基于模擬退火算法的高層結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器優(yōu)化布置

賴文龍，陳洋洋，燕樂緯，譚 平

（1.廣州大學(xué) 減震控制與結(jié)構(gòu)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，廣州 510405；2.廣州大學(xué)土木工程學(xué)院工程力學(xué)系，廣州 510006）

0 前言

結(jié)構(gòu)被動(dòng)減震控制裝置的粘滯 阻尼器[1]廣泛應(yīng)用于高層、超高層建筑結(jié)構(gòu)的減震控制。早期被動(dòng)減震控制裝置被均勻分布于高層建筑各層。隨結(jié)構(gòu)層數(shù)及阻尼器數(shù)量的增加，為降低消能減震系統(tǒng)成本、提高耗能效率，優(yōu)化阻尼器布置成為布置消能裝置須考慮的問題之一[2-4]。結(jié)構(gòu)的阻尼器優(yōu)化布置屬于離散型優(yōu)化問題，采用模擬退火算法是能夠有效解決離散型優(yōu)化問題的一種途徑。模擬退火求解過程無需目標(biāo)函數(shù)梯度信息，是一種解決大規(guī)模組合優(yōu)化問題的算法。對(duì)于阻尼器可選安裝位置，即安裝阻尼器于不安裝阻尼器兩種狀態(tài)可映射到優(yōu)化問題優(yōu)化變量中使用{0，1}表示是否在某一樓層安裝阻尼器[5-6]，對(duì)該編碼的優(yōu)化變量進(jìn)行模擬退火優(yōu)化，即可得到最優(yōu)布置方案。

模擬退火算法是一種啟發(fā)式隨機(jī)搜索方法[4]，可以在一定條件下接受劣解，使得優(yōu)化過程可以跳出局部最優(yōu)解， 在實(shí)際工程優(yōu)化問題上，能有效地求解出優(yōu)化問題的全局最優(yōu)或近似全局最優(yōu)解等優(yōu)點(diǎn)，且原理簡(jiǎn)單、算法設(shè)置靈活。但算法的缺點(diǎn)時(shí)求解時(shí)間太長(zhǎng)、溫度進(jìn)度表中影響算法參數(shù)較難確定、尋優(yōu)過程中由于執(zhí)行Metropolis環(huán)節(jié)而可能遺失當(dāng)前遇到的最優(yōu)解等缺點(diǎn)，模擬退火在優(yōu)化問題的運(yùn)用所表現(xiàn)的性能和這些參數(shù)設(shè)置相關(guān)[7]，一個(gè)好的優(yōu)化參數(shù)設(shè)置能夠顯著縮短程序運(yùn)行時(shí)間和提高算法性能。因此，如何正確選取合適的優(yōu)化參數(shù)是使用算法去解決工程實(shí)際問題的關(guān)鍵。

本文將算法尋優(yōu)過程中所接受的狀態(tài)（無論好壞狀態(tài)）記憶下來,使得模擬退火在整個(gè)最優(yōu)解搜索完后能夠輸出最優(yōu)解；并設(shè)置閾值使得當(dāng)算法穩(wěn)定收斂時(shí)，結(jié)束優(yōu)化，減少計(jì)算量[8]，但存在陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險(xiǎn)，可設(shè)置較大閾值進(jìn)行控制。使用算例進(jìn)行討論模擬退火冷卻進(jìn)度表中初始溫度與退火因子的選擇對(duì)算法性能的影響。數(shù)值表明，使用合適的算法參數(shù)下的模擬退火對(duì)高層結(jié)構(gòu)阻尼器優(yōu)化布置有高效性，穩(wěn)定性等優(yōu)良性能。

1 模擬退火

1.1 模擬退火原理

模擬退火算法（SA）最初的思想由Metropolis在1953年提出，1982年KirkPatrick[9]將退火思想引入組合優(yōu)化領(lǐng)域，提出一種解決大規(guī)模組合優(yōu)化問題的算法，特別是解TSP等NP-hard問題的通用有效的全局優(yōu)化方法[10]。

模擬退火算法來源于固體退火原理[11]，先將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻。當(dāng)溫度升高的過程，固體內(nèi)部粒子狀態(tài)變?yōu)闊o序狀態(tài)，而溫度降低冷卻時(shí)粒子趨向有序。在降溫過程中，使得每降一次溫度，系統(tǒng)都達(dá)到一個(gè)內(nèi)能很小的平衡態(tài)，最后在常溫下系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)內(nèi)能最小的一個(gè)基態(tài)。其過程包括降溫環(huán)節(jié)和Metropolis概率接受環(huán)節(jié)。Metropolis概率是粒子在溫度T時(shí)趨于平衡的概率為 e-ΔE/（kT）。 （ΔE 為其改變能量改變量， k為Boltzmann常數(shù)）。用模擬退火解決優(yōu)化問題，能量改變量模擬為新狀態(tài)與舊狀態(tài)目標(biāo)函數(shù)值之差Δf（x）。得到解組合優(yōu)化問題的模擬退火算法:由初始解S0和控制參數(shù)初值T0開始，對(duì)當(dāng)前溫度下，進(jìn)行重復(fù) “產(chǎn)生新解，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)差,接受或舍棄”的Metropolis概率接受環(huán)節(jié)，并逐步衰減溫度值，算法終止時(shí)的當(dāng)前解即為所得近似最優(yōu)解[7]。模擬退火過程是基于蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發(fā)式隨機(jī)搜索過程。退火過程由冷卻進(jìn)度表（Cooling Schedule）控制[4]，包括控制參數(shù)的初值T0及其衰減因子λ、每個(gè)T值時(shí)的迭代次數(shù)（馬氏鏈長(zhǎng)度）L和停止條件S。冷卻進(jìn)度表參數(shù)影響模擬退火的性能。

1.2 冷卻進(jìn)度表

初始溫度越高，溫度緩緩下降時(shí)求得最優(yōu)解的概率越大，但其迭代次數(shù)多，導(dǎo)致模擬退火的計(jì)算效率低，性能差。Kirkpatrick et al.[4]建議以初始接受差解的概率（P）確認(rèn)初始溫度，則：T0=-降火方式可采用線性降火函數(shù)即：Tk=λk-1T0，但降火因子對(duì)算法的影響甚至決定模擬退火算法是否能尋找到最優(yōu)解。馬氏鏈長(zhǎng)度L的選取，應(yīng)使得在同一溫度下，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，及不在有新解長(zhǎng)生，L的選取亦可根據(jù)優(yōu)化變量的解空間大小及經(jīng)驗(yàn)選取。算法的終止條件可用退火次數(shù)M及不在有新解的接受次數(shù)H來控制。

1.3 模擬退火的一般流程

典型SA步驟通常在給定冷卻進(jìn)度表下可描述為：

（1）給定冷卻進(jìn)度表參數(shù)，包括降溫次數(shù)M，Metropolis抽樣次數(shù)L，初溫T0，衰減因子λ等參數(shù)，令k=0；

（2）隨機(jī)產(chǎn)生初始狀態(tài)S；

（3）重復(fù)下列步驟L次:

① 從S的鄰域中隨機(jī)產(chǎn)生狀態(tài)S'；

②令 Δ =f（S'）-f（S）， 其中 f（S）表示優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；

③ 若 Δ＜ 0， 令 S=S'； 若 Δ≥ 0， 且 e-ΔE/（kT）≥0， θ∈（0，1）的隨機(jī)數(shù)， 令 S=S'；

（4）若達(dá)到最大仿量真 （k=M），則輸出整個(gè)SA過程所接受解中最好的解Sbest并終止算法； 否則令 Tk+1=λTk， k=k+1 并返回（3）。

在模擬退火尋優(yōu)的過程中，可加入具有記憶功能的模擬退火，使得在模擬退火過程中所接受的解中取出最優(yōu)值；當(dāng)算法降火次數(shù)還沒達(dá)到最大降火次數(shù)M時(shí)，可加入尋優(yōu)過程不在有新解的接受的次數(shù)H來控制，使算法達(dá)到一定穩(wěn)定性時(shí)輸出最優(yōu)解，提前終止算法。經(jīng)典模擬退火流程圖見圖1。

圖1 模擬退火流程圖Fig.1 Classic simulated annealing algorithm flow chart

2 模型

2.1 結(jié)構(gòu)模型

通常線性粘滯阻尼器出力取決于其瞬時(shí)相對(duì)速度大小[12]，即：

一般在地震激勵(lì)作用下，其中設(shè)置粘彈性阻

尼器的結(jié)構(gòu)體系運(yùn)動(dòng)微分方程即為：

方程 （2）一般可以采用經(jīng)典的時(shí)程分析法求解，本文采用Newmark-β法求解。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

本文取層間位移角的相對(duì)值作為響應(yīng)目標(biāo)函數(shù)[5-6]：

式（3）中：θ為結(jié)構(gòu)在地震作用下層間位移角；下標(biāo)max表示有控結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值；0，max表示無控結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值。

2.3 優(yōu)化模型

高層結(jié)構(gòu)阻器優(yōu)化布置問題的一般數(shù)學(xué)表達(dá)形式為：

式（4）中：X為阻尼器的布置方案；t為動(dòng)荷載作用時(shí)間；n為結(jié)構(gòu)層數(shù)；xj∈{0，1}為結(jié)構(gòu)樓層是否布置阻尼器，0表示不布置阻尼器，1表示布置阻尼器；g（X，t）經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后的約束條件。f為優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)，本文取2.2目標(biāo)函數(shù)的層間位移角的相對(duì)值[9-10]：

3 高層結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器優(yōu)化布置

3.1 模型信息

選取工程算例[5]為某20層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)作為高層結(jié)構(gòu)建筑研究對(duì)象，該框架模型的總高60.6 m，首層高3.6 m，其余層高3 m，結(jié)構(gòu)阻尼比0.05，一階模態(tài)振動(dòng)周期2.849 6 s。要求選擇 10層安裝等效阻尼系數(shù)ceq=2.1×107N·s/m的粘滯阻尼器，每層安裝五個(gè)。各層質(zhì)量及水平側(cè)移剛度見表1，各階周期與周期見表2。選取美國(guó)1940年5月18日Imperial Valley地震EL Centro地震波為輸入，以各層最大層間位移角最小化 為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)場(chǎng)地條件要求，將地震波峰值調(diào)整為400 gal（0.4 g）

表1 各層質(zhì)量及與水平側(cè)移剛度值Table 1 Layer quality and horizontal lateral stiffness

表2 模型各階固有頻率與周期Table 2 Each order natural frequency and period of model

3.2 模擬退火參數(shù)選擇[4]

本文對(duì)最大降火次數(shù)M=60，馬氏鏈長(zhǎng)度L=30，探討初始溫度與降溫函數(shù)中的衰減因子對(duì)算法的效率的影響。此算法加入記憶功能的模擬退火，不在有新解接受的次數(shù)H=100，選取初始溫度下接受差解的概率P=0.5。

3.3 初始溫度及衰減因子的討論

在確定最大降火次數(shù)及馬氏鏈長(zhǎng)度后，初始溫度及衰減因子對(duì)模擬退火的性能影響極大，本文研究初始溫度和衰減因子的不同組合對(duì)模擬退火算法的效率、收斂性等性能影響極大。

為了確定T0的范圍，可隨機(jī)算1 000個(gè)解空間的值，并算求得評(píng)價(jià)函數(shù) 最大值ymax=0.822 2，評(píng)價(jià)函數(shù)次最大值ymax，second=0.820 2，評(píng)價(jià)函數(shù)最小值 ymin=0.642 4； 則 Δymax=0.179 8， Δymin=0.002；-Δy

衰減因子取值λ：λ1=0.85，λ2=0.90， λ3=0.95。

表3為所計(jì)算的初始溫度與選取溫度衰減因子不同組合的標(biāo)號(hào)，并逐一對(duì)各編號(hào)所代表的初溫與衰減因子各運(yùn)行對(duì)應(yīng)冷卻進(jìn)度表的模擬退火10次，其所獲得最優(yōu)解次數(shù)及目標(biāo)函數(shù)平均計(jì)算次數(shù)見表4。其數(shù)值結(jié)果顯示：不同的SA參數(shù)對(duì)其收斂性和計(jì)算效率影響極大，參數(shù)選擇不好時(shí)（如編號(hào)為⑥⑧⑨），算法容易陷入局部最優(yōu)解，使其在實(shí)際運(yùn)用中無法保證尋找到最優(yōu)解。只有選擇恰當(dāng)?shù)乃惴▍?shù)方可使得算法具有收斂性、效率等良好性能。

表3 初始溫度與降火因子組合編號(hào)Table 3 Combination number（initial temperature,cooling ratio）

由表4得出組號(hào)為③④⑦的初始溫度T0與降火因子λ時(shí)，10次尋優(yōu)中每次都收斂，其對(duì)應(yīng)初始溫度與降火因子見表5。在高層粘滯阻尼器優(yōu)化布置中，數(shù)值結(jié)果顯示，當(dāng)初始溫度選擇較低時(shí)，而溫度降火因子較大時(shí)可使SA能快速的尋找到最優(yōu)解，具有良好的性能。圖2為第③號(hào)組合參數(shù)下模擬退火一次尋優(yōu)過程，由圖可看出，算法具有快速收斂性。

表4 各組組合編號(hào)算法性能對(duì)比Table 4 The performance comparison of the combination numbering algorithms of each group

表5 十次全收斂參數(shù)及效率對(duì)比Table 5 Ten times full convergence parameters and performance comparison

最優(yōu)布置方案為 [0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0]，即阻尼器最優(yōu)布置位置在2～9，11～12層，不同布置方案的層間最大位移角包絡(luò)圖見圖3，加阻尼器的優(yōu)化布置方案比無控下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)具有明顯的控制優(yōu)勢(shì)。最優(yōu)布置方案阻尼器偏中下層。

圖2 第③號(hào)組合參數(shù)下模擬退火尋優(yōu)曲線Fig.2 Simulated annealing optimization curve under the third combined parameters

圖3 樓層最大層間位移角包絡(luò)圖Fig.3 Envelope diagrams of maximal story drift radio

4 結(jié)語(yǔ)

在高層結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器的布置中，當(dāng)選擇一定層數(shù)進(jìn)行布置阻尼器，優(yōu)化問題設(shè)計(jì)空間巨大，使用窮舉法需要花費(fèi)大量的時(shí)間，在實(shí)際工程的尋優(yōu)中無法滿足對(duì)時(shí)間的要求，在合適的參數(shù)下，模擬退火可快速穩(wěn)定的尋找到最優(yōu)解。模擬退火冷卻進(jìn)度表中參數(shù)選擇對(duì)算法的性能影響極大，只有選擇合適的算法參數(shù)才能使模擬退火能夠高效的尋找到最優(yōu)解。

圖4 第7層層間位移角時(shí)程圖Fig.4 Story drift radio time histories

本文對(duì)控制模擬退火性能的冷卻進(jìn)度表中初始溫度及降火因子進(jìn)行不同的分組并研究其收斂、效率等性能。給出此實(shí)例下能快速穩(wěn)定的尋找到高層粘滯阻尼器最優(yōu)布置的初始溫度及降火因子，其初始溫度及降火因子的選擇也可作為其他工程優(yōu)化問題的一個(gè)借鑒。

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