時間不妨設(shè)為tr1+1,tr1+2,…,tr1+r2；屬s12類的有r3個，其失效時間不妨設(shè)為tr1+r2+1,tr1+r2+2,…,tr。其中r1+r2+r3=r。于是該n個并聯(lián)系統(tǒng)在定時截尾壽命試驗(yàn)下的似然函數(shù)為

特別地，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)時，定數(shù)截尾數(shù)為r，此時似然函數(shù)為

3 并聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的統(tǒng)計(jì)分析

1) 全樣本場合下的統(tǒng)計(jì)分析

如果系統(tǒng)由兩個單元并聯(lián)而成，即J=2。失效的原因可歸結(jié)為三類：s1={1}，s2={2}，s12={1,2}?，F(xiàn)考慮全部失效時，屬s1類的有r1個，其失效時間不妨設(shè)為t1,t2,…,tr1；屬s2類的有r2個，其失效時間不妨設(shè)為tr1+1,tr1+2,…,tr1+r2；屬s12類的有r3個，其失效時間不妨設(shè)為tr1+r2+1,tr1+r2+2,…,tn。其中r1+r2+r3=n。于是該n個并聯(lián)系統(tǒng)在壽命試驗(yàn)下的似然函數(shù)為

設(shè)單元1的壽命為X，其失效率為常數(shù)α1，單元2的壽命為Y，其失效率為常數(shù)α2，X,Y相互獨(dú)立，并聯(lián)系統(tǒng)的壽命記為T，T=max(X,Y)。

似然函數(shù)為：

特別地，當(dāng)兩個單元的失效率為相同參數(shù)時，即α1=α2=α，此時，似然函數(shù)為：

引理1：對ti,i=1,2,…,n,α>0，α的方程g(α)=0有唯一正實(shí)根。

例1：取樣本容量n=10,r1=3,r2=4，失效率都取為α=0.5α=0.5，通過Monte Carlo模擬產(chǎn)生如表1所示的隨機(jī)數(shù)。

2) 定時截尾下的統(tǒng)計(jì)分析

如果系統(tǒng)由兩個單元并聯(lián)而成，即J=2。失效的原因可歸結(jié)為3類：s1={1}，s2={2}，s12={1,2}?，F(xiàn)考慮將n個由兩個單元并聯(lián)而成的系統(tǒng)進(jìn)行定時截尾壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到時間τ為止，此時共有r個系統(tǒng)失效。在這r個失效系統(tǒng)中，屬s1類的有r1個，其失效時間不妨設(shè)為t1,t2,…,tr1；屬s2類的有r2個，其失效時間不妨設(shè)為tr1+1,tr1+2,…,tr1+r2；屬s12類的有r3個，其失效時間不妨設(shè)為tr1+r2+1,tr1+r2+2,…,tr。其中r1+r2+r3=r。

表1 n=10,r1=3,r2=4,α=0.5的隨機(jī)數(shù)

設(shè)單元1的壽命為X，其失效率為常數(shù)α1，單元2的壽命為Y，其失效率為常數(shù)α2，X,Y相互獨(dú)立，并聯(lián)系統(tǒng)的壽命記為T，T=max(X,Y)。對t≥0，

似然函數(shù)為：

特別地，當(dāng)兩個單元的失效率同為參數(shù)時，即α1=α2=α，此時，似然函數(shù)為：

例2：取樣本容量n=20,r=18,r1=7,r2=7，兩個單元的失效率都取為α=0.01，通過Monte-Carlo模擬如表2所示的隨機(jī)數(shù)。

表2 n=20,r=18,r1=7,r2=7,α=0.01的隨機(jī)數(shù)

取τ=166.255 5，利用本文方法可得參數(shù)α的極大似然估計(jì)為：α=0.013 1。

例3：取樣本容量n=20,r=18,r1=6,r2=8，兩個單元的失效率分別取為α1=1,α2=1.5，通過Monte-Carlo模擬如表3所示的隨機(jī)數(shù)。

表3 n=20,r=18,r1=5,r2=10,α1=1,α2=1.5的隨機(jī)數(shù)

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(責(zé)任編輯 楊繼森)

Statistical Analysis of New Model for Masked Data Under Parallel System

XU Xiao-ling1, WANG Rong-hua2, GU Bei-qing1

(1.School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 201620, China; 2.Mathematics and Science College, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

The new model of masked data was proposed for parallel system, which modifies original basic assumption. The corresponding likelihood function was derived on this basis. The maximum likelihood estimates of parameters were studied under full sample and type-II censored sample. The examples were illustrated to the feasibility of this method by Monte-Carlo simulations.

parallel system; masked data; likelihood function; maximum likelihood estimate

2016-10-28；

2016-11-30 基金項(xiàng)目：上海市教育委員會科研創(chuàng)新重點(diǎn)項(xiàng)目(14ZZ155)；上海市教育委員會科研創(chuàng)新一般項(xiàng)目(14YZ080)

徐曉嶺(1965—)，男，博士，教授，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計(jì)研究。

10.11809/scbgxb2017.03.037

徐曉嶺，王蓉華，顧蓓青.并聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的統(tǒng)計(jì)分析[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(3):164-169.

format:XU Xiao-ling, WANG Rong-hua, GU Bei-qing.Statistical Analysis of New Model for Masked Data Under Parallel System[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(3):164-169.

O213.2

A

2096-2304(2017)03-0164-06