解三角形起始課

高磊+李大永

教學內(nèi)容蘊含的數(shù)學思維活動分析：

正、余弦定理是由初中對三角形的定性研究為主轉向定量化研究發(fā)展出的知識。在初始階段的定性研究中，學生通過對兩個三角形的全等與相似的研究，已經(jīng)能夠建立起確定三角形形狀與大小的要素構成的直觀想象。幾何學研究的是空間形式，空間的基本概念是位置，幾何學中用點來標記位置，因此，三角形的空間存在形式本質在于三個頂點的位置關系，而頂點的位置關系是以“角”和“邊”的概念來共同描述的，“角”的要素反映了三角形的形狀，而邊長確定了其大小。三角形判定是以三個基本事實ASA，SAS，SSS從不同角度來揭示三角形的形狀與大小的。在ASA中，已知兩角，就意味著三個角確定，即三角形形狀就確定了，再給出一邊，確定了其大小和形狀；在SAS中，本來一個角的大小僅能反映三角形的局部形狀，但是兩條邊的長度使兩個頂點的位置得以確定（這兩個頂點被角和距離確定了）；在SSS中，邊確定了三角形的大小，但是形狀是如何確定的呢？實際上，共點兩邊構成了“角”的圖形，第三邊起到了確定角的作用（實際上，在數(shù)學史上，托勒密就是在圓中用圓心角所對的弦長來度量圓心角的大?。?，這種用線段長確定角的大小的思想在高中建立弧度制概念中還會用到。

在初中階段，對圖形的定量研究在直角三角形中得到初步體現(xiàn)，勾股定理和銳角三角函數(shù)都是量化思想下發(fā)展出的成果，這一成果體現(xiàn)了直角三角形在“邊”“角”要素上的量性規(guī)律。

學生思維基礎和思維障礙分析：

高中階段要學習的正、余弦定理，即一般的三角形的邊、角量性規(guī)律的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)蘊含在初中對三角形的定性研究中，僅需要一定情境的誘導和激發(fā)。而揭示并表達出這一量性規(guī)律的知識、技能和思維方法也蘊含在了初中的直角三角形以及高中的平面向量和解析幾何的學習之中。上述這些內(nèi)容蘊含的思想方法和思維活動經(jīng)驗構成了正余弦定理學習的思維基礎。

學生本節(jié)學習的思維障礙主要集中在發(fā)現(xiàn)獲得三角形的邊、角關系的量性規(guī)律的途徑與方法。因為學生學習的思維基礎都存在于以往學習的相關知識之中，所以教學的關鍵就在于引導學生進行以下幾個問題的思考：

首先是理解問題“由已知的邊、角要素的數(shù)量求出其余邊、角要素的數(shù)量”實質是求距離（邊長）和角的問題，依次去回憶并調(diào)取與之相關的知識。

其次是比較發(fā)現(xiàn)在ASA，AAS，SAS，SSS中，哪一個更容易和相關的知識建立聯(lián)系，其余的邊、角要素中，先求哪一個更容易實現(xiàn)。