固定時間收斂的再入飛行器全局滑模跟蹤制導(dǎo)律

王伯平，王 亮，盛永智

(1. 空軍航空大學(xué)航空理論系，長春130022；2. 北京理工大學(xué)自動化學(xué)院，北京100081)

固定時間收斂的再入飛行器全局滑模跟蹤制導(dǎo)律

王伯平1，王 亮2，盛永智2

(1. 空軍航空大學(xué)航空理論系，長春130022；2. 北京理工大學(xué)自動化學(xué)院，北京100081)

針對再入飛行器模型強非線性、強耦合、快時變和不確定性的特點，以及再入飛行過程中復(fù)雜多變的飛行環(huán)境，本文提出了一種具有強魯棒性的全局滑模跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計方法。首先，給出存在干擾的無動力飛行三自由度再入制導(dǎo)模型，以采用經(jīng)度作為標準參考軌跡的插值因變量為例，將三變量的軌跡跟蹤任務(wù)轉(zhuǎn)化為對高度和緯度的二個變量的跟蹤；然后提出了一種固定時間收斂的全局滑模跟蹤制導(dǎo)律，可實現(xiàn)對參考軌跡的魯棒跟蹤，且可保證軌跡跟蹤誤差在設(shè)定的時刻收斂；最后通過對再入飛行器的仿真研究，驗證所設(shè)計軌跡跟蹤制導(dǎo)算法的有效性。

再入飛行器；軌跡跟蹤；全局滑模；固定時間收斂；

0 引 言

制導(dǎo)系統(tǒng)在高超聲速飛行器再入飛行過程中至關(guān)重要，其任務(wù)是生成姿態(tài)控制系統(tǒng)的所需的姿態(tài)角指令，并完成對預(yù)定軌跡的跟蹤控制。過渡-滑翔段(過渡段和滑翔段) 在整個再入飛行過程中占據(jù)絕大部分(如圖1所示)，而且末時刻的速度誤差、位置誤差的大小以及飛行安全直接由飛行過程中的軌跡誤差大小所影響，因此，最重要的部分是設(shè)計再入飛行過程中過渡-滑翔段的制導(dǎo)律。

目前，再入制導(dǎo)方法一般分為標準軌道制導(dǎo)方法和預(yù)測-校正制導(dǎo)方法兩類[1-4]。其中標準制導(dǎo)方法，目前已經(jīng)得到了廣泛的研究與應(yīng)用，其通常可以劃分為兩部分：參考軌跡規(guī)劃設(shè)計和參考軌跡跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計。相比于預(yù)測-校正制導(dǎo)方法，標準制導(dǎo)方法對機載計算機的性能要求較低。實際應(yīng)用時需要提前計算好標準再入軌道參數(shù)(標稱軌跡)并將其裝訂入機載計算機中，當飛行器進入大氣層后，制導(dǎo)系統(tǒng)由誤差信號和相應(yīng)的制導(dǎo)律生成所需的姿態(tài)角指令(比如攻角，傾側(cè)角)。其中誤差信號通過對比當前飛行狀態(tài)參數(shù)與標準軌跡參數(shù)得到。

參考軌跡跟蹤制導(dǎo)律根據(jù)跟蹤算法的不同，可分為線性和非線性制導(dǎo)律兩大類。在線性跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計方面，DeVirgilio等[5]和Dukeman[6]應(yīng)用了LQR理論設(shè)計了制導(dǎo)律，Shen 等[7]進一步提出了一種跟蹤精度更高的LQR比例-積分型跟蹤制導(dǎo)律。在非線性跟蹤制導(dǎo)律方面，Guo等[8]提出一種基于自抗擾控制的軌跡跟蹤方法，文獻[9]則結(jié)合阻力規(guī)劃方法提出了一種基于比例微分反饋制導(dǎo)律。文獻[10]提出了基于譜分析法解決一類特殊的變系數(shù)線性系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計制導(dǎo)律使其能夠處理多種緊急任務(wù)。Mease等[12]提出了一種基于非線性幾何方法(Feedback linearization,FBL)的再入?yún)⒖架壽E跟蹤制導(dǎo)律。Bharadwaj 等[13]提出在非仿射非線性系統(tǒng)中使用FBL理論，通過近似輸入-輸出線性化方法對飛行器進行橫向解耦和側(cè)向解耦，進而推導(dǎo)出了三維非線性跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計方法。此外，跟蹤制導(dǎo)律的設(shè)計之中，還有其他非線性控制方法，如預(yù)測控制方法[14]、SDRE方法[15]、模糊控制方法[16]以及模型參考自適應(yīng)控制方法[17]等。

盡管在上述幾種跟蹤制導(dǎo)律方法可以在一定程度上滿足再入制導(dǎo)軌跡跟蹤的任務(wù)要求，但抗干擾和抗不確定能力相對不足?；？刂谱鳛橐活愄厥獾姆蔷€性控制方法，對匹配不確定性具有強魯棒性，因而在制導(dǎo)領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注。Talole等[18]和Lu等[19]將FBL方法與滑模觀測器(同時對狀態(tài)和擾動進行觀測)、控制方法相結(jié)合。Liang等[20]則將飛行器跟蹤系統(tǒng)解耦成高度跟蹤、速度跟蹤兩個子系統(tǒng)，分別設(shè)計滑模跟蹤制導(dǎo)律，簡化了軌跡跟蹤算法。竇榮斌等[21]引入超螺旋算法，提出了一種基于二階滑模的魯棒末制導(dǎo)律設(shè)計方法。范金鎖等[22]結(jié)合擾動觀測器與自適應(yīng)技術(shù)，提出了一種基于自適應(yīng)PID滑模擾動觀測器技術(shù)的魯棒最優(yōu)末制導(dǎo)方法。張運喜等[23]中設(shè)計了一種有限時間收斂的滑模制導(dǎo)律，使制導(dǎo)系統(tǒng)的快速收斂到零。

然而在軌跡跟蹤制導(dǎo)的研究中，同時考慮了全局魯棒、快速性的方法較少?？紤]到再入飛行器再入飛行多任務(wù)的要求及復(fù)雜的再入環(huán)境，系統(tǒng)不可避免的會存在較大的不確定性和外部干擾等因素，為了在實際使用中獲得良好的效果，控制器必須具備強魯棒性，同時確保飛行器在各種復(fù)雜情況下都能具有較好的飛行品質(zhì)。因此在本文中，我們在過去已有的滑模制導(dǎo)律基礎(chǔ)上，進一步提出了一種新型全局滑模跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計方法，增加了全局時變特性和固定時間收斂特性。使制導(dǎo)方案在保證強魯棒性的同時，更為精確和快速，并且設(shè)計過程更為清晰和簡潔，十分利于未來工程實現(xiàn)。

本文主要包括以下3部分：第1節(jié)在忽略側(cè)滑角和地球自轉(zhuǎn)的假設(shè)下，推導(dǎo)了無動力飛行的三自由度再入方程。第2節(jié)說明了基于固定時間收斂的時變滑模跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計方法。以經(jīng)度作為因變量進行插值計算，實現(xiàn)對三維軌跡的魯棒跟蹤和給定時間內(nèi)軌跡跟蹤誤差的收斂，通過lyapunov理論證明了它的穩(wěn)定性； 由于過渡-滑翔段飛行空域變化范圍大，內(nèi)外部干擾如大氣參數(shù)攝動、飛行器氣動參數(shù)攝動等會對飛行狀態(tài)構(gòu)成影響。因此，第3節(jié)在受擾情形下進行了仿真校驗，驗證了該方法的有效性。

1 制導(dǎo)模型及問題描述

在建立過渡-滑翔段制導(dǎo)模型時，由于再入飛行過程中過渡-滑翔段航程較長，因此需要考慮地球曲率的影響。為了建立簡化的三自由度再入方程，本文假設(shè)側(cè)滑角為零并忽略地球自轉(zhuǎn)引起的哥氏力以及牽引力的影響，所建立方程如下[25]：

(1)

(2)

考慮到干擾力對飛行過程的影響，可將式 (1)表示為如下：

(3)

式中：ΔdV,Δdγ,Δdχ分別表示由于大氣參數(shù)、氣動參數(shù)攝動等因素引起的速度通道、彈道傾角通道和彈道偏角通道的聚合干擾力。

此時，設(shè)計目標可以描述為：對于式(3)所示的系統(tǒng)，考慮聚合干擾力ΔdV,Δdγ,Δdχ的影響，設(shè)計具有魯棒性的跟蹤制導(dǎo)律，得到合適的攻角α、傾側(cè)角μ參數(shù)，使得飛行器軌跡參數(shù)能夠魯棒跟蹤標準軌跡的參數(shù)。

一般情況下通常將射程作為插值因變量來得到標準軌跡的位置指令hc,φc,θc。由于控制變量只有兩個α,μ，而輸出變量h,φ,θ有三個。由于制導(dǎo)律設(shè)計的主要目的是跟蹤標準軌跡，并不嚴格要求飛行時間和速度。因此，對于不存在完全向南和向北運動的標準彈道，本文選擇實際飛行經(jīng)度θ取代傳統(tǒng)的飛行射程作為因變量，對標準參考軌跡進行插值，以得到當前相應(yīng)的位置指令。因此，上述制導(dǎo)律的設(shè)計目標可表述為：通過對控制量α,μ的設(shè)計使得飛行器的飛行高度h、緯度φ對標準參考軌跡的軌跡參數(shù)hc,φc進行跟蹤。當飛行彈道是南北向時可以采用緯度作為彈道插值變量，緯度插值控制器的設(shè)計方法也是類似的。

(4)

式中：u=[u1,u2] 表示為引入的輔助控制量，其具體形式如下：

(5)

注1.在設(shè)計制導(dǎo)律時，先計算得到輔助控制量μ，傾側(cè)角指令和期望升力L根據(jù)式(5)，反解得到具體形式如下：

(6)

攻角指令通過擬合的氣動數(shù)據(jù)和升力反插值得到。

2 固定時間收斂的全局滑模跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計

接下來給出過渡-滑翔段跟蹤制導(dǎo)律的具體設(shè)計過程。定義位置變量L=[h,φ]T，以及位置跟蹤誤差向量

(7)

式中:Re為歸一化因子，使eh,eφ在同一數(shù)量級上。

首先，設(shè)計時變滑模面如下：

(8)

式中:ST=[Sth,Stφ]為滑模面，Λ1=diag(λ1h,λ1φ)和Λ2=diag(λ2h,λ2φ)為滑模函數(shù)增益矩陣。為了保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模函數(shù)ST=0上的穩(wěn)定，選擇的滑模函數(shù)增益矩陣Λ1,Λ2應(yīng)使特征多項式x2+λ1jx+λ2j,j=h,φ為Hurwitz的。此外，為了保證位置跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂，時變項W(t)=diag(wh(t),wφ(t))應(yīng)滿足以下假設(shè)。

假設(shè)1.定義tf∈[0,∞)為函數(shù)wi(t)的終值時間(即期望的位置跟蹤誤差收斂時間)，在[0,tf]上，有界非線性函數(shù)wi(t),i=h,φ滿足以下條件：

不失一般性，本文中的函數(shù)確定為以下形式：

wj(t)=

(9)

對時變滑模函數(shù)ST沿系統(tǒng)閉環(huán)軌跡求導(dǎo)可得：

(10)

設(shè)計的滑模跟蹤制導(dǎo)律為兩項疊加，分別為等效控制項與切換控制項，具體表示如下：

Λ2(eL-W(t))+ηLsgn(ST)]

(11)

式中:ηL=diag(ηh,ηφ)為切換增益矩陣，其元素ηj,j=h,φ滿足下列不等式：

ηh>Δd1max+δ

ηφ>Δd2max+δ

(12)

定理1.對于制導(dǎo)系統(tǒng)(3)，當采用時變滑模函數(shù)(8)及時變滑模跟蹤制導(dǎo)律(11)時，有以下結(jié)論成立：1) 對于t∈[0,+∞)，有滑模函數(shù)ST≡0成立，即系統(tǒng)狀態(tài)全局處于滑動段；2)t→tf時，有h→hc,φ→φc成立，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

證. 選擇Lyapunov函數(shù)如下：

(13)

(14)

將跟蹤制導(dǎo)律(11)代入式(14)，可得：

(15)

由ST≡0進一步得，

(16)

(17)

(18)

根據(jù)ζ的定義和式(18)，可知e=W(t)在t∈[0,+∞)上成立。又W(t)滿足假設(shè)1，可得

e(t)=0,?t≥tf

(19)

上式表明系統(tǒng)姿態(tài)角跟蹤誤差在時刻t=tf收斂為零。于是可得

(20)

式(20)表明，系統(tǒng)的位置跟蹤誤差可在時變滑模跟蹤制導(dǎo)律(11)的作用下于t=tf時刻收斂為零。

注2. 本文采用邊界層法，將制導(dǎo)律(11)中的符號函數(shù)sgn(·)替換為飽和函數(shù)sat(·)，以應(yīng)對實際應(yīng)用中時變滑模跟蹤制導(dǎo)律(11)的抖振問題。

注3. 若聚合擾動Δd的上界是未知的，可采用切換增益自適應(yīng)律對跟蹤制導(dǎo)律(11)中的切換增益值進行在線調(diào)整，對此本文不再贅述。

3 仿真校驗

本節(jié)通過數(shù)值仿真對所設(shè)計的固定時間收斂全局滑模跟蹤制導(dǎo)律的有效性進行驗證。仿真中的標稱軌跡通過Radau偽譜法生成，滿足如下條件。

設(shè)置飛行初始條件如下：初始經(jīng)度和初始緯度為0，初始高度為59.9km，初始速度為5500m/s，初始彈道傾角與彈道偏角均為0。

由于過渡-滑翔段的空域變化范圍大，內(nèi)外部干擾如大氣參數(shù)攝動、飛行器氣動參數(shù)攝動等不確定性因素都會對飛行狀態(tài)構(gòu)成影響。因此，我們給出了大氣密度攝動為-20%的仿真情況。

全局滑模控制作用下的高度、緯度及經(jīng)度跟蹤曲線分別如圖2～4所示，高度、緯度的跟蹤誤差曲線如圖5所示。從以上四組仿真曲線可以得出，考慮擾動時，飛行器的高度、經(jīng)度、緯度仍然可以實現(xiàn)對標稱軌跡良好的跟蹤，且在設(shè)定的收斂時間50s內(nèi)，高度和緯度跟蹤誤差都能收斂到零附近的一個小鄰域內(nèi)。飛行器末速值為3388(m/s)，與規(guī)定的彈道優(yōu)化末速值3160(m/s)相差228(m/s)。

滑模函數(shù)的響應(yīng)曲線如圖6所示，由圖可知，由于全局滑模的控制作用，滑模函數(shù)的幅值一直沒有超出所設(shè)定的邊界層，保證了全局滑模的有效性。

全局滑模跟蹤制導(dǎo)律控制作用下的攻角和傾側(cè)角響應(yīng)曲線分別如圖7～8所示，在受擾情況下姿態(tài)角指令仍然變化平緩。

綜上所述：在設(shè)定的收斂時間內(nèi)，基于全局滑?？刂频母欀茖?dǎo)律能夠?qū)崿F(xiàn)給定位置的跟蹤。并且，位置跟蹤受大氣密度攝動影響較小，但是由于設(shè)計的制導(dǎo)律沒有對速度誤差進行修正僅考慮了位置跟蹤，所以對末速度有一定影響。

4 結(jié) 論

本文的主要內(nèi)容是研究過渡-滑翔段軌跡跟蹤的制導(dǎo)算法。第一步，提出基于固定時間收斂的全局滑模跟蹤制導(dǎo)律。第二步，將經(jīng)度作為因變量進行插值計算，保證對三維軌跡的魯棒跟蹤及給定時間內(nèi)跟蹤誤差的收斂。第三步，通過仿真檢驗算法的有效性。新型全局滑模跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計方法同時考慮了固定時間和全局時變特性，在保證飛行器的強魯棒性的同時，使系統(tǒng)具有更好的精確性和快速性，并且設(shè)計方法也更為簡單，擾動情況下的仿真結(jié)果也表明了設(shè)計方法的有效性及優(yōu)越性。

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盛永智(1980-)，男，博士生，副教授，主要從事非線性控制、飛行器控制等方面的研究。本文通信作者。

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(編輯：張宇平)

A Global Sliding Mode Based Tracking Guidance Law with Fixed-Time Convergence for Reentry Vehicle

WANG Bo-ping1, WANG Liang2, SHENG Yong-zhi2

(1. Department of Aviation Theory Aviation University of Air Force, Changchun 130022, China; 2. School of Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

The model of reentry vehicle is strongly coupling, nonlinear, fast time-varying and uncertain. And its flight environment is complex and highly variable. To eliminate these bad effects in the design of control and guidance, a global sliding mode based tracking guidance law with fixed-time convergence is investigated in this paper. Firstly, the three-degree-of-freedom reentry guidance model is proposed. And we take the longitude as the dependent variable of the interpolation instead of the time in the standard reference trajectory. So the trajectory of the three variables is transformed into the tracking of the height and latitude. Then, a global sliding mode based tracking guidance law with fixed-time convergence is designed for the trajectory tracking matters. Finally, some simulations are shown to illustrate the effectiveness of the trajectory-tracking guidance algorithm.

Reentry vehicle; Trajectory tracking; Global sliding mode; Fixed-time convergence

2016-09-28;

2016-12-13

國家自然科學(xué)基金(11402020)

V249.12

A

1000-1328(2017)03-0296-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.03.010

王伯平(1966-)，女，碩士研究生，副教授，主要從事航空機械研究研究。