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    以圖形分析法為基礎(chǔ)的初中幾何解題探究

    2017-03-31 08:54盧勝容
    廣西教育·A版 2017年2期

    盧勝容

    【摘要】本文論述在引導(dǎo)學(xué)生解答初中數(shù)學(xué)幾何題時(shí),教師要對(duì)學(xué)生的解題過(guò)程進(jìn)行指導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生分析圖形,開(kāi)展變式訓(xùn)練,不斷提高學(xué)生解決幾何題型的能力。基本圖形分析法重在探索解題思路的形成過(guò)程,幫助學(xué)生掌握幾何原理,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,達(dá)到舉一反三、輕負(fù)高效的良好效果。

    【關(guān)鍵詞】幾何題型 圖形分析法 分離圖形 構(gòu)造圖形 添加輔助線

    【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

    【文章編號(hào)】0450-9889(2017)02A-0079-02

    很多初中生認(rèn)為幾何難學(xué),他們?cè)诮獯饚缀晤}目時(shí)面對(duì)各種形狀的圖形、各式各樣的符號(hào)和條件,經(jīng)常會(huì)感到一頭霧水,找不到解決問(wèn)題的突破口,不但影響了考試成績(jī),還打擊了學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性和自信心。鑒于這種情況,教師要對(duì)學(xué)生解答幾何題的過(guò)程進(jìn)行指導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生分析圖形,展開(kāi)變式訓(xùn)練,讓學(xué)生輕松應(yīng)對(duì)幾何圖形題目。下面結(jié)合具體例題來(lái)談一談以圖形分析為基礎(chǔ)的幾何解題策略。

    一、根據(jù)已知條件分離圖形,結(jié)合圖形性質(zhì)解題

    解答幾何題目需要具備良好的邏輯推理能力,只有對(duì)題目中的已知條件和求證問(wèn)題進(jìn)行靈活恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)換,才能快速地解答。角平分線是初中幾何中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn),很多幾何題目都圍繞著這個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì),在中考試題中也不乏角平分線的影子。一些學(xué)生因?yàn)閷?duì)角平線的性質(zhì)等內(nèi)容掌握不夠扎實(shí),導(dǎo)致在遇到這一類幾何題目時(shí)無(wú)從下手。因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生分析題目的來(lái)龍去脈,通過(guò)分離圖形把題目轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的基本圖形,再結(jié)合圖形的性質(zhì)進(jìn)行解答。

    例如,教師出示了一道典型的角平線的題目:如圖1所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC,求證:AD=AB.學(xué)生看到這個(gè)題目之后,有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)求證的問(wèn)題是AD、AB兩邊相等,而且兩條邊同屬于三角形ABD中,因此可以把求證結(jié)論轉(zhuǎn)化為求證∠ABD=∠ADB.通過(guò)這種求證命題的轉(zhuǎn)化,使看似沒(méi)有頭緒的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單了。學(xué)生根據(jù)角平線的定義,推理得到∠ABD=∠DBC,同時(shí)根據(jù)AD與BC平行的條件,推理得到了∠ADB=∠DBC,由此得到了∠ABD=∠ADB.在三角形ABD中,∠ABD=∠ADB,所以這個(gè)三角形是等腰三角形,即AD=AB.在學(xué)生完成了解答之后,教師再讓學(xué)生回顧解題過(guò)程,梳理解題思路:先看題目求證的問(wèn)題是三角形ABD中的兩條邊相等,這時(shí)就可以把這個(gè)三角形分離出來(lái)了,通過(guò)逆向推理,只需要證明三角形的AD、AB兩條邊所對(duì)應(yīng)的角相等,就可以根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)輕松解題。最后,教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):由這道題可以發(fā)現(xiàn)在解答一些含角平分線的題目時(shí),可以根據(jù)已知條件把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,分離出一個(gè)圖形,再利用這個(gè)圖形的基本性質(zhì)解答問(wèn)題。

    由上例分析可知,這種題目可根據(jù)已知和未知對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,分離出簡(jiǎn)單的圖形,使求證的問(wèn)題一目了然。學(xué)生在找到解題突破口之后,就自然而然地順利答題了。

    二、添加輔助線構(gòu)造圖形,利用幾何知識(shí)解題

    添加輔助線也是初中幾何題解答中常用的方法,對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō),添加輔助線的題目都屬于難度比較大的題目,因?yàn)樗麄儾⒉磺宄谀睦锾砑虞o助線是最合適的。因此,教師在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用添加輔助線的方法解答幾何題目時(shí),不但要讓學(xué)生明白輔助線添在哪兒,還要使學(xué)生透徹地理解為什么要添在那,讓學(xué)生掌握添加輔助線的技巧。通常來(lái)說(shuō),很多復(fù)雜的幾何題目在添加輔助線后,都會(huì)變得容易起來(lái),因?yàn)橥ㄟ^(guò)添加輔助線構(gòu)造了一個(gè)新的圖形,使原來(lái)需要求解或證明的問(wèn)題發(fā)生了轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生找到了答題的方法。

    例如,在學(xué)生學(xué)習(xí)了梯形的相關(guān)知識(shí)之后,教師出示了一道典型的中考題。如圖2所示,梯形ABCD中,AD∥BC,一條腰AB長(zhǎng)為2.5厘米,長(zhǎng)底邊BC長(zhǎng)為4厘米,連結(jié)B、D兩個(gè)頂點(diǎn),作∠BAD的平分線與線段BD相交于點(diǎn)E,連結(jié)AE,如果AE∥CD,那么AD長(zhǎng)多少?很多學(xué)生一看到這道題給出了這么多已知條件就不知所措了。此時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生再次讀題,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)已知梯形的一腰、一底的長(zhǎng)度,求另一底的長(zhǎng)度,但學(xué)生還是找不到從哪里下手解題。此時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)本上準(zhǔn)確地把這個(gè)圖畫出來(lái),學(xué)生畫完圖之后,教師又讓學(xué)生把題目中的已知條件標(biāo)示在圖形中,讓學(xué)生嘗試看能不能把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)移。在教師的點(diǎn)撥下,有些學(xué)生已經(jīng)想到了通過(guò)延長(zhǎng)∠BAD的平分線AE到BC邊,與BC相交于F點(diǎn),這時(shí)就可以把AD轉(zhuǎn)化成FC了。此時(shí)馬上有學(xué)生大膽推測(cè):只要求出BF的長(zhǎng)度,問(wèn)題就迎刃而解了。可是,怎么求BF的長(zhǎng)度呢?學(xué)生繼續(xù)觀察發(fā)現(xiàn)在三角形AFB中,∠BAF=∠FAD,∠FAD=∠AFB,所以,∠BAF=∠AFB。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),推導(dǎo)出AB=BF,則FC=BC-BF,即AD=BC-AB=4-2.5=1.5厘米。

    在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生一邊看圖一邊思考,通過(guò)合理地添加輔助線,找到了答題的關(guān)鍵點(diǎn),然后把求解的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。在這個(gè)過(guò)程中,添加輔助線是最關(guān)鍵的一步,借助輔助線構(gòu)造了新圖形,讓原本需要求解的問(wèn)題變得清晰明了。

    三、借助旋轉(zhuǎn)方法抽取圖形,借助圖形分析解題

    旋轉(zhuǎn)作為物體位置移動(dòng)的一種常見(jiàn)方式,對(duì)發(fā)展學(xué)生的空間想象力具有重要的作用。在幾何題中,有些已知條件比較繁雜,要求的問(wèn)題看上去也與已知條件沒(méi)有關(guān)系,這時(shí)學(xué)生往往都會(huì)感覺(jué)到束手無(wú)策。要解決這一類型的幾何題目,需要學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有較強(qiáng)的靈活性,再根據(jù)題目的意思,借助自己的空間想象力,運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法,從中抽取圖形,并結(jié)合圖形的性質(zhì)把看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,提高解題效率。

    例如,在九年級(jí)總復(fù)習(xí)中有這樣一道題:如圖3所示,在正方形ABCD中,E點(diǎn)在正方形內(nèi)部,分別把E點(diǎn)與A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)相連,得到了△ABE,然后把這個(gè)三角形繞B點(diǎn)進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△CBE′。已知AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE′C是多少度?學(xué)生根據(jù)題意先畫出了草圖,在畫圖的過(guò)程中,就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了△ABE旋轉(zhuǎn)90°,其實(shí)就是AB邊旋轉(zhuǎn)到了BC的位置,BE旋轉(zhuǎn)到了BE′的位置。因此很多學(xué)生就想到了把EE′兩點(diǎn)連接起來(lái),就得到了一個(gè)等腰三角形,再根據(jù)BE旋轉(zhuǎn)90°得到了BE′,所以∠EBE′=90°。此時(shí),很多學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)∠BE′E=45°,只要再求出∠EE′C的度數(shù)就可以了。根據(jù)勾股定理EE′2=BE2+BE′2=8,而在△EE′C中,EC=3,E′C=1,EE′2=8,根據(jù)勾股定理可知,△EE′C是直角三角形,則∠EE′C=90°,從而推算出∠BE′C=45°+90°=135°。

    在解答這類題目時(shí),學(xué)生的大腦很容易受到題目信息的干擾,思路不清晰,找不到解題的突破口。通過(guò)旋轉(zhuǎn)圖形,結(jié)合想象,就可以發(fā)現(xiàn)已知條件與求解問(wèn)題之間的聯(lián)系,從而通過(guò)層層推導(dǎo),得到求解的答案。

    總的來(lái)說(shuō),圖形是幾何學(xué)習(xí)和研究的核心內(nèi)容,幾何題的解答離不開(kāi)圖形性質(zhì)的分析和各種定理的應(yīng)用。教師在指導(dǎo)學(xué)生解答幾何題目時(shí),需要有意識(shí)地教會(huì)學(xué)生思考的方法,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已知條件進(jìn)行分析,抓住要點(diǎn),抽絲剝繭,把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,把未知的內(nèi)容已知化,學(xué)會(huì)舉一反三,做到觸類旁通,不斷訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

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